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【摘要】 在“学为中心，生为本”的“学讲”教学新模式下，教师在课堂中的主导作用尤为显现，本文就教师如何在学生的认知发展区，在教学基点、关键点、衔接点，有效提问，使学生在对问题的质疑、探究、发现、解决过程中获得广泛的数学活动经验，真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思维和方法做浅显的分析.
【关键词】 认知度；设问点；方程；概念
课堂上教师提问的每一个问题都好比罗盘和路标，直接引导学生的思维方向，有效的课堂提问需具有明确的目标指向，反映恰当的思维容量. 因此，教师在教学中要清楚学生学习的最近发展区和认知度，要善于结合教学基点、关键点、衔接点，因“度”制“问”，角度要准，视点要高，挖掘要深，要具有启发性和创造性，这样才能营造民主和谐的教学氛围，提升学生的学习兴趣，激活学生的数学思维，激发学生主动思考，增进数学课堂教学的有效性. 下面以初中方程系列概念教学举例说明：
一、在教学的基点准确定位，有效设问
对新知的探索，从某种角度讲类似于科学探究，具有一定的曲折性，学生在探索的过程中往往会陷入“山重水复疑无路”的境地. 对此，教师应以“点睛”式引导，比如进入初中第一次关于方程的概念性教学，教师更应把握方向，准确定位，确保预设的动态生成，使学生少走不必要的弯路.
案例1 浙教（2011）版七（上）“5.1认识一元一次方程”教学片断：
知识探究： 观察下列方程，找共同点：① 6.85x = 68；② = 8； ③ 600 50x = 800；④ 5x = 0；⑤ 3m 2 = 1 - m；⑥ = 4；⑦ 3x - 2y = 1；⑧ y2 = 4 y；⑨ 5a2 = 2.
师：请一名同学将上述方程进行分类，并说出分类标准.
生1：按未知数的个数……
生2：按未知数的位置……
生3：按运算……
生4：按计算结果能否求出……
生5：按等号两边是否为整式……
生6：按次数……
……
这个教师想法较大胆，让学生将方程进行分类，但此时的课堂，有点混乱，偏离教师的预定轨道且时间已过十几分钟. 笔者觉得原因在于教师问题设计混乱，这是学生进入初中后关于方程的第一次具体概念性教学，在还没有构建一元一次方程概念之前，就把正反例混在一起让学生识别和区分，这不利于概念构建和把握. 因为在概念本质属性还没有被充分获取的情况下，过多、过强非本质属性的涌入，既加重了学生的认知负荷，也不利于概念本质属性的凸显，只会给概念学习增添困难. 对于第一次接触到具体方程定义的概念性教学，笔者还是建议使用具有规则性的常用教学构建：概念定义→概念例证（正例强化）→反例甄别，重点是通过对一元一次方程的观察，找出方程的特点，进而引导归纳一元一次方程的概念.
建议教学设计如下：
案例2 知识探究： 观察下列方程，找共同点：① 6.85x = 68；② 3m 2 = 1 - m；③ 600 50x = 800；④ 5x = 0；⑤ = 8.
师：同学们观察上面几个等式，思考一下，他们是方程吗？有什么共同的特点？
生：方程中只有一个未知数.
师：好的，那未知数的指数是几次呢？
生：一次.
师：我们把未知数称为“元”，未知数的次数记为“次”，从“元”和“次”上来看这几个方程，可以叫作几元几次方程呢？
生：一元一次方程.
师：那大家再观察这几个方程还有什么共同的特点？比如：6.85x，68，3m 2，1 - m，600 50x，800等这些我们怎么称呼？（难点：等号两边都是整式这个特征学生较难得出，教师需适当引导）
生1：单项式、多项式.
生2：整式.
师：对，我们按刚才总结的共同特征给一元一次方程下定义要满足几个条件？
多媒体显示：一元一次方程满足的条件是________.（引导：联系概念的名称，发现一元一次方程的特点：“一元”“一次”“怎样的方程”）
生：一个未知数，未知数次数为1，等式两边都是整式，三个条件.
师：好的！等式两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的次数为1的方程叫作一元一次方程.
