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“动手操作”是学生学习数学的重要方式之一。认真审视时下课堂教学中学生的动手操作，不难发现，相当多的操作活动只注重生动活泼的“形式”，追求课堂气氛的“热闹”，却缺少活动中数学思维的含量。北师大肖川教授指出：让学生“动”起来是改革的一个目的，但光动起来是远远不够的。那么，操作活动应如何通过外在的操作去促进内隐的思维发展？提升操作活动中数学思维的含量应关注什么？本文就此作探讨。
一、激发“内需”是前提
操作应是学生的一种内在需要，而不是执行某一命令。操作活动的效果最终取决于学生在活动中智力和情感、态度、兴趣等非智力因素的投入。然而，一些课堂中的操作活动教师很少顾及学生的内在学习需求，未真正理解操作对学生学习数学的意义，操作仅是学生单纯的行为参与，如专家所言是“教师的脑，学生的手”。表面是学生操作，实质上并未达到操作的真正目的，更谈不上促进学生思维能力的发展。
例如，教学“长方形周长的计算”时，一位教师是这样组织活动的。师：六一儿童节快到了，我们一起来制作贺卡送给台湾的小朋友，好吗？生：好。师：请大家拿出准备好的长方形卡纸，说说这个长方形的周长在哪里？并用手摸一摸。（学生指）量一量长方形卡纸的长和宽，并算出它的周长。学生动手测量，得出长18厘米、宽10厘米，进而计算出周长是56厘米。师：老师给你们准备了一些彩带（彩带有三种：40厘米，60厘米，70厘米），用来给贺卡镶边，你觉得选择哪种彩带比较合适。生：选择60厘米的彩带。而同样的题材，类似的思路，另一位教师则作了调整。师：现在有三种彩带，用来给长方形的贺卡镶边，彩带的长度分别是40厘米、60厘米和70厘米。选择哪一种彩带最合适？要解决这一问题，需要收集哪些信息，又要解决哪些相关的数学问题呢？学生畅所欲言，在积极思考的基础上主动操作。
在上例中，两位教师的教学都有学生的动手操作，然而前者是强加的、指令的，后者则是心领神会、主动自觉的。教学效果上的大相径庭已十分清楚地告诉我们：强加给学生的操作是徒劳的，学生自觉的操作活动才是有效的。因此，设计操作活动时应关注和思考的问题是：究竟为什么要让学生去进行相应的数学活动？又如何才能使之真正成为学生的自觉行为？我们不仅应关注学生在做什么，还应考虑为什么要这样做，这样做产生了什么样的效果。实践证明，只有真正建立在学生内在需求基础上的数学活动，才可能真正发挥学生的主观能动性和创造
性；只有以积极的情感体验和深层次的认知参与为核心的数学活动，才能真正促进学生的发展。
二、实现“内化”是关键
著名心理学家皮亚杰认为，儿童的思维是从动作开始的，切断动作和思维的联系，思维就不能得到发展。那么，课改实践中大量的“动作”为何没有或更好地促进学生思维的发展呢？笔者认为，关键是缺少“内化”这一重要环节，正如郑毓信教授所言：“如果我们始终停留于实际操作的层面，而未能很好地实践活动的‘内化’，包括思维中的必要重构，就根本不可以发展任何真正的数学思维。”那么，如何很好地去实践活动的“内化”？
1．问题启迪。例如，教学“退位减”时，教师引导学生解读图意后，学生列出算式50-26。到底该如何算，教师又安排学生进行学具操作并让学生说说操作过程。生1：我在计数器十位上拨上5颗算珠，表示50，然后拨去2颗，再拨去1颗算珠换成个位上的10颗算珠，最后在个位上拨去6颗算珠，结果是24。生2：（摆小棒）我先摆了5捆小棒（1捆10根），然后拿掉2捆，又把1捆小棒换成10根，从10根里面拿掉6根，最后剩24根小棒。从后面的教学中，我们发现不同的方法会带来迥异的教学效果。教法一：教师面对竖式提问：“应该从哪一位算起？”生：“从个位算起。”教师讲解：“个位上0减6不够减，需向十位退1作10……”教法二：在学生操作后用问题去启迪学生积极思维：“两个同学用的学具不一样，但他们在操作时有一步却是相同的，你发现了吗？”（学生发现两次操作都有一个“换”的动作，并说明如何“换”。）“为什么都要换呢？”（引起学生对退“1”的原因作理性思考。）观察竖式并思考：“你认为在笔算50-26的时候，需要像我们在操作时那样‘换’吗？怎样‘换’”？在上例中，学生的操作是同样的，区别在于操作后是否有意识地引导学生领悟算理、启迪思维。方法一 ——学生动手操作与领悟算理之间脱节，学生思维也未得到发展；方法二——通过问题引导学生把操作中积累的经验迁移到笔算中，促使学生把直观的、外在的操作活动向内在的思维活动转化，从而顺利实现了“退1作10”的模型建构，学生的思维经历了由感性到理性的提升过程。
