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摘要：本文针对线性代数教学中存在的问题，在线性方程组的实际教学中的进行尝试，从实际应用案例的引入，探讨了如何进行应用意思的培养，并在教学中适当地引入数学软件MATLAB，渗透数学基础知识能用到实际中去解决实际问题的观点，从全新的视角阐述教学改革。
关键词：线性方程组 教学 MATLAB
中图分类号：G623.5
一、 线性方程组教学中存在的问题
当今知识创新与技术创新正成为时代的基本特征。学校培养的人才应该具有很强的
自学能力与应用意思，把学到的基础知识能用到实际中去解决实际问题，也是我们数学教学中亟待研究的课题。目前线性代数的教学内容普遍还是采用学科体系，教学中过分强调知识知识的系统性、理论的严谨性和抽象性，计算上强调技巧性，在知识的应用上有所欠缺，造成学生学习无兴趣，把数学看成是高不可攀屠龙之术，在一定程度上影响教学质量。教学中主要存在以下几个问题：
1.重知识传授缺少应用知识能力
教师在实际教学中，往往强调知识的传授的系统性、严谨性、抽象性，以学科体系展开教学，注重理论的给出和计算方法与技巧的形成，而忽略知识的实际应用。学习中学生往往形成"我学它有什么用"的疑问，一定程度上造成教学中出现理论与实际脱节。
2.教学方式缺少师生互动
一方面是理论性过强，学生很难跟上教师的节奏，"满堂灌"的教学现象相当普遍，缺少师生互动的教学，学生处于被动地位，学习效果与教学质量当然受到影响。培养学生自主学习、高效学习成为一句空话。
3.学生学习目的不清楚
线性代数一般都在大一开设，学生没有学习专业知识，往往对数学学习的目的不明确，因而出现被动学习的情况，只求及格就万事大吉，有的学生越学起没兴趣，觉得数学深奥难懂、枯燥无用，选择放弃者有之。
诸此种种，说明教学上存在理论与实际脱离是根本问题。这些问题不解决，数学学习成为学生学习障碍，培养学生的数学素质是不可能的，更谈不上培养创新人才。课堂教学的问题最终还是要在课堂上解决的。经验告诉我们：只有培养学生学习数学的兴趣，才能使学生学好数学。而对学生来说，让他们清楚地认识到学习的数学知识能实实在在的解决实际问题，才能引起学生极大的兴趣，投入到数学的学习中。如何在缜密的数学课程内容中融入相关的实际应用内容，这正是我们要探讨的问题，本文从一个侧面：即线性方程组教学中应用意思培养，在解线性方程组教学中引入两个实例，并用数学软件MATLAB求解，尝试解决以上三个问题。经过几年的实践证明，在教学中收到良好了的教学效果。
二、 线性方程组教学中应用问题的融入
怎样在教学中适时适当地引入应用数学知识，在教学中鼓励学生主动探索知识、发现知识，在尝试探索知识的过程中实现主动学习呢？在我们准备教学时大量地吸取应用案例，通過再加工成为我们的教学内容。
[案例1 ] 三家物流公司为运输需要，他们同意彼此实行资源共享，由于运输工具与成本各异，他们达成了如下协议：（1）每个公司总共工作10天（包括给自家公司工作）； （2）每个公司的应得的日资金根据测算在60～80万元之间；（3）每个公司的总收入与总支出相等.下表是他们协商后制定出的工作天数的分配方案，请你计算出他们每个公司应得的日资金？
表1
针对这个问题进行问题分析，把学生就近分成若干小组，进行小组合作学习。
设分别表示公司应得的日资金，由条件建立模型，得到线性方程组：
化简得三家公司的日资金数应满足如下的齐次线性方程组：
解齐次线性方程组，得它的通解为
（为任意实数）.
最后，由于每个公司的日资金在60～80万元之间，故选择，则三家公司每天的日资金分别为62万元、64万元和72万元.
这个过程由学生来完成，到化成齐次线性方程组时，学生深深体会到数学无处不在，求解之后更能体会到通解中"为任意实数"在实际问题中的涵义.
