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【摘要】“对数的概念”教学在职高数学课堂教学中的境遇相信我们每个数学老师都深有体会，面对抽象的概念和字母，学生根本无法入脑，最后启而不发，课堂上有的只是数学老师的自编自导.学生单靠机械记忆被动接受，效果可想而知.随着建构主义理念的推广，笔者根据学生的实际情况，采用建构主义的数学观、教学观和学习观来帮助学生理解对数的概念，有了很大的改善.
【关键词】建构主义；案例；对数概念
一、从风雨到阳光
记得有次去某职高参加数学观摩课，看到老师在上“对数的概念和计算”时是这样引入的：
案例1
教学过程：
师：今天我们要学新的运算，首先我们来看一个思考题：
假设2000年我们富阳市的生产总值为a亿元，如果保持每年平均增长3%，那么经过多少年我市生产总值是2000年的2倍？
大概过了3分钟左右，教师在巡视了学生的解题过程后让同学们停下来，请同学站起来回答.
解假设经过x年我们富阳市生产总值为2000年的2倍，根据题意得a（1+3%）x=2a，即1.03x=2.发现x运用现有的运算解决不了，于是水到渠成地引入了对数的概念.
……
整个教学过程显得非常流畅，在几名学生的配合下，课堂看似取得了很好的效果，学生好像都掌握了.
回来之后，我也刚上到这块内容，于是我基本上按照这个老师的套路去上课了.
也是给出一样的思考题作为引例，这中间为了看看学生的反应，我巡视了整个课堂，发现大部分同学根本不会列式，有些勉强列出来了，还是错的，只有极少数人能把式子列出，但发现求不出x.我发现时间已经过去了8分钟，有反应的实在太少了，于是请学生停下来，边回忆初中的列方程解应用题的步骤边做这个思考题.
解假设经过x年我市生产总值为2000年的2倍，根据题意有a（1+3%）x=2a，即1.03x=2.
我微笑着问道：大家是不是发现这个x好像求不出？那怎么办？
学生：你看看我，我看看你……
师接着说：这就是我们今天要学的对数问题，学了这节课，我们就能知道答案了.
（板书课题和定义）
下午我正在批改作业，有两名学生来到办公室.学生甲：“老师，我今天的课都没有听懂啊，能不能帮我再讲一遍？”我微笑着说：“行！你哪里不懂？”学生乙：“她根本就没听课，一节课都在那傻呼呼的.”学生甲：“冤枉！我一直都在认真思考开始的那道思考题怎么做！不好意思，其实我上课之前没有预习……因为初中学得不好，对数学害怕，尤其是一遇到应用题，直接放弃，再说看到同桌一下就列出等式，心就更慌了，又想看看课本上的答案，但是心里不服气，所以就花了很多时间在列式，至于后面你讲的内容我什么都没听到！”学生甲实际上在告诉我她根本还不知道“对数”是怎么回事，更别说什么地方不懂了.接着乙（笑）：“其实她还算是好的了，最后还能自己列出等式来，丙到现在还没列出来呢！”哦，我的天哪！学生的注意力都集中到开头的国民生产总值这道思考题了，完全背离了本节课的重点！听了她们两个的对话，我的直觉是：这样的课有问题！但是我明明是按照新课程的要求上的呀，因为很多职高学生认为数学这么难，而且学了又没有用，所以我要让她们感觉到数学是有用的，数学来源于生活，又应用于生活，反过来我们可以解决很多的实际问题.但是这样为什么她们还是听不懂？如何找到能让职高学生掌握系统的数学知识和技能，又符合他们的认知规律，而且最好还能提高他们的数感的方法？
于是经过整理，写下教学反思：职高学生的特点是困难于应用题，害怕于应用题，我就该避其弱项，同时提醒自己下次不能随便照搬别人的经验，所谓“教学有法，但无定法”，况且对象不同，更需缜密思考.下午还有一个平行班，我决定把改好的引入设计付诸行动！
案例2
教学过程：
教师（刚上课即向全体学生发问）：2+3等于多少，大家知道吗？
学生（愕然、警觉但轻松地）：2加3等于5.