2．适时想像。教学“长方体体积公式的推导”，教师常常是先让学生用多个1立方厘米的小正方体摆成不同的长方体，然后引导学生观察长方体的长、宽、高与体积之间的关系（填表），最终得出体积公式。这样教学，从表面看学生似乎也经历了“操作——探究——讨论——概括结论”这一过程，但在整个过程中学生的有效思维明显不足。如果在学生用多个小正方体摆成不同长方体的基础上适时增加一个想像环节：还是用这些小正方体（如12个），请摆出比12立方厘米大的你想像中的长方体，并说出其体积。何以如此？我们知道，学生的活动一般要经历“动作操作——表象操作——符号操作”三个过程，表象操作是连接动作和符号操作的“桥梁”，这一“想像”环节把学生从“动手摆物体”上升到“脑中想物体”的“半具体、半抽象”水平，外部的动作不仅内化为头脑中的表象，还强化了学生的思考，学生自然地实现了从具体到抽象的数学建构。反之，缺少这一环节，直接把动作操作上升到符号操作，学生的认识很难上升到抽象的符号水平，思维受阻就是意料之中的事了。
三、引导反思是重点
建构主义认为，学习是在现实的特定操作过程中对自己活动过程的性质作反省抽象而产生的。新课程强调学生的动手操作，但我们应清醒地认识到，操作活动本身绝不是教学的最终目的，通过动手操作，丰富学生的直接经验和感性知识，积累更丰富的感性材料，在这个基础上抽象、概括、分析、推理以使学生的思维能力得到有效的锻炼和发展，才是我们组织学生操作实践的真正目的。鉴于此，在学生动手操作后，我们应及时开展比较、反思、交流活动，引导学生从数学层面来理解问题的本质，形成新的认识，获得数学思想方法。
例如，把一张长方形的纸对折……分别数一数平均分成的份数，填在表里。
教学此题，如果仅局限于学生在动手操作的基础上获得结论，显然这对启迪学生的思维毫无价值。于是，我在教学时作了一些改进：1．先猜后折，产生需要；2．观察每次对折后的份数，你发现了什么？学生发现次数每增加一次，平均分成的份数就是前一次的2倍；3．出示补充表格（在原表上增加一横栏，写出每次的算式）填写完整，说说你还能发现什么？学生在纵向、横向间都有发现，最后得出：对折几次，平均分成的份数就是几个2连乘的积；4．还有什么想法或困惑要跟大家交流。生：这方法虽然很好，但如果对折100次，不就要用100个2相乘？（学生在抽象概括的基础上主动作新的思考）5．如果已知对折后的份数是64，怎样求出对折的次数呢？……同样的一道题目，我们不难发现改进后的教学对启迪学生思维的价值。显然，这得益于层层深入的一次次发现、反思和交流活动。
四、把握“度”与“量”是保证
把“数学教学是数学活动的教学”片面理解为“数学教学是活动的教学”，这是导致操作活动中数学思维含量不高的又一原因。正是认识上的片面导致一些教师在设计操作活动时没有从教学内容和学生特点出发，没有明确目标，片面追求操作活动的次数和形式，这显然是本末倒置的做法。鉴于此，提升操作活动中数学思维的含量应紧扣三个“适”字：1．适时。要在学生想知而不知，似懂非懂时引导学生进行操作，以激起学生的求知欲望。学生一旦获得必要的感性知识，达到操作目的，应引导学生不失时机地进行抽象概括。2．适量。要从学生实际需要出发，依据学习内容的难、易程度确定是否需要操作，操作的量要严格控制。3．适度。即操作要有一定的限度，使用频率要恰当，不能为操作而操作，要以能否有助于完成一定教学任务，达到一定教学目的，促进学生思维发展为准绳。把握好个“适”字，这样的操作对教学来说才是必要的，对学生的发展才是有益的。