事实上，管理中存在大量可以应用于数学课堂教学的现实材料，我们循序渐进地引入一些案例，融入知识的讲授中，既可以使得课堂教学变得生动，又能体现"从实际中来，到实际中去"的原则，同时又是对"数学是解决实际问题的工具"这一教育特征的很好阐述。
教学的过程最好能恰当地设为解决现实问题的应用过程。我们在教学中必须强调数学理论来源于实践，用于实践解决实际问题，在现实生活中各个领域都有广泛的应用。
大中城市交通拥堵的问题，可以说是世界许多城市遇到的难题。现在中国的许多城市也赶上了这一"时代"。要解决这个问题也用到我们的线性方程组去解决。
[案例2] 图1给出了某城市单行道的交通流量（每小时过车数）.
图1
假设 （1）全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量；（2）全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量.试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量.
针对这个问题进行问题分析，把学生就近分成若干小组，进行小组合作学习。
由网络流量假设（1），对于各节点：流入与流出的流量相等，可列9个方程：
由网络流量假设（2），对于整个网络：流入与流出的流量相等，可列1个方程：
综合上述，所给问题满足如下线性方程组：
解得非齐次线性方程组的通解为
其中为任意实数.
取一组值，就得到一组交通网络未知部分的具体流量.它有无穷多个流量分布.如果布局不合理，就会产生交通拥堵。
在这个过程中学生亲身体验到数学知识的实用性，在解决问题中的必不可少。
三、引入软件MATLAB求解线性方程组应用问题
对于实际问题的数学建模得到的线性方程组，学生往往更关注它的结果，在教学中不但要开启一个很好的理论联系实际的窗口，更应该引导学生解决问题的办法，就前面两个案例求解过程用MATLAB软件求解展示，对学生进行学无止境的教育是起到事半功倍的作用。
首先学生对这两个问题很感兴趣，迫切地想知道最终的结果。但对于冗长的求解过程，很多学生会失去耐心。在教学中抽出一点时间，把MATLAB求解过程展示出来，让学生的学习一下子变得轻松了，感到线性代数不是枯燥或沉重压抑的，增强了他们学习信心与动力，并能够积极地学习和吸纳计算机的新知识。
从以上两个实际应用中可以看到，我们学习数学的要以基础性内容为主线，将精选的实际案例与教学内容有机地结合起来，在结合中体现案例的引领作用，使课堂真正成为学生所喜欢，提高学生学习兴趣，这正是数学教学内容与教学方法、模式改革的一项有价值的探讨，有利于学生在学习的过程中培养兴趣、探求新知识，并形成学生的数学应用意思及对新方法（计算机软件）的运用也有兴致，这恰好能体现数学的学习过程中养成自主学习、终身学习的良好习惯。
关键词：线性方程组 教学 MATLAB
中图分类号：G623.5
一、 线性方程组教学中存在的问题
当今知识创新与技术创新正成为时代的基本特征。学校培养的人才应该具有很强的
自学能力与应用意思，把学到的基础知识能用到实际中去解决实际问题，也是我们数学教学中亟待研究的课题。目前线性代数的教学内容普遍还是采用学科体系，教学中过分强调知识知识的系统性、理论的严谨性和抽象性，计算上强调技巧性，在知识的应用上有所欠缺，造成学生学习无兴趣，把数学看成是高不可攀屠龙之术，在一定程度上影响教学质量。教学中主要存在以下几个问题：
1.重知识传授缺少应用知识能力
教师在实际教学中，往往强调知识的传授的系统性、严谨性、抽象性，以学科体系展开教学，注重理论的给出和计算方法与技巧的形成，而忽略知识的实际应用。学习中学生往往形成"我学它有什么用"的疑问，一定程度上造成教学中出现理论与实际脱节。
2.教学方式缺少师生互动
一方面是理论性过强，学生很难跟上教师的节奏，"满堂灌"的教学现象相当普遍，缺少师生互动的教学，学生处于被动地位，学习效果与教学质量当然受到影响。培养学生自主学习、高效学习成为一句空话。
3.学生学习目的不清楚
线性代数一般都在大一开设，学生没有学习专业知识，往往对数学学习的目的不明确，因而出现被动学习的情况，只求及格就万事大吉，有的学生越学起没兴趣，觉得数学深奥难懂、枯燥无用，选择放弃者有之。
