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一、找到生活原型，重构运算意义
小学数学中的运算主要有加、减、乘、除四种。从这四种运算的定义来看，加法是所有运算的“源头”，四者之间的相互关系可作如下梳理：
[加数（减数）不同 加数（减数）相同 加：5 7=12 乘：2 2 2=2×3=6 减：6-4=2 除：6-2-2-2=0 6÷2=3 ]
与这四种运算相关的问题是小学数学的基本问题。如何提炼它们的原型呢？其实，生活中的运算大致可以分为两类：分与合。所谓合，就是由部分而为整，也就是加；所谓分，就是由整而为部分，也就是减。在分与合的过程中又会出现规律，这种规律表现在运算上就是等合与等分。按照这种理解，上表又可以进一步完善为：
[加数（减数）不同 加数（减数）相同 合 加：5 7=12 等合 乘：2 2 2=2×3=6 分 减：6-4=2 等分
除：6-2-2-2=0 6÷2=3 ]
这种思想，教师在教学中应有意识地予以引导、训练和巩固。比如：“爸爸给我5元钱，妈妈给我4元钱”——合境；“原来有5只鸟，飞走了1只”——分境。有些“合境”是有规律的，如“每天吃5颗糖，6天一共吃几颗”，5个5个地合在一起，所有加数相同，就用特殊合境运算方法——乘法。它是合境中的特殊情况，属于“等合境”。“分境”中也有特殊情况，如“15颗糖，每人分5颗，可以分给几个小朋友”，可以把算式写成15-5-5-5=0，但更简单的算法是15÷5=3。这意味着除法是分境中的一种特殊情况，我们称之为“等分境”。这样看来，等合境与合境互通，等分境与分境互通，等合境与等分境互通，合境与分境互通。这样理解就解决了“减法为加法的逆运算、除法为乘法的逆运算”的理解难点。
二、怎么审题，审什么
如何借助运算意义来提高学生解决问题的能力呢？
先来看一道题：“每天吃4个苹果，5天一共吃几个？”教师会怎样引导学生审题？以前，教师是这样教的——
每天吃4个 每份数
吃了5天 份数
一共吃了几个 求总数
每份数×份数=总数
这是传统的教学方式——用数量关系审题，也就是利用分析法或综合法解应用题。现在，我们这样教：
师：大家会解决吗？请把你的想法用图或算式表示出来。
生1：4×5=20（个）
生2：
师：第一天吃了几个？（4个）第二天吃了几个？（4个）第三天吃了几个？（4个）……5天吃了“几个4”？
生2：5个4。
师：用什么方法解决？
生2：乘法。
显然，现在我们更注重借助画图，直观地帮助学生理解、解决问题。假如按照传统方式教学审“每份数、份数和总数”，结果会怎样呢？水平中上等的学生或许能理解，理解稍慢的学生，记忆量稍大就糊涂了。
基于上述教学片断的对比，我们不妨思考这样几个问题：
第一个问题：三种审题方法——画图、逼问意义、数量关系，哪种更好？画图法往往是为理解服务的，将图画清楚了，题目自然也会解了。逼问意义是最一般化的方法，它固然能解决问题，但对学生的抽象思维能力要求较高。数量关系在一定程度上为学生提供了思维的支架，尤其在解决多步问题时有一定的优势。
第二个问题：为什么新教材“淡化”数量关系？以前，我们总是让学生熟练掌握一些数量关系式，然后再用分析法与综合法来解题，但随着数量关系式的增多，一些学生越来越吃力，进而出现机械记忆、会做不会分析等问题。
第三个问题：“画图法”缺了什么？课改后很注重“画图法”，旨在发挥几何直观的支撑作用，但如果缺乏对运算意义的理解，问题解决能力的发展就缺少了厚实的基础。
