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摘 要：小学数学四大领域中，绝大多数的学习对象都可以用实物情境、 教具模型、图形图表、言语、书写符号这五种类型来进行表征（有的可以细分、延伸）。在数学概念教学中，利用多元表征可以多层次地抽象数学概念，多视角地归纳数学概念，多维度地建构数学概念，从而使学生的数学学习深度发生，促进学生数学思维的自然生长。
关键词：多元表征;数学概念;正比例;数学学习深度
【认识】基于理论研究，走近数学多元表征
数学中的“数”主要是指数学中言语化表征，如文字、数字、式子、数学概念、数学性质、数学定理等;相应地，数学中的“形”主要是指数学中视觉化表征，如实物、教学模型、图像、几何图形等。因此，数学学习中，对同一个数学对象，至少可以运用“数”和“形”两类表征的多种形式表征，这就是数学对象的多元表征。
美国著名数学教育心理学家莱什（Lash）从数学表征在数学学习中交流、认知等作用出发，指出数学学习中有五种外在表征系统（如右图）：
【窥探】基于问题研究，引领数学概念教学
1 多元表征——发展核心素养的有效载体
随着课改的推进，如何发展学生的数学核心素养已成为一个关键的命题。笔者认为学生的数学核心素养的发展离不开数学概念的支撑，而数学概念学习的核心是理解，多元表征可以从多角度、多维度地帮助学生实现对数学概念的真正理解，使数学学习深度发生，从而发展学生的数学核心素养。
2 多元表征——理解数学概念的有效方式
笔者认为学生必须同时具备以下三个条件才能真正理解了一个数学概念：第一，他必须能将所学数学概念放入不同的表征系统之中;第二，在给定的表征系统内，他能够很好地处理这个概念;第三，他必须很精确地将此概念从一个表征系统转换到另一个表征系统中，即在不同的表征系统之间任意切换。
3 多元表征——提升数学思维的有效策略
多元表征，不仅仅给学生提供多元化问题解决方案，更重要的是培养学生多样化思维方式和习惯，促进学生数学思维品质的全面提升。在学生经历数学多元表征的过程中，通过不断的表征转换，将学生的数学思维水平从具体形象思维推向直观想象和抽象逻辑思维层次，提升学生解决问题的策略水平和数学思维品质。
【深究】基于课例研究，探寻表征实施路径
1 通观教材，全面了解知识体系编排
1.1 基于学情现状，纵向分析单元体系
以人教版为例，知识的结构性比较清晰，但知识的结构性不等于学生认知的结构化需求。虽然人教版教材中有图、文、表格、图像等，但知识的认知形式是以逻辑结构来表现的，因此，教材在结构编排上需要追根溯源，着力理解“课时知识内容”的逻辑性结构。
1.2 基于知识本质，横向比较多版教材
虽然四个版本在学习“正比例”内容时安排了情境、图表（像）、符号、言语等表征，但仔细品读各版教材，我们会发现，这些表征呈现的顺序各不相同：如人教版和青岛版都在一个课时内进行多元表征进行正比例的理解;而北师大版本先理解两个量的关系，再呈现图像展开教学;苏教版则通过两个课时的呈现进行教学。但无论哪种方式，通过纵向的加深、横向的对比，进行循环式表征，让学生对“正比例”的本质进行理解，从而增强学生的认知过程。
2 整体设计，合理运用多元表征建构
2.1 纵向多元表征，多层次抽象数学概念
2.1.1 从情境表征走向图表表征，探寻关联变化，用表格展示数量变化关系。
[教学片段]
师：仔细观察，谁来说一说加油机上的数据有什么变化？
师：为什么体积不断变化，金额也随之不断变化呢？
生1：油量多了，需要的钱自然就多了。
生2：因为金额=油的单价×油的体积，油的体积越大，金额自然也大了。
师：可见，加油的体积和金额是两种相关联的量，体积变化，金额也随着变化。
师：在生活中，你还能列举出这样的现象吗？
师：同学们说得很好！行驶的距离和用油量，行驶的时间和距离，菜的重量和是总价，都是两个相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化。
师：为了便于同学们观察，老师选择了几组数据，制成下表：
[教学反思]
本环节通过视频展示加油机显示屏体积和金额数据不停变化的生活实例，让学生直观感受到：油的体积和金额是两种相关联的量。接着让学生列举一些生活中的具体事例，学生从加油到汽车行驶中的耗油、汽车行驶时间与距离，以及买菜等，通过言语表征进一步理解两种先关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化。最后通过数据提取、列表表征，让学生进一步感受到体积和金额变化的关系，为接下去的学习做好铺垫。