诸此种种，说明教学上存在理论与实际脱离是根本问题。这些问题不解决，数学学习成为学生学习障碍，培养学生的数学素质是不可能的，更谈不上培养创新人才。课堂教学的问题最终还是要在课堂上解决的。经验告诉我们：只有培养学生学习数学的兴趣，才能使学生学好数学。而对学生来说，让他们清楚地认识到学习的数学知识能实实在在的解决实际问题，才能引起学生极大的兴趣，投入到数学的学习中。如何在缜密的数学课程内容中融入相关的实际应用内容，这正是我们要探讨的问题，本文从一个侧面：即线性方程组教学中应用意思培养，在解线性方程组教学中引入两个实例，并用数学软件MATLAB求解，尝试解决以上三个问题。经过几年的实践证明，在教学中收到良好了的教学效果。
二、 线性方程组教学中应用问题的融入
怎样在教学中适时适当地引入应用数学知识，在教学中鼓励学生主动探索知识、发现知识，在尝试探索知识的过程中实现主动学习呢？在我们准备教学时大量地吸取应用案例，通過再加工成为我们的教学内容。
[案例1 ] 三家物流公司为运输需要，他们同意彼此实行资源共享，由于运输工具与成本各异，他们达成了如下协议：（1）每个公司总共工作10天（包括给自家公司工作）； （2）每个公司的应得的日资金根据测算在60～80万元之间；（3）每个公司的总收入与总支出相等.下表是他们协商后制定出的工作天数的分配方案，请你计算出他们每个公司应得的日资金？
表1
针对这个问题进行问题分析，把学生就近分成若干小组，进行小组合作学习。
设分别表示公司应得的日资金，由条件建立模型，得到线性方程组：
化简得三家公司的日资金数应满足如下的齐次线性方程组：
解齐次线性方程组，得它的通解为
（为任意实数）.
最后，由于每个公司的日资金在60～80万元之间，故选择，则三家公司每天的日资金分别为62万元、64万元和72万元.
这个过程由学生来完成，到化成齐次线性方程组时，学生深深体会到数学无处不在，求解之后更能体会到通解中"为任意实数"在实际问题中的涵义.
事实上，管理中存在大量可以应用于数学课堂教学的现实材料，我们循序渐进地引入一些案例，融入知识的讲授中，既可以使得课堂教学变得生动，又能体现"从实际中来，到实际中去"的原则，同时又是对"数学是解决实际问题的工具"这一教育特征的很好阐述。
教学的过程最好能恰当地设为解决现实问题的应用过程。我们在教学中必须强调数学理论来源于实践，用于实践解决实际问题，在现实生活中各个领域都有广泛的应用。
大中城市交通拥堵的问题，可以说是世界许多城市遇到的难题。现在中国的许多城市也赶上了这一"时代"。要解决这个问题也用到我们的线性方程组去解决。
[案例2] 图1给出了某城市单行道的交通流量（每小时过车数）.
图1
假设 （1）全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量；（2）全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量.试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量.
针对这个问题进行问题分析，把学生就近分成若干小组，进行小组合作学习。
由网络流量假设（1），对于各节点：流入与流出的流量相等，可列9个方程：
由网络流量假设（2），对于整个网络：流入与流出的流量相等，可列1个方程：
综合上述，所给问题满足如下线性方程组：
解得非齐次线性方程组的通解为
其中为任意实数.
取一组值，就得到一组交通网络未知部分的具体流量.它有无穷多个流量分布.如果布局不合理，就会产生交通拥堵。
在这个过程中学生亲身体验到数学知识的实用性，在解决问题中的必不可少。
三、引入软件MATLAB求解线性方程组应用问题
对于实际问题的数学建模得到的线性方程组，学生往往更关注它的结果，在教学中不但要开启一个很好的理论联系实际的窗口，更应该引导学生解决问题的办法，就前面两个案例求解过程用MATLAB软件求解展示，对学生进行学无止境的教育是起到事半功倍的作用。
首先学生对这两个问题很感兴趣，迫切地想知道最终的结果。但对于冗长的求解过程，很多学生会失去耐心。在教学中抽出一点时间，把MATLAB求解过程展示出来，让学生的学习一下子变得轻松了，感到线性代数不是枯燥或沉重压抑的，增强了他们学习信心与动力，并能够积极地学习和吸纳计算机的新知识。
从以上两个实际应用中可以看到，我们学习数学的要以基础性内容为主线，将精选的实际案例与教学内容有机地结合起来，在结合中体现案例的引领作用，使课堂真正成为学生所喜欢，提高学生学习兴趣，这正是数学教学内容与教学方法、模式改革的一项有价值的探讨，有利于学生在学习的过程中培养兴趣、探求新知识，并形成学生的数学应用意思及对新方法（计算机软件）的运用也有兴致，这恰好能体现数学的学习过程中养成自主学习、终身学习的良好习惯。