审题，到底要审什么？境，从运算的角度可以分两类：合境与分境。我们多次观察基础偏弱的学生的解题过程，从他们迟疑的表情来看，他们找不到题目的重点，尽管我们经常提醒学生多读几遍题，画出关键字、句，但对他们来说并不管用。
一步问题，只要分清问题的“境”，是合境（或等合境）还是分境（或等分境），学生自然会判断用什么方法运算。两步问题，境和境串起来就发展成为一个“节”，审“节”就是弄清这些境的先后顺序是怎样的。比如：“兰兰买书用去25元，又买了5本练习本，每本2元，一共花了多少钱？”由题意可知，兰兰一共买了两样东西，是合境，用加法；其中，买本子是等合境，用乘法；这两个境就形成了一个“节”，即合为大境，等合为小境，大境中套了小境。
在解决三步甚至多步的问题时，我们可以指导学生学会先审“境”（有几个境，什么境），再审“节”（几个节）。比如：“南南和小红去植树，南南每天种10棵，种了5天，小红每天种8棵，种了4天。两人一共种了多少棵？”这是一个大合境中包含了两个小的等合境的题目。审题的过程就类似语文中的结构分析——
读题：两人植树。
审境：有合境，用加法；有等合境，用乘法。
审节：合为大境，两等合为小境。
解决：南南种的棵数 小红种的棵数=总棵数。
列式：10×5 8×4。
这个例子的目的是让学生学会把握问题的情节，学会挖掘题目中隐含的内容。这样分析题目，学生头脑中自然会形成如下的结构图：
大合境
南南種的树 小红种的树 = 一共种的树
（等合境） （等合境）
审题能力的提升对后续学习的作用非常大：一是解决问题不再感到束手无策。二是熟练掌握审“境”与“节”的方法后，对列方程解决问题很有帮助，因为学生不再受困于找等量关系，又可以减轻记忆和理解的负担。三是整合了学科之间的能力培养，让学生意识到解决数学问题就如同分析语文文本，讲了一件什么事是“境”，怎样发展的是“节”。
（作者单位：武汉经济技术开发区新城小学）
责任编辑 张敏
小学数学中的运算主要有加、减、乘、除四种。从这四种运算的定义来看，加法是所有运算的“源头”，四者之间的相互关系可作如下梳理：
[加数（减数）不同 加数（减数）相同 加：5 7=12 乘：2 2 2=2×3=6 减：6-4=2 除：6-2-2-2=0 6÷2=3 ]
与这四种运算相关的问题是小学数学的基本问题。如何提炼它们的原型呢？其实，生活中的运算大致可以分为两类：分与合。所谓合，就是由部分而为整，也就是加；所谓分，就是由整而为部分，也就是减。在分与合的过程中又会出现规律，这种规律表现在运算上就是等合与等分。按照这种理解，上表又可以进一步完善为：
[加数（减数）不同 加数（减数）相同 合 加：5 7=12 等合 乘：2 2 2=2×3=6 分 减：6-4=2 等分
除：6-2-2-2=0 6÷2=3 ]
这种思想，教师在教学中应有意识地予以引导、训练和巩固。比如：“爸爸给我5元钱，妈妈给我4元钱”——合境；“原来有5只鸟，飞走了1只”——分境。有些“合境”是有规律的，如“每天吃5颗糖，6天一共吃几颗”，5个5个地合在一起，所有加数相同，就用特殊合境运算方法——乘法。它是合境中的特殊情况，属于“等合境”。“分境”中也有特殊情况，如“15颗糖，每人分5颗，可以分给几个小朋友”，可以把算式写成15-5-5-5=0，但更简单的算法是15÷5=3。这意味着除法是分境中的一种特殊情况，我们称之为“等分境”。这样看来，等合境与合境互通，等分境与分境互通，等合境与等分境互通，合境与分境互通。这样理解就解决了“减法为加法的逆运算、除法为乘法的逆运算”的理解难点。
二、怎么审题，审什么
如何借助运算意义来提高学生解决问题的能力呢？
