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摘要：阿氏圆与卡西尼卵形线是有名的轨迹问题，本文以其为载体，利用GeoGebra软件演示了两类轨迹的形成过程，实现了数学知识点的可视化。
关键词：GeoGebra;阿氏圆;卡西尼卵形线;可视化
平面内，到两定点F1、F2的距离之和等于定值2a（2a>F1F2）的点的轨迹为椭圆，到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定值2a（2a<F1F2）的点的轨迹为双曲线.进一步研究，到两定点的距离之比（积）为定值的点的轨迹又是什么？
一、阿氏圆探究
1. 阿氏圆背景a
阿氏圆是阿波罗尼斯圆的简称.到两定点的距离之比为定值a（a>0且a?1）的点的轨迹为圆[1]，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现.
2. 基于GeoGebra的阿氏圆可视化探究构造步骤：
步骤1：选取滑动条工具构造参数a（区间可选为[0，10]），选取射线工具构造射线AB，选取对象上的点工具构造射线AB上任意点C.
步骤2：选取对象上的点工具构造x轴上任意点D、E，选取圆（圆心与半径）工具以D为圆心AC为半径构造圆c.
步骤3：选取距离/长度工具度量线段AC，在输入框中输入r=ACa，得到r的值，选取圆（圆心与半径）工具以E为圆心r为半径构造圆d.
步骤4：选取交点工具构造圆c、圆d的交点F、G，选取 线段工具，构造线段DF、DG、EF、EG.
步骤5：选取 轨迹工具构造F关于C的轨迹，同方法构造G关于C的轨迹.
构造说明：1、利用滑动条工具确定a的值（a>0且a?1）.
3.D、E为两个定点，F、G为两圆的交点.当C在射线AB上运动时，F、G也随之运动，但都有a=AC|/r=|DF|/|FE|=|DG|/|GE|，满足条件的轨迹为圆。
二、卡西尼卵形线探究
1. 卡西尼卵形线背景
到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹为卡西尼卵形线.卡西尼卵形线最先有法国籍天文学家和水利工程师乔凡尼·多美尼科·卡西尼在研究土星及卫星的运行规律时发现的.
2. 基于GeoGebra的卡西尼卵形线可视化探究
构造步骤：
步骤1、2同前面的步骤1、2.
步骤3：选取距离/长度工具度量线段AC，在输入框中输入r=aAC，得到r的值，选取圆（圆心与半径）工具以E为圆心r为半径构造圆d.
步骤4同前面的步骤4.
构造说明：1、利用滑动条工具确定a的值.
3. D、E为两个定点，F、G为两圆的交点.当C在射线AB上运动时，F、G也随之运动，但都有a=r·|AC|=|FE|·|DF|=|GE|·|DG|
4. 对于DE=2，当a取大于0的不同值时，可以得到以下结论：
（1）当0<a<1时，图像分为两支封闭曲线，随a的减小而分别向两定点D、E收缩（如图三）;
（2）当a=1时图像成?形自相交叉的双纽线（如图四）;
（3）当1<a<2时图像是一条没有自交点的光滑曲线，曲线中部有凹进的细腰（如图五）;
（4）当a=2时图像与第（3）种情况相似，曲线中部变平（如图六）;
（5）当a>2时，曲线中部凸起（如图七）.
三、结束语
阿氏圆与卡西尼卵形线都是有名的轨迹问题，以它们为背景的几何问题在近年来的高考中经常出现，运用GeoGebra软件对它们进行可视化探究，为知识的猜想、探究和证明提供帮助.
参考文献
[1] 温庆峰.从一道课本习题看“阿波罗尼斯”圆[J].中学数学，2019（07）：38-39.
[2] https：//wenku.baidu.com/view/b05a064d650e52ea5518986b.html
[3] 徐永忠.阿波羅尼斯圆与高考试题[J].上海中学数学，2014（1-2）：90-93.
