三角函数是中学数学中一种重要的函数. 三角函数和代数､几何知识联系密切,它是研究其他各类知识的主要工具. 高考中凡是与三角有关的问题,都以三角恒等变换为主,因此熟练掌握三角变换中的常用方法和技巧是高考中所必须的,而三角函数中的“角､名､式”则是我们学习三角､运用三角所必须注意的,只要把握好这三关,就一定能学好三角函数方面的知识. 下面我就这三方面谈一下我的理解.
　　
　　 一､角的变换关
　　
　　 “遇到复角化单角,遇到半角化倍角”是三角函数中角的常见变换方法. 三角函数式中往往出现较多的角,我们在学习中不要被这些角迷惑. 我们要注意观察角之间的差异性,角与角之间的和､差､倍､半､互补､互余等关系,运用角的变换化多角为单角或减少未知角的数目,沟通条件和结论中角的差异,使问题顺利解决. 对角的变换一是通过三角公式的变换;二是要注意倍角的相对性,例如,α是的倍角,3α是 的倍角等;三是要注意拆角,拼角技巧,例如,2α = (α + β)+(α - β),α =(α + β) - β,β = -,= α - - - β,β = (α + 2β) - (α + β),α = (α - β) +β,α - β = (α - γ) + (γ - β).还有一些特殊角,如:15° = 45°- 30°,+ α = - - α,+ β -- α = + (α + β)等.
　　 例1 已知sin (2α + β)=-2sin β.求证:tan α = 3tan (α + β).
　　 分析 已知式中含有2 α + β和 β,而欲求的式子中含有 α和 α + β,所以要设法将已知式中的角化为欲求式中的角.
　　 证明 2α + β= (α + β)+ α, β= (α + β)- α.
　　 ∴ sin[ (α + β) +α ]=-2sin[ (α + β)- α ],
　　 ∴sin(α + β)cosα+cos (α + β)sin α=
　　 -2sin(α + β)cos α+2cos(α + β)sinα.
　　 ∵ cos (α + β)cosα≠0,
　　 ∴两边都除以它们就得tan α = 3tan(α + β) .
　　
　　 二､名的转化关
　　
　　 “遇到异名化同名,遇到切割要化弦”是三角函数中对于三角函数名称的一种探索规律. 三角函数中,常常需要变异名函数为同名函数. 在三角函数中,正余弦是基础,其中切割化弦(就是把三角函数中的正切､余切､正割和余割都化为正弦或余弦)是三角变换中的一种常用方法;当然三角函数中的万能公式也是化异名为同名的另一种方法. 若能把所给式子中的三角函数都化为同名的三角函数,变异名为同名,减少了函数种类,易于变形,则此三角函数式的化简,实质上是代数式的变形.
　　 例2 化简:tan2x•sin2x + tan x•tan+ cos2x•.
　　 解 原式 =1+ • •=
　　 • •(cos2 x - sin2 x) =
　　 ••cos2 x = 2sin x.
　　
　　 三､式的变形关
　　
　　 “遇到和差就化积,遇到积就化和差”,“遇到高次要降次,遇到低次要升幂” 都是一般的对于三角代数式的思考和转化过程. 三角公式作为常见的恒等式,在运用时,不能仅局限于它的正用,还要熟悉公式的逆用和变形用. 逆用公式不仅能进一步熟悉､掌握公式,而且更便于解题. 对于表达式的形式要多注意与我们学过的公式特点的区别与联系. 有时还要注意一些特殊常数的变化,如1, , , 等,它们可以转化为三角形式,就能进行适当的运算,便于解决三角函数问题.
　　 例3 已知:cos α + cos β =,tan(α + β)=- ,求sin α + sin β的值.
　　 解 设x = sin α + sin β = 2sin cos , =cos α + cos β = 2cos cos ,
　　 得到tan =2 x,代入tan(α + β) = - ,
　　 得到x = - 或x =.
　　 总之,在三角函数的处理中,一般从减少角的种类,减少三角函数的种类,改变函数式的运算结构入手,尽量使函数种类最少,次数相对最低,项数最少,尽量使分母中不含三角函数,尽量去掉根号或减少根号的层次,能求出具体值的应求出其值. 在学习中多体会,多思索,一定会学好三角函数的有关知识的.
　　
　　注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”