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【摘 要】本文通过例析，揭示了高中试题中弹簧弹力做功问题解题的两种主要思路：一是通过其他途径求解：如利用F-x图像求解，利用功能原理转化;二是让弹簧形变量相同，即选取特殊位置，使两次（或多次）弹簧弹力做功相同来解答问题。
【关键词】高中试题 弹簧弹力 做功
“人教版必修2”《探究弹性势能的表达式》一节，没有给出弹性势能（取弹簧原长为零势能处）的表达式。故在高中试题中，命题人在设计弹簧弹力做功类试题时，既要回避的使用，又要考查学生过程分析能力。弹簧的弹力是变力，弹力的大小随弹簧的形变量发生变化，求弹力做功时，不能直接用功的定义式，因此高中试题中在命制弹簧弹力做功问题主要有如下两种思路：
一、通过其他途径转化求解弹簧弹力做功
一方面，弹簧的弹力与形变量成正比例变化，而F-x图像与x轴所围的面积为变力F做功，故可以利用F-x图像求弹簧弹力做的功;另一方面，如果弹簧被作为系统内物体时，弹簧的弹力对系统内物体做不做功都不影响系统的机械能，故可利用能量的转化与守恒的角度求解，现举例如下：
[例1] 如图1甲所示，一根轻质弹簧左端固定在竖直墙面上，右端放一个可视为质点的小物块，当弹簧处于原长时，小物块静止于O点.现对小物块施加一个外力F，使它缓慢移动，将弹簧压缩至A点，压缩量为x=0.1m，在这一过程中，所用外力F与压缩量的关系如图乙所示.然后撤去F释放小物块，让小物块沿桌面运动，计算时，可用滑动摩擦力近似等于最大静摩擦力.求：
图1
在压缩弹簧的过程中，弹簧存贮的最大弹性势能.
[解析]从能量角度看，弹簧是个贮能元件，弹簧存贮的弹性势能对应弹簧所做负功的值。F-x图像中x=0时对应F为最大静摩擦力（等于滑动摩擦力），而F-x图像与x轴所围面积为变力F做的功.
取向右为正方向，从F-x图中可以看出，小物块与桌面间的滑动摩擦力大小为Ff=1.0N，方向为负方向，在压缩过程中，摩擦力做功为Wf =-Ff x=-0.1J
由图线与x轴所围面积可得外力F做功为
所以弹簧存贮的最大弹性势能为Epm=WF+Wf=2.3J
[例2]（2013年北京高考）蹦床比赛分成预备运动和比赛动作两个阶段。最初，运动员静止站在蹦床上;在预备运动阶段，他经过若干次蹦跳，逐渐增加上升高度，最终达到完成比赛动作所需的高度;此后，进入比赛动作阶段。把蹦床简化为一个竖直放置的轻弹簧，弹力大小为F=kx（x为床面下沉的距离，k为常量）。质量m=50kg的运动员静止站在蹦床上，床面下沉x0=0.10m;在预备运动中，假定运动员所做的总功W全部用于增加其机械能，在比赛动作中，把该运动员视作质点，其每次离开床面做竖直上抛运动的腾空时间均为△t=2.0s，设运动员每次落下使床面压缩的最大深度均为x1。取重力加速度g=10m/s2，忽略空气阻力的影响。
图2
（1）求常量k，并在图2中画出弹力F随x变化的示意图;（2）求在比赛动作中，运动员离开床面后上升的最大高度hm;（3）借助F-x图像可以确定弹力做功的规律，在此基础上，求x1和W的值.
[解析]（1）床面下沉x0=0.10m时，运动员受力平衡mg=kx0得k==5.0×103N/m，F-x图像如图3所示.（2）运动员从x=0处离开床面，开始腾空，其上升，下落时间相等hm==5.0m.（3）在F-x图线下方的面积等于弹力的功。从x处到x=0，弹力做功W弹，W弹=·x·kx3=kx2.
图3
运动员从x1处上升到最大高度hm的过程，根据动能定理，有kx21-mg（x1+hm）=0，得x1=x0+=1.1m对整个预备运动，由 题设条件以功和能的关系有：W=-kx20+mg（hm+x0）得W=2525J≈2.5×103J.