师：一元一次方程就是我们今天所要认识的新朋友，它的特征记住了吗？每名同学写两个一元一次方程，同桌两人相互检查讨论一下.（正例强化）
师：下列各式是方程的是_____，其中是一元一次方程的是____.（反例甄别）
① 3x - 2 = 7；② 4 8 = 12；③ 3 - x；④ 2m - 3n = 0；⑤ 3x 2x - 1 = 0；⑥ x 2 < 3 ；⑦ xy = x 1；⑧ = 4；⑨ 3 x -2y = 1；⑩ y2 = 4 y.
二、在教学关键点智导巧拨，有效设问
所谓关键点，是指教学的重点和难点，在教材的重点处提问，重点就会突出，在教材的难点处提问，难点就易突破. 而“困惑”即学生由于多种想法交织在一起，没有很好的判断力进行取舍. 之所以感到困难，最根本的原因是数学知识的抽象性，对学生而言，因为抽象性带来的疑难问题，往往难以依靠自己的探索解决，这时就需要教师进行智慧性点拨引导，使数学知识由抽象转化为形象直观，由复杂转化为简单易懂，让学生在学习过程中产生的疑问迎刃而解.
案例3 浙教（2011）版七（下）“2.1二元一次方程”，教学片段：
师：同学们，你们学过哪些方程？
生：学过一元一次方程.
师：什么样的方程是一元一次方程？ 生：含有一个未知数，且未知数的次数是1.
师：同学们能不能写出一个二元一次方程呢？请几名同学上来写一下.（大家都正确写出了一个二元一次方程）
师：很好！看来大家都已经认识二元一次方程了，下面老师写几个方程，大家看看是不是二元一次方程，先独立思考，再相互交流讨论：
① = 1；② x 4y 7z = 3；③ xy y 3 = 0；④9a = 5；⑤ 6x y = 7 y.
几分钟的思考和交流讨论后，众生：只有②不是，其他都是二元一次方程.
……
经过一番认知冲突后，教师最终总结出二元一次方程的定义.
笔者认为，在一元一次方程的认知基础上，学生学习“二元一次方程”这个名称，以“顾名思义”的方式，当然能够写出几个二元一次方程，但这并不是概念的真正建立，这只是通过名称上的迁移获得的认知，远没有达到对概念内涵和外延的把握，学生对于两个概念中“未知数的次数是1”与“含有未知数的项的次数是1”的甄别还是有困惑的，并未达到难点的突破，比如众生回答“只有②不是，其他都是二元一次方程”就是最好的佐证. 而且在这种情况下教师立即进行正反例识别，也是不利于概念构建的.
建议教学设计如下：
案例4 创设情境，引入新知：
设计实际情境请各名学生列等式：①x - y = 10；②x = 2y - 50；③3x 6y = 36.
师：以前大家学过什么方程吗？
生齐：学过一元一次方程.
师：一元一次方程的特征是什么？
生1：含有一个未知数；未知数的次数是1；等式两边是整式.
师：上述三个等式是一元一次方程吗？
生齐：不是.
师：它们有什么特征？
生2：含有两个未知数；未知数的次数是1；等式两边是整式.
师：你能模仿一元一次方程给这几个等式取个名吗？
生齐：二元一次方程.
师：那怎么下定义呢？
生3：含有两个未知数，未知数的次数是1，等式两边是整式的方程叫作二元一次方程.
师反问1：很好，但大家看这个方程：xy 6 = 3x是二元一次方程吗？
学生有点头、有摇头、有迟疑，过后有几名学生叫道：xy应该是2次的！
师：x的次数是1，y的次数也是1，符合大家刚才给的定义啊，问题在哪儿呢？
生4：“未知数的次数是1”应改为“每一项的次数是1”.
师反问2：那这个方程：2x y = 32呢？它含有2次方的项，是二元一次方程吗？
生5：那还不简单，把“每一项”改为“每一含有未知数的项”不就行了么！
其余学生均表示同意，提炼成：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫作二元一次方程. （已突破“未知数的次数是1”与“含有未知数的项的次数是1”在甄别上的困惑）
在案例4中，笔者先从具体的问题出发，让学生感受到两个未知量可以通过代数式形成“等量关系”（建立方程）；感受并认识到这个等量关系使得其中一个量确定就可以确定另一个量，即让学生感受到这两个量之间的“相互作用”是二元一次方程概念的有效构建；体会二元一次方程也是“刻画现实世界的有效模型”. 再在学生认知的冲突处巧妙反问，问出问题的源头，突破甄别上的困惑，促进学生“从头到尾”思考解决“如何严密下定义”的问题，通过进一步类比与质疑、探究与交流、补充与完善，形成新概念，从而更加深刻地领悟问题的本质特征.