（教师板书：5=2+3）
教师：大家都知道，这是一个由2和3进行加法运算而产生的等式，请大家想想各个数的名称（学生回答）……请问，同样用这三个数字，2=？且3=？
学生：2=5-3，3=5-2.
教师：我们发现，用5，3表示2或用5，2表示3的等式已由原来的加法等式变成了它的逆运算减法等式，各个数字的名称也随之改变；我们还可以得到一个结论：每一个数都能用另外两个数通过加法或减法运算表示出来.
教师：请同学们回顾从小学到现在学过的所有运算，用2和3找出与加法和减法类似的互逆运算等式来.
（学生回忆作答，教师提示，板书：6=2×3，2=6÷3，3=6÷2，23=8，2=3[]8，3=？（产生认知冲突））
教师：大家已经发现，借助现有的运算，无法将3用2和8表示出来，这节课我们就来研究一种新的运算——对数运算.（引入定义）
学生反馈记录：
学生甲：我上课前预习的时候，不是很弄得明白，而且字母太多了，再加上附加的条件，觉得这个定义很难搞懂.今天上课用你讲的办法来帮助理解，感觉太美妙了！
学生乙：真数、底数、对数实际上和差、减数、被减数一样，只是数的名称而已；还有，对数式的真数大于零的限制本来我不是很弄得明白，经你讲了之后发现它们只是和除式中的除数不能等于零的限制一样，都是为了有意义，很自然不过了.
教师：这其实在数学上体现了一种思想，叫类比，我们以后还经常会提及的……
学生丙：真没想到，从读书到现在，竟然学明白了这么多东西，真有成就感！
学生甲不经意间的一句“太美妙了！”使我感到：几种互逆运算等式之间的互相转换，不正体现了数学的对称美吗？数学美让学生在学习过程中能感受到，不就是我们数学老师的任务之一吗？ 于是，我信心大增，在保持案例2的主要结构的基础上对其进行了部分改进.在后来学校举行的“五个一”比赛中精心制作了课件：利用事先在幻灯片上做好的课件，列出几个互逆运算等式，启发学生发现互逆运算具有对称美，然后让学生用2和3再继续寻找所学过的运算中类似的结构，得出一个乘方与开方的实例，继而发现“美中不足”的是3无法用2和8表示出来，由此产生认知冲突，从而创造出一个新的概念——对数，于是“美”得以完善为：3=log28.此次比赛取得了很好的效果，最终获得一等奖.
二、沐浴在温暖的阳光下
针对本次课我从教师、学生和心理学的认知层面进行总结：
1.从教师层面分析
案例1中的引例在初中数学学习中是一个重难点，而我没有考虑到现有职高学生在列方程解应用题方面是短板，在初中养成一种习惯，凡是碰到应用题就放弃，好一点的能列出式子已经是了不起，但能求出的就寥寥无几.我把它作为引例只是从我自身的角度出发，硬是要让数学源于生活，又应用于生活，表面上看起来可行，实际上由于职高学生的认知水平问题，那是不可能达成的，所以也就起不到应有的作用.而建构主义的数学观认为，数学是不绝对可靠的、不天衣无缝的、不独立的真理，它是一种经验或拟经验的活动.数学的法则、定理、概念体现了这类活动的思想规律，它们不是一大套死板的、无关联的方法，只能用来分别处理各自的具体问题，而是体现了处理情境的思想和策略.因而，数学研究和数学学习是一个思想实验或“准实验”，要有投入者的亲身实践和体验.经过教学反思之后，才有了之后改进的两个案例.
