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摘 要：在初中数学中，关于对称主要是指轴对称和中心对称。而平面坐标系中的对称也主要是这两种对称，在平面直角坐标系中由于有了坐标的引入，所以无论是何种对称都可以从图像和坐标两个方面加以分析和解决。本文从点，直线及抛物线的各种对称深入地分析平面直角坐标系中各种对称问题从而找到合适的办法。
关键词：对称；平面直角坐标系；数形结合
对称是图形的一种变换，在初中数学中主要涉及到轴对称和中心对称。其中轴对称是关于一条直线对称而中心对称是关于某一个点对称。在平面直角坐标系的环境下，轴对称主要是指关于x轴，y轴和某条已知直线对称，而中心对称一般是关于某个已知点的对称。
一、点的对称
在平面坐标系中有一点P（x，y），那么P点的对称主要是指关于x 轴，y轴和原点的对称。
从图形的角度来分析，若关于坐标轴对称，则点P和对称点P'到坐标轴轴的距离相等。如下图。
从坐标的角度来分析，P和P'若关于x轴对称则它们的横坐标相同，而它们分别位于x轴的上方和下方，所以纵坐标互为相反数。同理P（x，y）关于y轴对称点的坐标为（-x，y）。即纵坐标不变，横坐标互为相反数。若关于原点的对称点的坐标从图形的角度来分析可以通过三角形全等的方式证明。
所以我们从图形的角度加以分析后得到了坐标之间的一些关系，这样我们以后再处理类似的问题时就不用画图形了。
那么点p（x，y）关于任意一点的对称点的坐标又该如何求呢？这个问题我们不妨直接从坐标入手。比如说点p的坐标为（5，2）很明显，点P
与它的对称点P'关于（m，n）对称，即（m，n）是PP'的中点，因此利用中点公式■=m■=n ，不难求出xp'及yp'的坐标xp' = 2m-5yp' = 2n-2。推广任意一点（x，y）关于（m，n）对称点坐标（x0，y0）为x0 = 2m-xy0 = 2n-y 。
以上这些都是比较常见的对称，而P（x，y）关于一、三象限角平分线对称点的坐标又如何来求。当然，在网格中根据对称的性质去作图是一种可靠保险的方式，如下图。
从这里我们得到了点P（x，y）关于y = x的对称点坐标为（y，x），即横纵坐标互换。如果不是一条特殊的直线，就是一条普通的直线，又会有什么样的结论出现。
例：求P（5，2）关于直线y = 2x-1的对称点坐标？
对这个问题我们似乎有些束手无策了。当然我们先把点和直线放在平面直角坐标系中，如下图。
从图形的角度出发也还是可以解决这个问题。但我们似乎很难得到一个一般性的从彼此的坐标出发的一个公式。于是图形在解决这个问题上起到了至关重要的作用。
二、直线的对称
在平面直角坐标系中有一条直线，解析式为y = kx+b（k≠0），那么它关于x轴、y轴原点的对称图形又如何呢？
例：直线y = 2x-1，关于x轴对称直线解析式是什么，关于y轴对称直线的解析式，关于原点呢？
要解决这个问题，画图形然后利用对称的性质来解决是比较稳妥的方式，但是这样做会带来一个问题，就是图形要求做的十分精确到位，并且得到的解析式不一定完全准确。如此既要耗费大量的时间，又不能得到一个准确的结论显然有点得不偿失，那么我们从坐标的角度出发来分析如何？
线都是由点构成的，如果需要把每个点都作对称，整条直线也就作了一次对称。若（x0，y0）为y = 2x-1上一点，（x0，y0）关于x轴对称的坐标为（x0，-y0），也就是说（x0，-y0）在对称直线上，因此只要保持y = 2x-1中的x不变，而y变为-y即可。同理，关于y轴的对称直线解析式只需要保持纵坐标不变，横坐标x变为-x即可。而关于原点对称，把x换成-x，y换成-y即可。
示例：直线y = 2x-1，关于点（m，n）对称直线的解析式是什么？
上面已经讲到点（x，y）关于（m，n）对称点坐标为（2m-x，2n-y），那么，可否把y = 2x-1中的x直接用2m-x替换，y直接用2n-y替换呢？当然可以，重复上面的话，线是由点构成的，点的对称有何规律，线亦如此，当然也包括后面提到的抛物线。