提升操作活动中数学思维的含量还与操作材料的探索性、操作活动的自主性、教师引导评价的精当、适切等诸多因素有关，但只要我们准确把握，淡化形式，注重内涵和实质，学生就会“动”有所想、“动”有所得。
作者单位
江苏省宜兴市第二实验小学
◇责任编辑：李瑞龙◇
一、激发“内需”是前提
操作应是学生的一种内在需要，而不是执行某一命令。操作活动的效果最终取决于学生在活动中智力和情感、态度、兴趣等非智力因素的投入。然而，一些课堂中的操作活动教师很少顾及学生的内在学习需求，未真正理解操作对学生学习数学的意义，操作仅是学生单纯的行为参与，如专家所言是“教师的脑，学生的手”。表面是学生操作，实质上并未达到操作的真正目的，更谈不上促进学生思维能力的发展。
例如，教学“长方形周长的计算”时，一位教师是这样组织活动的。师：六一儿童节快到了，我们一起来制作贺卡送给台湾的小朋友，好吗？生：好。师：请大家拿出准备好的长方形卡纸，说说这个长方形的周长在哪里？并用手摸一摸。（学生指）量一量长方形卡纸的长和宽，并算出它的周长。学生动手测量，得出长18厘米、宽10厘米，进而计算出周长是56厘米。师：老师给你们准备了一些彩带（彩带有三种：40厘米，60厘米，70厘米），用来给贺卡镶边，你觉得选择哪种彩带比较合适。生：选择60厘米的彩带。而同样的题材，类似的思路，另一位教师则作了调整。师：现在有三种彩带，用来给长方形的贺卡镶边，彩带的长度分别是40厘米、60厘米和70厘米。选择哪一种彩带最合适？要解决这一问题，需要收集哪些信息，又要解决哪些相关的数学问题呢？学生畅所欲言，在积极思考的基础上主动操作。
在上例中，两位教师的教学都有学生的动手操作，然而前者是强加的、指令的，后者则是心领神会、主动自觉的。教学效果上的大相径庭已十分清楚地告诉我们：强加给学生的操作是徒劳的，学生自觉的操作活动才是有效的。因此，设计操作活动时应关注和思考的问题是：究竟为什么要让学生去进行相应的数学活动？又如何才能使之真正成为学生的自觉行为？我们不仅应关注学生在做什么，还应考虑为什么要这样做，这样做产生了什么样的效果。实践证明，只有真正建立在学生内在需求基础上的数学活动，才可能真正发挥学生的主观能动性和创造
性；只有以积极的情感体验和深层次的认知参与为核心的数学活动，才能真正促进学生的发展。
二、实现“内化”是关键
著名心理学家皮亚杰认为，儿童的思维是从动作开始的，切断动作和思维的联系，思维就不能得到发展。那么，课改实践中大量的“动作”为何没有或更好地促进学生思维的发展呢？笔者认为，关键是缺少“内化”这一重要环节，正如郑毓信教授所言：“如果我们始终停留于实际操作的层面，而未能很好地实践活动的‘内化’，包括思维中的必要重构，就根本不可以发展任何真正的数学思维。”那么，如何很好地去实践活动的“内化”？
1．问题启迪。例如，教学“退位减”时，教师引导学生解读图意后，学生列出算式50-26。到底该如何算，教师又安排学生进行学具操作并让学生说说操作过程。生1：我在计数器十位上拨上5颗算珠，表示50，然后拨去2颗，再拨去1颗算珠换成个位上的10颗算珠，最后在个位上拨去6颗算珠，结果是24。生2：（摆小棒）我先摆了5捆小棒（1捆10根），然后拿掉2捆，又把1捆小棒换成10根，从10根里面拿掉6根，最后剩24根小棒。从后面的教学中，我们发现不同的方法会带来迥异的教学效果。教法一：教师面对竖式提问：“应该从哪一位算起？”生：“从个位算起。”教师讲解：“个位上0减6不够减，需向十位退1作10……”教法二：在学生操作后用问题去启迪学生积极思维：“两个同学用的学具不一样，但他们在操作时有一步却是相同的，你发现了吗？”（学生发现两次操作都有一个“换”的动作，并说明如何“换”。）“为什么都要换呢？”（引起学生对退“1”的原因作理性思考。）观察竖式并思考：“你认为在笔算50-26的时候，需要像我们在操作时那样‘换’吗？怎样‘换’”？在上例中，学生的操作是同样的，区别在于操作后是否有意识地引导学生领悟算理、启迪思维。方法一 ——学生动手操作与领悟算理之间脱节，学生思维也未得到发展；方法二——通过问题引导学生把操作中积累的经验迁移到笔算中，促使学生把直观的、外在的操作活动向内在的思维活动转化，从而顺利实现了“退1作10”的模型建构，学生的思维经历了由感性到理性的提升过程。