2.从学生层面进行分析
显然在案例1中其中一名学生的基础是比较好的，虽不能理解，但是能用机械记忆和简单的模仿来解题，从表面上看这节课的目的似乎达到了，但是他到底有没有从知识的内部需求上感受这个概念，我是不得而知的.建构主义的学习观认为，虽然学生要学的数学是历史上前人已建构好了的，但对他们而言，仍是全新的、未知的，需要用他们自己的学习活动来再现类似的过程.其理论强调创设问题情景，把创设情境看作是“意义建构”的必要前提，并作为教学设计的最重要的内容之一.而我在课堂教学中直接给出了概念，和医生在患者身上打强行针是没有区别的，强制性地把新概念注入学生头脑，学生处于被动地位，使思维呈依赖性，因而学生只能消极被动地接受这个定义而未能内化，知其然而不知其所以然，无法达到有意义的、有成效的理解.所以经过思考之后，做了改进，用加、减、乘、除运算引入，虽然学生有防备心理，但是简单的问题他们还是愿意回答的，从而对今后的课堂氛围也有很好的促进作用.
3.从认知层面分析
对案例1定义理解的不踏实是有根据的，职高学生的认知发展水平实际上和初中相比较有提高，但是其能力还是很弱的.由具体的数字运算进入了抽象的字母运算阶段需要时机的把握，把数学思想一点一滴地渗透，从具体到抽象，由特殊到一般，需要循序渐进地引导.同时建构主义的教学观认为，教学不应解释为由教师向学生灌输知识，将知识单向地传授给学生，应让学生参与教学过程，并组织、监控、调整自己的活动，教师的地位应由主导者转变为指导者、辅导者.所以也才有了修改以后的两个案例.
有了以上的反思，要成功地上好一节数学概念课，我觉得在教学设计中应该有用心的情景创设，精心的问题设计，让学生在过程中自然而然地学到知识，又感觉不出是老师在当纤夫.
三、期待再次的阳光
最后，如果能够让学生自己去发现对数的途径，那就更好了.学生如果能在教师创设的情景中像数学家那样去思考数学，经历一遍发现、创造的过程，那我想学生不仅能获得概念，同时还可以培养他们的创造精神，我们的案例还缺少这样的创造过程.但是话说回来，职高的学生要达到这样的境界恐怕比较困难，这是我们以后前进的目标.
【关键词】建构主义；案例；对数概念
一、从风雨到阳光
记得有次去某职高参加数学观摩课，看到老师在上“对数的概念和计算”时是这样引入的：
案例1
教学过程：
师：今天我们要学新的运算，首先我们来看一个思考题：
假设2000年我们富阳市的生产总值为a亿元，如果保持每年平均增长3%，那么经过多少年我市生产总值是2000年的2倍？
大概过了3分钟左右，教师在巡视了学生的解题过程后让同学们停下来，请同学站起来回答.
解假设经过x年我们富阳市生产总值为2000年的2倍，根据题意得a（1+3%）x=2a，即1.03x=2.发现x运用现有的运算解决不了，于是水到渠成地引入了对数的概念.
……
整个教学过程显得非常流畅，在几名学生的配合下，课堂看似取得了很好的效果，学生好像都掌握了.
回来之后，我也刚上到这块内容，于是我基本上按照这个老师的套路去上课了.
也是给出一样的思考题作为引例，这中间为了看看学生的反应，我巡视了整个课堂，发现大部分同学根本不会列式，有些勉强列出来了，还是错的，只有极少数人能把式子列出，但发现求不出x.我发现时间已经过去了8分钟，有反应的实在太少了，于是请学生停下来，边回忆初中的列方程解应用题的步骤边做这个思考题.
解假设经过x年我市生产总值为2000年的2倍，根据题意有a（1+3%）x=2a，即1.03x=2.
我微笑着问道：大家是不是发现这个x好像求不出？那怎么办？
学生：你看看我，我看看你……
师接着说：这就是我们今天要学的对数问题，学了这节课，我们就能知道答案了.
