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平面几何中求面积的最大值、最小值问题，称之为面积极值问题．面积的极值问题是初中数学的重要内容之一，它常与函数知识联系在一起，尤其是与二次函数结合形成中考综合题或压轴题，这类问题是近几年中考的热门问题，新颖的题型层出不穷，现以近几年中考试题为例加以说明，供大家参考．
例1 （湖南株洲）如图1，Rt△ABC中，∠A=90°，tanB=，点P在线段AB上运动，点Q、R分别在线段BC、AC上，且使得四边形APQR是矩形．设AP的长为x，矩形APQR的面积为y，已知y是x的函数，其图象是过点（12，36）的抛物线的一部分（如图2所示）．
（1） 求AB的长；
（2） 当AP为何值时，矩形APQR的面积最大，并求出最大值．
为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论：
张明：图2中的抛物线过点（12，36）在图1中表示什么呢？
李明：因为抛物线上的点（x，y）是表示图1中AP的长与矩形APQR面积的对应关系，那么，（12，36）表示当AP=12时，AP的长与矩形APQR面积的对应关系.
赵明：对，我知道纵坐标36是什么意思了！
孔明：哦，这样就可以算出AB，这个问题就可以解决了.
请根据上述对话，帮他们解答这个问题．
解 （1）当AP=12时，AP·PQ=36， ∴ PQ=3，又在Rt△BPQ中，tanB=，
∴ =，?摇 ∴ PB=4，?摇∴ AB=16．
（2） 解法一：若 AP=x，则PB=16－x，PQ=（16－x），∴ y=（16－x）x，整理得y=－（x－8）+48， ∴ 当x=8时，y＝48．
解法二：由AB=16，结合图象可知抛物线经过点（0，0）、（16，0）、（12，36），可设抛物线解析式为y=ax（x－16），将（12，36）代入求得a=－，∴ y=－x（x－16），整理得y=－（x－8）+48，
∴ 当x=8时， y＝48.
解法三：由AB=16，结合图象可知抛物线经过点（0，0）、（16，0），知抛物线对称轴为x=8，∴抛物线顶点的横坐标为8.∴当AP=8时，矩形APQR的面积最大，此时PB=8，∴ PQ=8×=6，∴最大面积为48．
评注 本题显著的特点是插入了一段对话讨论，这个讨论的目的是帮助学生理解抛物线上的点与几何图形之间的对应关系，渗透着数形结合的数学思想，充满了人文关怀．本题的特点二在于第（2）问，它的解决问题的方法多样，可以直接由图（1）利用矩形的面积公式建立等量关系，确定函数关系式，也可以利用图（2）抛物线上的点用待定系数法确定函数解析式，还可以将图（1）、（2）联系在一起数形结合解决问题．本题立意新，开放性强．
例2 （吉林长春）如图3，直线y=－x+6分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线y=x与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D．点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动．过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位）．点E的运动时间为t（秒）．
（1） 求点C的坐标；
（2） 当0 （3） 求（2）中S的最大值．
解：（1） 由题意，得y=－x+6y=x，
解得x=3y=x. ∴ C（3,）.
（2） 根据题意，得AE=t，OE=8-t. ∴点Q的纵坐标为（8-t），点P的纵坐标为t，
∴ PQ=（8-t）-t=10-2t.?摇 当MN在AD上时，10-2t=t， ∴ t=.
当0 当≤t<5时，S=（10-2t）2，即S=4t2-40t+100.
（3） 当0 当≤t<5时，S=4（t-5）2，∵ t<5时，S随t的增大而减小，
∴ t=时，S的最大值=.
∵ >，∴ S的最大值为.