以上例子是以F-x图像求解或以能量转化与守恒定律（包括机械能守恒定律）求解弹簧弹力做功问题。
二、取弹簧形变量相同（即选取特殊位置），使两次（或多次）弹簧弹力做功相同来解答问题
[例4] 如图4所示，在固定的足够长的光滑斜面上，一小物块用细绳通过光滑滑轮与轻质弹簧的一端相连，弹簧另一端固定在水平地面上，细绳与斜面平行，小物块在A点时弹簧无形变，细绳刚好伸直但无拉力。把质量为m的该小物块从A点由静止释放，它下滑距离时经过B点速度最大，继续下滑距离到达C点时速度恰好为零，弹簧处于弹性限度内。斜面的倾角为θ，重力加速度为g.求：
（1）小物块刚被释放时的加速度aA的大小和方向;（2）小物块经过B点时弹簧弹力F的大小，以及到达C点时弹簧的弹性势能Ep;（3）若小物块的质量为2m，仍从A点由静止释放，求该物块运动的最大速度vm的大小（弹簧仍处于弹性限度内）。
图4
[解析]（1）由牛顿第二定律得mgsinθ=maA，aA=gsinθ方向沿斜面向下。
（2）设物体刚经过B点时绳的拉力为FT，则FT=mgsinθ即F=FT=mgsinθ
从A至C点对系统由机械能守恒可得Ep=mgLsinθ.（3）质量为m的小物体运动到B点时，弹簧伸长量x1=，对小物块，由平衡条件可得kx1=mgsinθ.
质量为2m的小物块速度最大时，设弹簧伸长量为x2，由平衡条件可得kx2=2mgsinθ，即x2=2x1=L，故质量2m的物体，在C点速度最大，从A至C点，由机械能守恒得2mgLsinθ=Ep+2mv2m，解得vm=.
[例5]（2012年江苏高考）某缓冲装置的理想模型如图5所示，劲度系数足够大的轻质弹簧与轻杆相连，轻杆可在固定的槽内移动，与槽间的滑动摩擦力恒为f. 轻杆向右移动不超过l 时，装置可安全工作. 一质量为m 的小车若以速度v0 撞击弹簧，将导致轻杆向右移动.轻杆与槽间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且不计小车与地面的摩擦.
图5
【关键词】高中试题 弹簧弹力 做功
“人教版必修2”《探究弹性势能的表达式》一节，没有给出弹性势能（取弹簧原长为零势能处）的表达式。故在高中试题中，命题人在设计弹簧弹力做功类试题时，既要回避的使用，又要考查学生过程分析能力。弹簧的弹力是变力，弹力的大小随弹簧的形变量发生变化，求弹力做功时，不能直接用功的定义式，因此高中试题中在命制弹簧弹力做功问题主要有如下两种思路：
一、通过其他途径转化求解弹簧弹力做功
一方面，弹簧的弹力与形变量成正比例变化，而F-x图像与x轴所围的面积为变力F做功，故可以利用F-x图像求弹簧弹力做的功;另一方面，如果弹簧被作为系统内物体时，弹簧的弹力对系统内物体做不做功都不影响系统的机械能，故可利用能量的转化与守恒的角度求解，现举例如下：
[例1] 如图1甲所示，一根轻质弹簧左端固定在竖直墙面上，右端放一个可视为质点的小物块，当弹簧处于原长时，小物块静止于O点.现对小物块施加一个外力F，使它缓慢移动，将弹簧压缩至A点，压缩量为x=0.1m，在这一过程中，所用外力F与压缩量的关系如图乙所示.然后撤去F释放小物块，让小物块沿桌面运动，计算时，可用滑动摩擦力近似等于最大静摩擦力.求：
图1
在压缩弹簧的过程中，弹簧存贮的最大弹性势能.
[解析]从能量角度看，弹簧是个贮能元件，弹簧存贮的弹性势能对应弹簧所做负功的值。F-x图像中x=0时对应F为最大静摩擦力（等于滑动摩擦力），而F-x图像与x轴所围面积为变力F做的功.