（板书课题和定义）
下午我正在批改作业，有两名学生来到办公室.学生甲：“老师，我今天的课都没有听懂啊，能不能帮我再讲一遍？”我微笑着说：“行！你哪里不懂？”学生乙：“她根本就没听课，一节课都在那傻呼呼的.”学生甲：“冤枉！我一直都在认真思考开始的那道思考题怎么做！不好意思，其实我上课之前没有预习……因为初中学得不好，对数学害怕，尤其是一遇到应用题，直接放弃，再说看到同桌一下就列出等式，心就更慌了，又想看看课本上的答案，但是心里不服气，所以就花了很多时间在列式，至于后面你讲的内容我什么都没听到！”学生甲实际上在告诉我她根本还不知道“对数”是怎么回事，更别说什么地方不懂了.接着乙（笑）：“其实她还算是好的了，最后还能自己列出等式来，丙到现在还没列出来呢！”哦，我的天哪！学生的注意力都集中到开头的国民生产总值这道思考题了，完全背离了本节课的重点！听了她们两个的对话，我的直觉是：这样的课有问题！但是我明明是按照新课程的要求上的呀，因为很多职高学生认为数学这么难，而且学了又没有用，所以我要让她们感觉到数学是有用的，数学来源于生活，又应用于生活，反过来我们可以解决很多的实际问题.但是这样为什么她们还是听不懂？如何找到能让职高学生掌握系统的数学知识和技能，又符合他们的认知规律，而且最好还能提高他们的数感的方法？
于是经过整理，写下教学反思：职高学生的特点是困难于应用题，害怕于应用题，我就该避其弱项，同时提醒自己下次不能随便照搬别人的经验，所谓“教学有法，但无定法”，况且对象不同，更需缜密思考.下午还有一个平行班，我决定把改好的引入设计付诸行动！
案例2
教学过程：
教师（刚上课即向全体学生发问）：2+3等于多少，大家知道吗？
学生（愕然、警觉但轻松地）：2加3等于5.
（教师板书：5=2+3）
教师：大家都知道，这是一个由2和3进行加法运算而产生的等式，请大家想想各个数的名称（学生回答）……请问，同样用这三个数字，2=？且3=？
学生：2=5-3，3=5-2.
教师：我们发现，用5，3表示2或用5，2表示3的等式已由原来的加法等式变成了它的逆运算减法等式，各个数字的名称也随之改变；我们还可以得到一个结论：每一个数都能用另外两个数通过加法或减法运算表示出来.
教师：请同学们回顾从小学到现在学过的所有运算，用2和3找出与加法和减法类似的互逆运算等式来.
（学生回忆作答，教师提示，板书：6=2×3，2=6÷3，3=6÷2，23=8，2=3[]8，3=？（产生认知冲突））
教师：大家已经发现，借助现有的运算，无法将3用2和8表示出来，这节课我们就来研究一种新的运算——对数运算.（引入定义）
学生反馈记录：
学生甲：我上课前预习的时候，不是很弄得明白，而且字母太多了，再加上附加的条件，觉得这个定义很难搞懂.今天上课用你讲的办法来帮助理解，感觉太美妙了！
学生乙：真数、底数、对数实际上和差、减数、被减数一样，只是数的名称而已；还有，对数式的真数大于零的限制本来我不是很弄得明白，经你讲了之后发现它们只是和除式中的除数不能等于零的限制一样，都是为了有意义，很自然不过了.
教师：这其实在数学上体现了一种思想，叫类比，我们以后还经常会提及的……
学生丙：真没想到，从读书到现在，竟然学明白了这么多东西，真有成就感！
学生甲不经意间的一句“太美妙了！”使我感到：几种互逆运算等式之间的互相转换，不正体现了数学的对称美吗？数学美让学生在学习过程中能感受到，不就是我们数学老师的任务之一吗？ 于是，我信心大增，在保持案例2的主要结构的基础上对其进行了部分改进.在后来学校举行的“五个一”比赛中精心制作了课件：利用事先在幻灯片上做好的课件，列出几个互逆运算等式，启发学生发现互逆运算具有对称美，然后让学生用2和3再继续寻找所学过的运算中类似的结构，得出一个乘方与开方的实例，继而发现“美中不足”的是3无法用2和8表示出来，由此产生认知冲突，从而创造出一个新的概念——对数，于是“美”得以完善为：3=log28.此次比赛取得了很好的效果，最终获得一等奖.