评注 本题是一道得分率很低的中考压轴题．难点首先在于第（2）问很多学生想当然认为正方形的边MN总是在线段AD的右侧，忽视了随着E点的运动正方形PQMN完全在三角形内部的情况而造成错解、漏解．本题的难点还在于第（3）小题面积的最大值问题要针对第（2）小题的两种情况分别讨论并进行比较，从而求出S的最大值．本题要求学生具有用运动变化观点看待问题的能力，考查了学生的综合素质，拓展了学生的思维潜能．
例3 （重庆綦江）如图4，已知抛物线y=a（x－1）+3（a≠0）经过点A（－2，0），抛物线的顶点为D，过O作射线OM‖AD．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．
（1） 求该抛物线的解析式；
（2） 若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
（3） 若OC=OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．
解 （1）∵抛物线y=a（x－1）+3（a≠0）经过点A（－2，0），∴ 0=9a+3, ∴ a=－.
∴ 二次函数的解析式为：y=－x2+x+.
（2） ∵ D为抛物线的顶点， ∴D（1，3）. 过D作DN⊥OB于N，则DN=3，AN=3, ∴ AD==6,∠DAO=60°.
∵ OM‖AD，
① 当AD=OP时，四边形DAOP是平行四边形， ∴ OP=6, ∴ t=6（s）.
② 当DP⊥OM时，四边形DAOP是直角梯形，过点O作OH⊥AD于H，
AO=2,则AH=1（也可由Rt△OHA∽Rt△DNA求AH=1）.
∴ OP=DH=5, t=5（s）.
③ 当PD=OA时，四边形DAOP是等腰梯形，
∴ OP=AD－2AH=6－2=4, ∴ t=4（s）.
综上所述：当t=6、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形.
（3）由（2）及已知，∠COB=60°,OC=OB,△OCB是等边三角形，
则OB=OC=AD=6,OP=t,BQ=2t,
∴ OQ=6－2t（0 过P作PE⊥OQ于E，则PE=t.
∴ S=×6×3－×（6－2t）×t=t－+.
∴当t=时，S的面积最小值为.
∴此时OQ=3, OP=, OE=.
∴ QE=3－=, PE=.
∴ PQ===.
评注 本题第（3）问四边形BCPQ是由两个质点以不同的速度同时运动形成的，我们应抓住运动变化中不变的关系式S=S－S列出二次函数解析式，从而求出面积的最小值．本题是一道融代数、几何为一体的探究题．本题注重在初中数学主干知识交汇处命题，突出了对学生探究能力、创新能力、综合运用知识等能力的考查.
例1 （湖南株洲）如图1，Rt△ABC中，∠A=90°，tanB=，点P在线段AB上运动，点Q、R分别在线段BC、AC上，且使得四边形APQR是矩形．设AP的长为x，矩形APQR的面积为y，已知y是x的函数，其图象是过点（12，36）的抛物线的一部分（如图2所示）．
（1） 求AB的长；
（2） 当AP为何值时，矩形APQR的面积最大，并求出最大值．
为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论：
张明：图2中的抛物线过点（12，36）在图1中表示什么呢？
李明：因为抛物线上的点（x，y）是表示图1中AP的长与矩形APQR面积的对应关系，那么，（12，36）表示当AP=12时，AP的长与矩形APQR面积的对应关系.
赵明：对，我知道纵坐标36是什么意思了！
孔明：哦，这样就可以算出AB，这个问题就可以解决了.
请根据上述对话，帮他们解答这个问题．
解 （1）当AP=12时，AP·PQ=36， ∴ PQ=3，又在Rt△BPQ中，tanB=，
∴ =，?摇 ∴ PB=4，?摇∴ AB=16．
（2） 解法一：若 AP=x，则PB=16－x，PQ=（16－x），∴ y=（16－x）x，整理得y=－（x－8）+48， ∴ 当x=8时，y＝48．
解法二：由AB=16，结合图象可知抛物线经过点（0，0）、（16，0）、（12，36），可设抛物线解析式为y=ax（x－16），将（12，36）代入求得a=－，∴ y=－x（x－16），整理得y=－（x－8）+48，
∴ 当x=8时， y＝48.