取向右为正方向，从F-x图中可以看出，小物块与桌面间的滑动摩擦力大小为Ff=1.0N，方向为负方向，在压缩过程中，摩擦力做功为Wf =-Ff x=-0.1J
由图线与x轴所围面积可得外力F做功为
所以弹簧存贮的最大弹性势能为Epm=WF+Wf=2.3J
[例2]（2013年北京高考）蹦床比赛分成预备运动和比赛动作两个阶段。最初，运动员静止站在蹦床上;在预备运动阶段，他经过若干次蹦跳，逐渐增加上升高度，最终达到完成比赛动作所需的高度;此后，进入比赛动作阶段。把蹦床简化为一个竖直放置的轻弹簧，弹力大小为F=kx（x为床面下沉的距离，k为常量）。质量m=50kg的运动员静止站在蹦床上，床面下沉x0=0.10m;在预备运动中，假定运动员所做的总功W全部用于增加其机械能，在比赛动作中，把该运动员视作质点，其每次离开床面做竖直上抛运动的腾空时间均为△t=2.0s，设运动员每次落下使床面压缩的最大深度均为x1。取重力加速度g=10m/s2，忽略空气阻力的影响。
图2
（1）求常量k，并在图2中画出弹力F随x变化的示意图;（2）求在比赛动作中，运动员离开床面后上升的最大高度hm;（3）借助F-x图像可以确定弹力做功的规律，在此基础上，求x1和W的值.
[解析]（1）床面下沉x0=0.10m时，运动员受力平衡mg=kx0得k==5.0×103N/m，F-x图像如图3所示.（2）运动员从x=0处离开床面，开始腾空，其上升，下落时间相等hm==5.0m.（3）在F-x图线下方的面积等于弹力的功。从x处到x=0，弹力做功W弹，W弹=·x·kx3=kx2.
图3
运动员从x1处上升到最大高度hm的过程，根据动能定理，有kx21-mg（x1+hm）=0，得x1=x0+=1.1m对整个预备运动，由 题设条件以功和能的关系有：W=-kx20+mg（hm+x0）得W=2525J≈2.5×103J.
以上例子是以F-x图像求解或以能量转化与守恒定律（包括机械能守恒定律）求解弹簧弹力做功问题。
二、取弹簧形变量相同（即选取特殊位置），使两次（或多次）弹簧弹力做功相同来解答问题
[例4] 如图4所示，在固定的足够长的光滑斜面上，一小物块用细绳通过光滑滑轮与轻质弹簧的一端相连，弹簧另一端固定在水平地面上，细绳与斜面平行，小物块在A点时弹簧无形变，细绳刚好伸直但无拉力。把质量为m的该小物块从A点由静止释放，它下滑距离时经过B点速度最大，继续下滑距离到达C点时速度恰好为零，弹簧处于弹性限度内。斜面的倾角为θ，重力加速度为g.求：
（1）小物块刚被释放时的加速度aA的大小和方向;（2）小物块经过B点时弹簧弹力F的大小，以及到达C点时弹簧的弹性势能Ep;（3）若小物块的质量为2m，仍从A点由静止释放，求该物块运动的最大速度vm的大小（弹簧仍处于弹性限度内）。
图4
[解析]（1）由牛顿第二定律得mgsinθ=maA，aA=gsinθ方向沿斜面向下。
（2）设物体刚经过B点时绳的拉力为FT，则FT=mgsinθ即F=FT=mgsinθ
从A至C点对系统由机械能守恒可得Ep=mgLsinθ.（3）质量为m的小物体运动到B点时，弹簧伸长量x1=，对小物块，由平衡条件可得kx1=mgsinθ.
质量为2m的小物块速度最大时，设弹簧伸长量为x2，由平衡条件可得kx2=2mgsinθ，即x2=2x1=L，故质量2m的物体，在C点速度最大，从A至C点，由机械能守恒得2mgLsinθ=Ep+2mv2m，解得vm=.
[例5]（2012年江苏高考）某缓冲装置的理想模型如图5所示，劲度系数足够大的轻质弹簧与轻杆相连，轻杆可在固定的槽内移动，与槽间的滑动摩擦力恒为f. 轻杆向右移动不超过l 时，装置可安全工作. 一质量为m 的小车若以速度v0 撞击弹簧，将导致轻杆向右移动.轻杆与槽间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且不计小车与地面的摩擦.
图5