2.1.2 从数量表征走向符号表征，探寻单值对应，用字母表示数学变化规律。
[教学片段]
师：如果将表格继续画下去，我们可以用什么方法表示体积和金额呢？
生：可以用字母X表示体积，用字母Y表示金额。
师：X和Y可以任意表示体积和金额？你也能说一组X和Y的数据吗？
生1：X可以是7.00，此时Y是54.60。
生2：X可以是10.00，此时Y是78.00。
师：当X取一个数时，Y就是一个和它对应的数。怎么判断Y对不对呢？
生1：用单价7.80元乘体积就知道了。
生2：也可以用Y的数值除以X的数值，看是否等于7.80元。
师：虽然体积变化，金额也随之变化，但金额和体积的比值始终都是7.80。也就是
師：你能用字母表示他们之间的关系吗？
生： [教学反思]
本环节紧紧抓住两种变化量的单值对应，在变化中寻找不变量，并能用字母表示它们之间的关系。教师在学生充分实践的基础上总结提出：用X和Y表示两种相关联的变化量，用k表示这两种变化量对应的数的比值，如果Y/X=k（一定），我们就说X和Y是成正比例的量，它们的关系就是成正比例关系。在学生充分理解的基础上进行总结，显得水到渠成。
2.1.3 从符号表征回归情境表征，密切联系生活，准确判断正比例关系。
[教学片段]
●师出示：王师傅生产零件的情况如下表：
（1）表中两种相关联的量是什么？你是怎么看出来的？
（2）写出几组相对应的工作总量和工作时间的比，比较比值的大小。
（3）工作总量和工作时间成正比例吗？为什么？
●师出示：李师傅做同一种服装，做的套数和用布米数如下表：
做的套数和用布米数成正比例吗？为什么？
●师出示：先填表，再回答问题
（1）正方形的周长与边长成正比例吗？为什么？
（2）正方形的面积与边长成正比例嗎？为什么？
[教学反思]
本环节设计三个逐渐深入的实践应用，第一层次是引导性实践应用，通过三个问题组成的问题串全面回顾关联变化量的单值对应和数量关系，学会判断两个变化量成正比例关系的方法;第二层次为检测性实践应用，旨在检测学生能否独立应用所学方法对新情境两个变化量进行判断，看他们是否成正比例;第三层次为综合性实践应用，教材提供连个情境非常接近的实际例子，一个是正例，一个是反例，让学生学会应用所学方法进行灵活正确判断两个变量是否成正比例。
2.2 横向多元表征，多视角归纳数学概念
横向多元表征可以尽量多地给学生提供概念的具体样例，多角度呈现数学概念的外延特征，便于学生积累数学概念的感性经验，引导学生多视角归纳“正比例”概念。
2.2.1 第一次对比
[教学片段]
师：仔细观察，同样是行程问题，你们发现有什么相同和不同的地方。
生1：两辆车的速度不同，一辆每小时60千米，另一辆每小时120千米。
生2：表示第一辆车速度的线比较缓，还有一辆车速度的线比较陡。
师：同学们能用手势比画一下吗？
生3：虽然这两辆车的速度不同，但每一辆车都是匀速在行驶的。
师：谁能听明白他的意思？
生：他的意思是表格内相对应的路程除以时间，都等于60或者120。
将两个情境的各类表征进行对比，在对比中让学生自主发现、探讨、理解，只要是每个情境中路程与时间的比值始终相同，也就是一定，那么这两个量就成正比例，并且通过图像表征，更加直观地感受到，虽然正比例图像看上去不一样，但本质还是在于两个相关联的量的比值一定。通过这样的横向对比，在不知不觉中将“正比例”概念及意义进行内化、巩固。
2.2.2 第二次对比
[教学片段]
师：仔细观察这两个例子，你们发现有什么相同和不同的地方？
生1：两个例子的情境不同。
生2：这两个例子中两个数据的比值都是60。
生3：虽然两个量的比值都是60，但是两条线倾斜地不一样。
将两个不同情境的表征进行对比，引导学生更为本质地观察与发现，虽然情境不同，但每个情境中的比值都是一定的;虽然比值一定都是60，但是所呈现的图像却又不一样。最重要的是让学生在感受这些同与不同中发现，真正应该关注的还是两个关键点，一是这两个量是否关联，二是这两个量的比值是否一定。如果符合，无论情境如何、比的值如何、所成图形中的线倾斜如何，都表示这两个量成“正比例”关系。
综上所述，多元表征学习能有效帮助学生深刻理解数学基本知识，扎实掌握数学基本技能，发展数学思维水平，积累数学活动经验，促进数学核心素养的不断生长，让学生的数学学习深度发生。在数学教学实践中，我们还需进一步加强研究，深入探讨其教育实践价值。
参考文献：
[1] 吴恢銮.《多元表征：赋予儿童自我建构概念的思维路径》.