2．适时想像。教学“长方体体积公式的推导”，教师常常是先让学生用多个1立方厘米的小正方体摆成不同的长方体，然后引导学生观察长方体的长、宽、高与体积之间的关系（填表），最终得出体积公式。这样教学，从表面看学生似乎也经历了“操作——探究——讨论——概括结论”这一过程，但在整个过程中学生的有效思维明显不足。如果在学生用多个小正方体摆成不同长方体的基础上适时增加一个想像环节：还是用这些小正方体（如12个），请摆出比12立方厘米大的你想像中的长方体，并说出其体积。何以如此？我们知道，学生的活动一般要经历“动作操作——表象操作——符号操作”三个过程，表象操作是连接动作和符号操作的“桥梁”，这一“想像”环节把学生从“动手摆物体”上升到“脑中想物体”的“半具体、半抽象”水平，外部的动作不仅内化为头脑中的表象，还强化了学生的思考，学生自然地实现了从具体到抽象的数学建构。反之，缺少这一环节，直接把动作操作上升到符号操作，学生的认识很难上升到抽象的符号水平，思维受阻就是意料之中的事了。
三、引导反思是重点
建构主义认为，学习是在现实的特定操作过程中对自己活动过程的性质作反省抽象而产生的。新课程强调学生的动手操作，但我们应清醒地认识到，操作活动本身绝不是教学的最终目的，通过动手操作，丰富学生的直接经验和感性知识，积累更丰富的感性材料，在这个基础上抽象、概括、分析、推理以使学生的思维能力得到有效的锻炼和发展，才是我们组织学生操作实践的真正目的。鉴于此，在学生动手操作后，我们应及时开展比较、反思、交流活动，引导学生从数学层面来理解问题的本质，形成新的认识，获得数学思想方法。
例如，把一张长方形的纸对折……分别数一数平均分成的份数，填在表里。
教学此题，如果仅局限于学生在动手操作的基础上获得结论，显然这对启迪学生的思维毫无价值。于是，我在教学时作了一些改进：1．先猜后折，产生需要；2．观察每次对折后的份数，你发现了什么？学生发现次数每增加一次，平均分成的份数就是前一次的2倍；3．出示补充表格（在原表上增加一横栏，写出每次的算式）填写完整，说说你还能发现什么？学生在纵向、横向间都有发现，最后得出：对折几次，平均分成的份数就是几个2连乘的积；4．还有什么想法或困惑要跟大家交流。生：这方法虽然很好，但如果对折100次，不就要用100个2相乘？（学生在抽象概括的基础上主动作新的思考）5．如果已知对折后的份数是64，怎样求出对折的次数呢？……同样的一道题目，我们不难发现改进后的教学对启迪学生思维的价值。显然，这得益于层层深入的一次次发现、反思和交流活动。
四、把握“度”与“量”是保证
把“数学教学是数学活动的教学”片面理解为“数学教学是活动的教学”，这是导致操作活动中数学思维含量不高的又一原因。正是认识上的片面导致一些教师在设计操作活动时没有从教学内容和学生特点出发，没有明确目标，片面追求操作活动的次数和形式，这显然是本末倒置的做法。鉴于此，提升操作活动中数学思维的含量应紧扣三个“适”字：1．适时。要在学生想知而不知，似懂非懂时引导学生进行操作，以激起学生的求知欲望。学生一旦获得必要的感性知识，达到操作目的，应引导学生不失时机地进行抽象概括。2．适量。要从学生实际需要出发，依据学习内容的难、易程度确定是否需要操作，操作的量要严格控制。3．适度。即操作要有一定的限度，使用频率要恰当，不能为操作而操作，要以能否有助于完成一定教学任务，达到一定教学目的，促进学生思维发展为准绳。把握好个“适”字，这样的操作对教学来说才是必要的，对学生的发展才是有益的。
提升操作活动中数学思维的含量还与操作材料的探索性、操作活动的自主性、教师引导评价的精当、适切等诸多因素有关，但只要我们准确把握，淡化形式，注重内涵和实质，学生就会“动”有所想、“动”有所得。
作者单位
江苏省宜兴市第二实验小学
◇责任编辑：李瑞龙◇