解法三：由AB=16，结合图象可知抛物线经过点（0，0）、（16，0），知抛物线对称轴为x=8，∴抛物线顶点的横坐标为8.∴当AP=8时，矩形APQR的面积最大，此时PB=8，∴ PQ=8×=6，∴最大面积为48．
评注 本题显著的特点是插入了一段对话讨论，这个讨论的目的是帮助学生理解抛物线上的点与几何图形之间的对应关系，渗透着数形结合的数学思想，充满了人文关怀．本题的特点二在于第（2）问，它的解决问题的方法多样，可以直接由图（1）利用矩形的面积公式建立等量关系，确定函数关系式，也可以利用图（2）抛物线上的点用待定系数法确定函数解析式，还可以将图（1）、（2）联系在一起数形结合解决问题．本题立意新，开放性强．
例2 （吉林长春）如图3，直线y=－x+6分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线y=x与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D．点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动．过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位）．点E的运动时间为t（秒）．
（1） 求点C的坐标；
（2） 当0
解：（1） 由题意，得y=－x+6y=x，
解得x=3y=x. ∴ C（3,）.
（2） 根据题意，得AE=t，OE=8-t. ∴点Q的纵坐标为（8-t），点P的纵坐标为t，
∴ PQ=（8-t）-t=10-2t.?摇 当MN在AD上时，10-2t=t， ∴ t=.
当0
（3） 当0
∴ t=时，S的最大值=.
∵ >，∴ S的最大值为.
评注 本题是一道得分率很低的中考压轴题．难点首先在于第（2）问很多学生想当然认为正方形的边MN总是在线段AD的右侧，忽视了随着E点的运动正方形PQMN完全在三角形内部的情况而造成错解、漏解．本题的难点还在于第（3）小题面积的最大值问题要针对第（2）小题的两种情况分别讨论并进行比较，从而求出S的最大值．本题要求学生具有用运动变化观点看待问题的能力，考查了学生的综合素质，拓展了学生的思维潜能．
例3 （重庆綦江）如图4，已知抛物线y=a（x－1）+3（a≠0）经过点A（－2，0），抛物线的顶点为D，过O作射线OM‖AD．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．
（1） 求该抛物线的解析式；
（2） 若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
（3） 若OC=OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．
解 （1）∵抛物线y=a（x－1）+3（a≠0）经过点A（－2，0），∴ 0=9a+3, ∴ a=－.
∴ 二次函数的解析式为：y=－x2+x+.
（2） ∵ D为抛物线的顶点， ∴D（1，3）. 过D作DN⊥OB于N，则DN=3，AN=3, ∴ AD==6,∠DAO=60°.
∵ OM‖AD，
① 当AD=OP时，四边形DAOP是平行四边形， ∴ OP=6, ∴ t=6（s）.
② 当DP⊥OM时，四边形DAOP是直角梯形，过点O作OH⊥AD于H，
AO=2,则AH=1（也可由Rt△OHA∽Rt△DNA求AH=1）.
∴ OP=DH=5, t=5（s）.
③ 当PD=OA时，四边形DAOP是等腰梯形，
∴ OP=AD－2AH=6－2=4, ∴ t=4（s）.
综上所述：当t=6、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形.
（3）由（2）及已知，∠COB=60°,OC=OB,△OCB是等边三角形，
则OB=OC=AD=6,OP=t,BQ=2t,
∴ OQ=6－2t（0
∴ S=×6×3－×（6－2t）×t=t－+.
∴当t=时，S的面积最小值为.
∴此时OQ=3, OP=, OE=.
∴ QE=3－=, PE=.
∴ PQ===.
评注 本题第（3）问四边形BCPQ是由两个质点以不同的速度同时运动形成的，我们应抓住运动变化中不变的关系式S=S－S列出二次函数解析式，从而求出面积的最小值．本题是一道融代数、几何为一体的探究题．本题注重在初中数学主干知识交汇处命题，突出了对学生探究能力、创新能力、综合运用知识等能力的考查.