[2] 席爱勇.《多元表征学习：数学核心素养落地生根的有效范式》.
[3] 吴德娟.《多元表征下数学活动经验的积累》.
关键词：多元表征;数学概念;正比例;数学学习深度
【认识】基于理论研究，走近数学多元表征
数学中的“数”主要是指数学中言语化表征，如文字、数字、式子、数学概念、数学性质、数学定理等;相应地，数学中的“形”主要是指数学中视觉化表征，如实物、教学模型、图像、几何图形等。因此，数学学习中，对同一个数学对象，至少可以运用“数”和“形”两类表征的多种形式表征，这就是数学对象的多元表征。
美国著名数学教育心理学家莱什（Lash）从数学表征在数学学习中交流、认知等作用出发，指出数学学习中有五种外在表征系统（如右图）：
【窥探】基于问题研究，引领数学概念教学
1 多元表征——发展核心素养的有效载体
随着课改的推进，如何发展学生的数学核心素养已成为一个关键的命题。笔者认为学生的数学核心素养的发展离不开数学概念的支撑，而数学概念学习的核心是理解，多元表征可以从多角度、多维度地帮助学生实现对数学概念的真正理解，使数学学习深度发生，从而发展学生的数学核心素养。
2 多元表征——理解数学概念的有效方式
笔者认为学生必须同时具备以下三个条件才能真正理解了一个数学概念：第一，他必须能将所学数学概念放入不同的表征系统之中;第二，在给定的表征系统内，他能够很好地处理这个概念;第三，他必须很精确地将此概念从一个表征系统转换到另一个表征系统中，即在不同的表征系统之间任意切换。
3 多元表征——提升数学思维的有效策略
多元表征，不仅仅给学生提供多元化问题解决方案，更重要的是培养学生多样化思维方式和习惯，促进学生数学思维品质的全面提升。在学生经历数学多元表征的过程中，通过不断的表征转换，将学生的数学思维水平从具体形象思维推向直观想象和抽象逻辑思维层次，提升学生解决问题的策略水平和数学思维品质。
【深究】基于课例研究，探寻表征实施路径
1 通观教材，全面了解知识体系编排
1.1 基于学情现状，纵向分析单元体系
以人教版为例，知识的结构性比较清晰，但知识的结构性不等于学生认知的结构化需求。虽然人教版教材中有图、文、表格、图像等，但知识的认知形式是以逻辑结构来表现的，因此，教材在结构编排上需要追根溯源，着力理解“课时知识内容”的逻辑性结构。
1.2 基于知识本质，横向比较多版教材
虽然四个版本在学习“正比例”内容时安排了情境、图表（像）、符号、言语等表征，但仔细品读各版教材，我们会发现，这些表征呈现的顺序各不相同：如人教版和青岛版都在一个课时内进行多元表征进行正比例的理解;而北师大版本先理解两个量的关系，再呈现图像展开教学;苏教版则通过两个课时的呈现进行教学。但无论哪种方式，通过纵向的加深、横向的对比，进行循环式表征，让学生对“正比例”的本质进行理解，从而增强学生的认知过程。
2 整体设计，合理运用多元表征建构
2.1 纵向多元表征，多层次抽象数学概念
2.1.1 从情境表征走向图表表征，探寻关联变化，用表格展示数量变化关系。
[教学片段]
师：仔细观察，谁来说一说加油机上的数据有什么变化？
师：为什么体积不断变化，金额也随之不断变化呢？
生1：油量多了，需要的钱自然就多了。
生2：因为金额=油的单价×油的体积，油的体积越大，金额自然也大了。
师：可见，加油的体积和金额是两种相关联的量，体积变化，金额也随着变化。
师：在生活中，你还能列举出这样的现象吗？
师：同学们说得很好！行驶的距离和用油量，行驶的时间和距离，菜的重量和是总价，都是两个相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化。
师：为了便于同学们观察，老师选择了几组数据，制成下表：
[教学反思]
本环节通过视频展示加油机显示屏体积和金额数据不停变化的生活实例，让学生直观感受到：油的体积和金额是两种相关联的量。接着让学生列举一些生活中的具体事例，学生从加油到汽车行驶中的耗油、汽车行驶时间与距离，以及买菜等，通过言语表征进一步理解两种先关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化。最后通过数据提取、列表表征，让学生进一步感受到体积和金额变化的关系，为接下去的学习做好铺垫。
2.1.2 从数量表征走向符号表征，探寻单值对应，用字母表示数学变化规律。
[教学片段]
师：如果将表格继续画下去，我们可以用什么方法表示体积和金额呢？