项目资助：湖南省职业院校教育教学改革研究项目（立项编号：ZJZB2019034）。
关键词：GeoGebra;阿氏圆;卡西尼卵形线;可视化
平面内，到两定点F1、F2的距离之和等于定值2a（2a>F1F2）的点的轨迹为椭圆，到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定值2a（2a<F1F2）的点的轨迹为双曲线.进一步研究，到两定点的距离之比（积）为定值的点的轨迹又是什么？
一、阿氏圆探究
1. 阿氏圆背景a
阿氏圆是阿波罗尼斯圆的简称.到两定点的距离之比为定值a（a>0且a?1）的点的轨迹为圆[1]，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现.
2. 基于GeoGebra的阿氏圆可视化探究构造步骤：
步骤1：选取滑动条工具构造参数a（区间可选为[0，10]），选取射线工具构造射线AB，选取对象上的点工具构造射线AB上任意点C.
步骤2：选取对象上的点工具构造x轴上任意点D、E，选取圆（圆心与半径）工具以D为圆心AC为半径构造圆c.
步骤3：选取距离/长度工具度量线段AC，在输入框中输入r=ACa，得到r的值，选取圆（圆心与半径）工具以E为圆心r为半径构造圆d.
步骤4：选取交点工具构造圆c、圆d的交点F、G，选取 线段工具，构造线段DF、DG、EF、EG.
步骤5：选取 轨迹工具构造F关于C的轨迹，同方法构造G关于C的轨迹.
构造说明：1、利用滑动条工具确定a的值（a>0且a?1）.
3.D、E为两个定点，F、G为两圆的交点.当C在射线AB上运动时，F、G也随之运动，但都有a=AC|/r=|DF|/|FE|=|DG|/|GE|，满足条件的轨迹为圆。
二、卡西尼卵形线探究
1. 卡西尼卵形线背景
到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹为卡西尼卵形线.卡西尼卵形线最先有法国籍天文学家和水利工程师乔凡尼·多美尼科·卡西尼在研究土星及卫星的运行规律时发现的.
2. 基于GeoGebra的卡西尼卵形线可视化探究
构造步骤：
步骤1、2同前面的步骤1、2.
步骤3：选取距离/长度工具度量线段AC，在输入框中输入r=aAC，得到r的值，选取圆（圆心与半径）工具以E为圆心r为半径构造圆d.
步骤4同前面的步骤4.
构造说明：1、利用滑动条工具确定a的值.
3. D、E为两个定点，F、G为两圆的交点.当C在射线AB上运动时，F、G也随之运动，但都有a=r·|AC|=|FE|·|DF|=|GE|·|DG|
4. 对于DE=2，当a取大于0的不同值时，可以得到以下结论：
（1）当0<a<1时，图像分为两支封闭曲线，随a的减小而分别向两定点D、E收缩（如图三）;
（2）当a=1时图像成?形自相交叉的双纽线（如图四）;
（3）当1<a<2时图像是一条没有自交点的光滑曲线，曲线中部有凹进的细腰（如图五）;
（4）当a=2时图像与第（3）种情况相似，曲线中部变平（如图六）;
（5）当a>2时，曲线中部凸起（如图七）.
三、结束语
阿氏圆与卡西尼卵形线都是有名的轨迹问题，以它们为背景的几何问题在近年来的高考中经常出现，运用GeoGebra软件对它们进行可视化探究，为知识的猜想、探究和证明提供帮助.
参考文献
[1] 温庆峰.从一道课本习题看“阿波罗尼斯”圆[J].中学数学，2019（07）：38-39.
[2] https：//wenku.baidu.com/view/b05a064d650e52ea5518986b.html
[3] 徐永忠.阿波羅尼斯圆与高考试题[J].上海中学数学，2014（1-2）：90-93.
项目资助：湖南省职业院校教育教学改革研究项目（立项编号：ZJZB2019034）。