三、在知识的衔接点忆旧迎新，有效设问
数学知识的系统性很强，真正搞懂新旧知识的衔接点，就能把知识融会贯通，沟通知识间的纵横联系，形成知识网络. 笔者按照最近发展区原理，在案例2和案例4的学习基础上，再采用案例3老师的类比教学法，由学生熟悉的一元一次方程问题情境逐步过渡到一元二次方程.
案例5 浙教（2011）版八（下）“2.1一元二次方程”教学片断：
观察下列方程，请将方程进行分类：
① 2x - 5 = x；② = 5；③ 5（60 4y） - 180 = 8y；④3x - 2y = 1；⑤ 3m 2 = 1 - m；⑥ = 4
生：①③⑤是一元一次方程，④是二元一次方程，②⑥是分式方程.
师：回忆一下一元一次方程的定义是怎么下的？
生：两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的次数是一次的方程叫作一元一次方程.
师：我把① 2x - 5 = x，③ 5（60 4y） - 180 = 8y，⑤ 3m 2 = 1 - m变换成① 2x2 - 5 = x，③ 5（60 4y） - 180 = 8y2，⑤3m2 2 = 1 - m，请大家对照一下与刚才复习的一元一次方程有什么不同？（多媒体动画展示变化的指数，引起大家的注意，突出与一元一次方程的核心区别）
生：未知数的最高次数变成了2次.
师：其余变吗？
生：不变.
师：请××同学描述一下一元二次方程的概念.
生：两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的方程叫作一元二次方程.
学生现有的认知度和知识网络对这个概念的得出是水到渠成的事，所以不需要长篇累牍地纠结于什么是一元二次方程. 总之，在数学课堂教学中要基于各阶段学生的不同认知度，锁定设问点，通过科学引导，巧妙点拨，使问有所思，问有所答，让学生在质疑、探究、发现的过程中获得广泛的数学活动经验，真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思维和方法，将学习所得内化为能力，提升为思想，为一生的发展而奠基.
【参考文献】
[1]胡皓.善导者善问[J].数学通讯，2014（8）：6.
[2]曾晚德.探索小学至中学方程解法的演变[J].数理化解题研究，2012（3）：7-8.
[3]张磊.也谈智“导”巧“拨”，让课堂教学更灵动[J].中学数学教学参考，2014（4）：9-11.
【关键词】 认知度；设问点；方程；概念
课堂上教师提问的每一个问题都好比罗盘和路标，直接引导学生的思维方向，有效的课堂提问需具有明确的目标指向，反映恰当的思维容量. 因此，教师在教学中要清楚学生学习的最近发展区和认知度，要善于结合教学基点、关键点、衔接点，因“度”制“问”，角度要准，视点要高，挖掘要深，要具有启发性和创造性，这样才能营造民主和谐的教学氛围，提升学生的学习兴趣，激活学生的数学思维，激发学生主动思考，增进数学课堂教学的有效性. 下面以初中方程系列概念教学举例说明：
一、在教学的基点准确定位，有效设问
对新知的探索，从某种角度讲类似于科学探究，具有一定的曲折性，学生在探索的过程中往往会陷入“山重水复疑无路”的境地. 对此，教师应以“点睛”式引导，比如进入初中第一次关于方程的概念性教学，教师更应把握方向，准确定位，确保预设的动态生成，使学生少走不必要的弯路.
案例1 浙教（2011）版七（上）“5.1认识一元一次方程”教学片断：
知识探究： 观察下列方程，找共同点：① 6.85x = 68；② = 8； ③ 600 50x = 800；④ 5x = 0；⑤ 3m 2 = 1 - m；⑥ = 4；⑦ 3x - 2y = 1；⑧ y2 = 4 y；⑨ 5a2 = 2.
师：请一名同学将上述方程进行分类，并说出分类标准.