先来看一道题：“每天吃4个苹果，5天一共吃几个？”教师会怎样引导学生审题？以前，教师是这样教的——
每天吃4个 每份数
吃了5天 份数
一共吃了几个 求总数
每份数×份数=总数
这是传统的教学方式——用数量关系审题，也就是利用分析法或综合法解应用题。现在，我们这样教：
师：大家会解决吗？请把你的想法用图或算式表示出来。
生1：4×5=20（个）
生2：
师：第一天吃了几个？（4个）第二天吃了几个？（4个）第三天吃了几个？（4个）……5天吃了“几个4”？
生2：5个4。
师：用什么方法解决？
生2：乘法。
显然，现在我们更注重借助画图，直观地帮助学生理解、解决问题。假如按照传统方式教学审“每份数、份数和总数”，结果会怎样呢？水平中上等的学生或许能理解，理解稍慢的学生，记忆量稍大就糊涂了。
基于上述教学片断的对比，我们不妨思考这样几个问题：
第一个问题：三种审题方法——画图、逼问意义、数量关系，哪种更好？画图法往往是为理解服务的，将图画清楚了，题目自然也会解了。逼问意义是最一般化的方法，它固然能解决问题，但对学生的抽象思维能力要求较高。数量关系在一定程度上为学生提供了思维的支架，尤其在解决多步问题时有一定的优势。
第二个问题：为什么新教材“淡化”数量关系？以前，我们总是让学生熟练掌握一些数量关系式，然后再用分析法与综合法来解题，但随着数量关系式的增多，一些学生越来越吃力，进而出现机械记忆、会做不会分析等问题。
第三个问题：“画图法”缺了什么？课改后很注重“画图法”，旨在发挥几何直观的支撑作用，但如果缺乏对运算意义的理解，问题解决能力的发展就缺少了厚实的基础。
审题，到底要审什么？境，从运算的角度可以分两类：合境与分境。我们多次观察基础偏弱的学生的解题过程，从他们迟疑的表情来看，他们找不到题目的重点，尽管我们经常提醒学生多读几遍题，画出关键字、句，但对他们来说并不管用。
一步问题，只要分清问题的“境”，是合境（或等合境）还是分境（或等分境），学生自然会判断用什么方法运算。两步问题，境和境串起来就发展成为一个“节”，审“节”就是弄清这些境的先后顺序是怎样的。比如：“兰兰买书用去25元，又买了5本练习本，每本2元，一共花了多少钱？”由题意可知，兰兰一共买了两样东西，是合境，用加法；其中，买本子是等合境，用乘法；这两个境就形成了一个“节”，即合为大境，等合为小境，大境中套了小境。
在解决三步甚至多步的问题时，我们可以指导学生学会先审“境”（有几个境，什么境），再审“节”（几个节）。比如：“南南和小红去植树，南南每天种10棵，种了5天，小红每天种8棵，种了4天。两人一共种了多少棵？”这是一个大合境中包含了两个小的等合境的题目。审题的过程就类似语文中的结构分析——
读题：两人植树。
审境：有合境，用加法；有等合境，用乘法。
审节：合为大境，两等合为小境。
解决：南南种的棵数 小红种的棵数=总棵数。
列式：10×5 8×4。
这个例子的目的是让学生学会把握问题的情节，学会挖掘题目中隐含的内容。这样分析题目，学生头脑中自然会形成如下的结构图：
大合境
南南種的树 小红种的树 = 一共种的树
（等合境） （等合境）
审题能力的提升对后续学习的作用非常大：一是解决问题不再感到束手无策。二是熟练掌握审“境”与“节”的方法后，对列方程解决问题很有帮助，因为学生不再受困于找等量关系，又可以减轻记忆和理解的负担。三是整合了学科之间的能力培养，让学生意识到解决数学问题就如同分析语文文本，讲了一件什么事是“境”，怎样发展的是“节”。
（作者单位：武汉经济技术开发区新城小学）
责任编辑 张敏