生：可以用字母X表示体积，用字母Y表示金额。
师：X和Y可以任意表示体积和金额？你也能说一组X和Y的数据吗？
生1：X可以是7.00，此时Y是54.60。
生2：X可以是10.00，此时Y是78.00。
师：当X取一个数时，Y就是一个和它对应的数。怎么判断Y对不对呢？
生1：用单价7.80元乘体积就知道了。
生2：也可以用Y的数值除以X的数值，看是否等于7.80元。
师：虽然体积变化，金额也随之变化，但金额和体积的比值始终都是7.80。也就是
師：你能用字母表示他们之间的关系吗？
生： [教学反思]
本环节紧紧抓住两种变化量的单值对应，在变化中寻找不变量，并能用字母表示它们之间的关系。教师在学生充分实践的基础上总结提出：用X和Y表示两种相关联的变化量，用k表示这两种变化量对应的数的比值，如果Y/X=k（一定），我们就说X和Y是成正比例的量，它们的关系就是成正比例关系。在学生充分理解的基础上进行总结，显得水到渠成。
2.1.3 从符号表征回归情境表征，密切联系生活，准确判断正比例关系。
[教学片段]
●师出示：王师傅生产零件的情况如下表：
（1）表中两种相关联的量是什么？你是怎么看出来的？
（2）写出几组相对应的工作总量和工作时间的比，比较比值的大小。
（3）工作总量和工作时间成正比例吗？为什么？
●师出示：李师傅做同一种服装，做的套数和用布米数如下表：
做的套数和用布米数成正比例吗？为什么？
●师出示：先填表，再回答问题
（1）正方形的周长与边长成正比例吗？为什么？
（2）正方形的面积与边长成正比例嗎？为什么？
[教学反思]
本环节设计三个逐渐深入的实践应用，第一层次是引导性实践应用，通过三个问题组成的问题串全面回顾关联变化量的单值对应和数量关系，学会判断两个变化量成正比例关系的方法;第二层次为检测性实践应用，旨在检测学生能否独立应用所学方法对新情境两个变化量进行判断，看他们是否成正比例;第三层次为综合性实践应用，教材提供连个情境非常接近的实际例子，一个是正例，一个是反例，让学生学会应用所学方法进行灵活正确判断两个变量是否成正比例。
2.2 横向多元表征，多视角归纳数学概念
横向多元表征可以尽量多地给学生提供概念的具体样例，多角度呈现数学概念的外延特征，便于学生积累数学概念的感性经验，引导学生多视角归纳“正比例”概念。
2.2.1 第一次对比
[教学片段]
师：仔细观察，同样是行程问题，你们发现有什么相同和不同的地方。
生1：两辆车的速度不同，一辆每小时60千米，另一辆每小时120千米。
生2：表示第一辆车速度的线比较缓，还有一辆车速度的线比较陡。
师：同学们能用手势比画一下吗？
生3：虽然这两辆车的速度不同，但每一辆车都是匀速在行驶的。
师：谁能听明白他的意思？
生：他的意思是表格内相对应的路程除以时间，都等于60或者120。
将两个情境的各类表征进行对比，在对比中让学生自主发现、探讨、理解，只要是每个情境中路程与时间的比值始终相同，也就是一定，那么这两个量就成正比例，并且通过图像表征，更加直观地感受到，虽然正比例图像看上去不一样，但本质还是在于两个相关联的量的比值一定。通过这样的横向对比，在不知不觉中将“正比例”概念及意义进行内化、巩固。
2.2.2 第二次对比
[教学片段]
师：仔细观察这两个例子，你们发现有什么相同和不同的地方？
生1：两个例子的情境不同。
生2：这两个例子中两个数据的比值都是60。
生3：虽然两个量的比值都是60，但是两条线倾斜地不一样。
将两个不同情境的表征进行对比，引导学生更为本质地观察与发现，虽然情境不同，但每个情境中的比值都是一定的;虽然比值一定都是60，但是所呈现的图像却又不一样。最重要的是让学生在感受这些同与不同中发现，真正应该关注的还是两个关键点，一是这两个量是否关联，二是这两个量的比值是否一定。如果符合，无论情境如何、比的值如何、所成图形中的线倾斜如何，都表示这两个量成“正比例”关系。
综上所述，多元表征学习能有效帮助学生深刻理解数学基本知识，扎实掌握数学基本技能，发展数学思维水平，积累数学活动经验，促进数学核心素养的不断生长，让学生的数学学习深度发生。在数学教学实践中，我们还需进一步加强研究，深入探讨其教育实践价值。
参考文献：
[1] 吴恢銮.《多元表征：赋予儿童自我建构概念的思维路径》.
[2] 席爱勇.《多元表征学习：数学核心素养落地生根的有效范式》.
[3] 吴德娟.《多元表征下数学活动经验的积累》.