总结：
1） y = kx+b（k≠0），关于x轴对称直线解析式为y = -kx-b
2） y = kx+b（k≠0），关于x轴对称直线解析式为y = -kx+b
3） y = kx+b（k≠0），关于（0，0）的对称直线解析式为y = kx-b
4） y = kx+b（k≠0），关于（m，n）的对称直线解析式为2y-n=k（2m-x）+b
三、抛物线的对称
有了前面直线的对称作铺垫，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称也就相对来说更加水到渠成了。
示例：y=x2-2x-3关于x轴对称的抛物线解析式为什么？关于y轴和关于原点对称的抛物线解析式又是什么？
如果从图形的角度出发，我们只需要把抛物线的顶点先做对称然后在抛物线上再找一点做对称，即可以找出对成后的抛物线。
能否有一种不画图也能得到结论的方法？那么我们还是从坐标的角度出发来看这个问题，y=x2-2x-3关于x轴对称的抛物线解析式只需要保持x不变，把y变成-y即可，-y=x2-2x-3整理后即y=-x2+2x+3，同样可得到它关于y轴对称的抛物线解析式为y=（-x）2-2（-x）-3=x2+2x-3，这需要注意，应把所有的x换成-x，在上面中，x2及-2x两项中的x均换成-x。
总结：
1） y=ax2+bx+c（a≠0）关于x轴对称的抛物线解析式为y=-ax2-bx-c 2） y=ax2+bx+c（a≠0）关于y轴对称的抛物线解析式为y=ax2-bx+c
3） y=ax2+bx+c（a≠0）关于原点对称的抛物线解析式为y=-ax2+bx-c
4） y=ax2+bx+c（a≠0）关于点（m，n）对称的抛物线解析式为2n-y=a（2m-x）2+b（2m-x）+c
在解决有关平面直角坐标系中的对称问题时，作图显然是一种稳妥的方式，利用对称的性质在图形中能解决问题，但是有时候未免比较费时费力而且结论不一定准确，而找出坐标之间的一些关系，不通过作图也能解决相关的对称问题，所以，“形”还是“不形”关键还是看具体的题目而定！
关键词：对称；平面直角坐标系；数形结合
对称是图形的一种变换，在初中数学中主要涉及到轴对称和中心对称。其中轴对称是关于一条直线对称而中心对称是关于某一个点对称。在平面直角坐标系的环境下，轴对称主要是指关于x轴，y轴和某条已知直线对称，而中心对称一般是关于某个已知点的对称。
一、点的对称
在平面坐标系中有一点P（x，y），那么P点的对称主要是指关于x 轴，y轴和原点的对称。
从图形的角度来分析，若关于坐标轴对称，则点P和对称点P'到坐标轴轴的距离相等。如下图。
从坐标的角度来分析，P和P'若关于x轴对称则它们的横坐标相同，而它们分别位于x轴的上方和下方，所以纵坐标互为相反数。同理P（x，y）关于y轴对称点的坐标为（-x，y）。即纵坐标不变，横坐标互为相反数。若关于原点的对称点的坐标从图形的角度来分析可以通过三角形全等的方式证明。
所以我们从图形的角度加以分析后得到了坐标之间的一些关系，这样我们以后再处理类似的问题时就不用画图形了。
那么点p（x，y）关于任意一点的对称点的坐标又该如何求呢？这个问题我们不妨直接从坐标入手。比如说点p的坐标为（5，2）很明显，点P
与它的对称点P'关于（m，n）对称，即（m，n）是PP'的中点，因此利用中点公式■=m■=n ，不难求出xp'及yp'的坐标xp' = 2m-5yp' = 2n-2。推广任意一点（x，y）关于（m，n）对称点坐标（x0，y0）为x0 = 2m-xy0 = 2n-y 。
以上这些都是比较常见的对称，而P（x，y）关于一、三象限角平分线对称点的坐标又如何来求。当然，在网格中根据对称的性质去作图是一种可靠保险的方式，如下图。