二、沐浴在温暖的阳光下
针对本次课我从教师、学生和心理学的认知层面进行总结：
1.从教师层面分析
案例1中的引例在初中数学学习中是一个重难点，而我没有考虑到现有职高学生在列方程解应用题方面是短板，在初中养成一种习惯，凡是碰到应用题就放弃，好一点的能列出式子已经是了不起，但能求出的就寥寥无几.我把它作为引例只是从我自身的角度出发，硬是要让数学源于生活，又应用于生活，表面上看起来可行，实际上由于职高学生的认知水平问题，那是不可能达成的，所以也就起不到应有的作用.而建构主义的数学观认为，数学是不绝对可靠的、不天衣无缝的、不独立的真理，它是一种经验或拟经验的活动.数学的法则、定理、概念体现了这类活动的思想规律，它们不是一大套死板的、无关联的方法，只能用来分别处理各自的具体问题，而是体现了处理情境的思想和策略.因而，数学研究和数学学习是一个思想实验或“准实验”，要有投入者的亲身实践和体验.经过教学反思之后，才有了之后改进的两个案例.
2.从学生层面进行分析
显然在案例1中其中一名学生的基础是比较好的，虽不能理解，但是能用机械记忆和简单的模仿来解题，从表面上看这节课的目的似乎达到了，但是他到底有没有从知识的内部需求上感受这个概念，我是不得而知的.建构主义的学习观认为，虽然学生要学的数学是历史上前人已建构好了的，但对他们而言，仍是全新的、未知的，需要用他们自己的学习活动来再现类似的过程.其理论强调创设问题情景，把创设情境看作是“意义建构”的必要前提，并作为教学设计的最重要的内容之一.而我在课堂教学中直接给出了概念，和医生在患者身上打强行针是没有区别的，强制性地把新概念注入学生头脑，学生处于被动地位，使思维呈依赖性，因而学生只能消极被动地接受这个定义而未能内化，知其然而不知其所以然，无法达到有意义的、有成效的理解.所以经过思考之后，做了改进，用加、减、乘、除运算引入，虽然学生有防备心理，但是简单的问题他们还是愿意回答的，从而对今后的课堂氛围也有很好的促进作用.
3.从认知层面分析
对案例1定义理解的不踏实是有根据的，职高学生的认知发展水平实际上和初中相比较有提高，但是其能力还是很弱的.由具体的数字运算进入了抽象的字母运算阶段需要时机的把握，把数学思想一点一滴地渗透，从具体到抽象，由特殊到一般，需要循序渐进地引导.同时建构主义的教学观认为，教学不应解释为由教师向学生灌输知识，将知识单向地传授给学生，应让学生参与教学过程，并组织、监控、调整自己的活动，教师的地位应由主导者转变为指导者、辅导者.所以也才有了修改以后的两个案例.
有了以上的反思，要成功地上好一节数学概念课，我觉得在教学设计中应该有用心的情景创设，精心的问题设计，让学生在过程中自然而然地学到知识，又感觉不出是老师在当纤夫.
三、期待再次的阳光
最后，如果能够让学生自己去发现对数的途径，那就更好了.学生如果能在教师创设的情景中像数学家那样去思考数学，经历一遍发现、创造的过程，那我想学生不仅能获得概念，同时还可以培养他们的创造精神，我们的案例还缺少这样的创造过程.但是话说回来，职高的学生要达到这样的境界恐怕比较困难，这是我们以后前进的目标.