从这里我们得到了点P（x，y）关于y = x的对称点坐标为（y，x），即横纵坐标互换。如果不是一条特殊的直线，就是一条普通的直线，又会有什么样的结论出现。
例：求P（5，2）关于直线y = 2x-1的对称点坐标？
对这个问题我们似乎有些束手无策了。当然我们先把点和直线放在平面直角坐标系中，如下图。
从图形的角度出发也还是可以解决这个问题。但我们似乎很难得到一个一般性的从彼此的坐标出发的一个公式。于是图形在解决这个问题上起到了至关重要的作用。
二、直线的对称
在平面直角坐标系中有一条直线，解析式为y = kx+b（k≠0），那么它关于x轴、y轴原点的对称图形又如何呢？
例：直线y = 2x-1，关于x轴对称直线解析式是什么，关于y轴对称直线的解析式，关于原点呢？
要解决这个问题，画图形然后利用对称的性质来解决是比较稳妥的方式，但是这样做会带来一个问题，就是图形要求做的十分精确到位，并且得到的解析式不一定完全准确。如此既要耗费大量的时间，又不能得到一个准确的结论显然有点得不偿失，那么我们从坐标的角度出发来分析如何？
线都是由点构成的，如果需要把每个点都作对称，整条直线也就作了一次对称。若（x0，y0）为y = 2x-1上一点，（x0，y0）关于x轴对称的坐标为（x0，-y0），也就是说（x0，-y0）在对称直线上，因此只要保持y = 2x-1中的x不变，而y变为-y即可。同理，关于y轴的对称直线解析式只需要保持纵坐标不变，横坐标x变为-x即可。而关于原点对称，把x换成-x，y换成-y即可。
示例：直线y = 2x-1，关于点（m，n）对称直线的解析式是什么？
上面已经讲到点（x，y）关于（m，n）对称点坐标为（2m-x，2n-y），那么，可否把y = 2x-1中的x直接用2m-x替换，y直接用2n-y替换呢？当然可以，重复上面的话，线是由点构成的，点的对称有何规律，线亦如此，当然也包括后面提到的抛物线。
总结：
1） y = kx+b（k≠0），关于x轴对称直线解析式为y = -kx-b
2） y = kx+b（k≠0），关于x轴对称直线解析式为y = -kx+b
3） y = kx+b（k≠0），关于（0，0）的对称直线解析式为y = kx-b
4） y = kx+b（k≠0），关于（m，n）的对称直线解析式为2y-n=k（2m-x）+b
三、抛物线的对称
有了前面直线的对称作铺垫，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称也就相对来说更加水到渠成了。
示例：y=x2-2x-3关于x轴对称的抛物线解析式为什么？关于y轴和关于原点对称的抛物线解析式又是什么？
如果从图形的角度出发，我们只需要把抛物线的顶点先做对称然后在抛物线上再找一点做对称，即可以找出对成后的抛物线。
能否有一种不画图也能得到结论的方法？那么我们还是从坐标的角度出发来看这个问题，y=x2-2x-3关于x轴对称的抛物线解析式只需要保持x不变，把y变成-y即可，-y=x2-2x-3整理后即y=-x2+2x+3，同样可得到它关于y轴对称的抛物线解析式为y=（-x）2-2（-x）-3=x2+2x-3，这需要注意，应把所有的x换成-x，在上面中，x2及-2x两项中的x均换成-x。
总结：
1） y=ax2+bx+c（a≠0）关于x轴对称的抛物线解析式为y=-ax2-bx-c 2） y=ax2+bx+c（a≠0）关于y轴对称的抛物线解析式为y=ax2-bx+c
3） y=ax2+bx+c（a≠0）关于原点对称的抛物线解析式为y=-ax2+bx-c
4） y=ax2+bx+c（a≠0）关于点（m，n）对称的抛物线解析式为2n-y=a（2m-x）2+b（2m-x）+c
在解决有关平面直角坐标系中的对称问题时，作图显然是一种稳妥的方式，利用对称的性质在图形中能解决问题，但是有时候未免比较费时费力而且结论不一定准确，而找出坐标之间的一些关系，不通过作图也能解决相关的对称问题，所以，“形”还是“不形”关键还是看具体的题目而定！