生1：按未知数的个数……
生2：按未知数的位置……
生3：按运算……
生4：按计算结果能否求出……
生5：按等号两边是否为整式……
生6：按次数……
……
这个教师想法较大胆，让学生将方程进行分类，但此时的课堂，有点混乱，偏离教师的预定轨道且时间已过十几分钟. 笔者觉得原因在于教师问题设计混乱，这是学生进入初中后关于方程的第一次具体概念性教学，在还没有构建一元一次方程概念之前，就把正反例混在一起让学生识别和区分，这不利于概念构建和把握. 因为在概念本质属性还没有被充分获取的情况下，过多、过强非本质属性的涌入，既加重了学生的认知负荷，也不利于概念本质属性的凸显，只会给概念学习增添困难. 对于第一次接触到具体方程定义的概念性教学，笔者还是建议使用具有规则性的常用教学构建：概念定义→概念例证（正例强化）→反例甄别，重点是通过对一元一次方程的观察，找出方程的特点，进而引导归纳一元一次方程的概念.
建议教学设计如下：
案例2 知识探究： 观察下列方程，找共同点：① 6.85x = 68；② 3m 2 = 1 - m；③ 600 50x = 800；④ 5x = 0；⑤ = 8.
师：同学们观察上面几个等式，思考一下，他们是方程吗？有什么共同的特点？
生：方程中只有一个未知数.
师：好的，那未知数的指数是几次呢？
生：一次.
师：我们把未知数称为“元”，未知数的次数记为“次”，从“元”和“次”上来看这几个方程，可以叫作几元几次方程呢？
生：一元一次方程.
师：那大家再观察这几个方程还有什么共同的特点？比如：6.85x，68，3m 2，1 - m，600 50x，800等这些我们怎么称呼？（难点：等号两边都是整式这个特征学生较难得出，教师需适当引导）
生1：单项式、多项式.
生2：整式.
师：对，我们按刚才总结的共同特征给一元一次方程下定义要满足几个条件？
多媒体显示：一元一次方程满足的条件是________.（引导：联系概念的名称，发现一元一次方程的特点：“一元”“一次”“怎样的方程”）
生：一个未知数，未知数次数为1，等式两边都是整式，三个条件.
师：好的！等式两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的次数为1的方程叫作一元一次方程.
师：一元一次方程就是我们今天所要认识的新朋友，它的特征记住了吗？每名同学写两个一元一次方程，同桌两人相互检查讨论一下.（正例强化）
师：下列各式是方程的是_____，其中是一元一次方程的是____.（反例甄别）
① 3x - 2 = 7；② 4 8 = 12；③ 3 - x；④ 2m - 3n = 0；⑤ 3x 2x - 1 = 0；⑥ x 2 < 3 ；⑦ xy = x 1；⑧ = 4；⑨ 3 x -2y = 1；⑩ y2 = 4 y.
二、在教学关键点智导巧拨，有效设问
所谓关键点，是指教学的重点和难点，在教材的重点处提问，重点就会突出，在教材的难点处提问，难点就易突破. 而“困惑”即学生由于多种想法交织在一起，没有很好的判断力进行取舍. 之所以感到困难，最根本的原因是数学知识的抽象性，对学生而言，因为抽象性带来的疑难问题，往往难以依靠自己的探索解决，这时就需要教师进行智慧性点拨引导，使数学知识由抽象转化为形象直观，由复杂转化为简单易懂，让学生在学习过程中产生的疑问迎刃而解.
案例3 浙教（2011）版七（下）“2.1二元一次方程”，教学片段：
师：同学们，你们学过哪些方程？
生：学过一元一次方程.
师：什么样的方程是一元一次方程？ 生：含有一个未知数，且未知数的次数是1.
师：同学们能不能写出一个二元一次方程呢？请几名同学上来写一下.（大家都正确写出了一个二元一次方程）
师：很好！看来大家都已经认识二元一次方程了，下面老师写几个方程，大家看看是不是二元一次方程，先独立思考，再相互交流讨论：
① = 1；② x 4y 7z = 3；③ xy y 3 = 0；④9a = 5；⑤ 6x y = 7 y.
几分钟的思考和交流讨论后，众生：只有②不是，其他都是二元一次方程.
……
经过一番认知冲突后，教师最终总结出二元一次方程的定义.
笔者认为，在一元一次方程的认知基础上，学生学习“二元一次方程”这个名称，以“顾名思义”的方式，当然能够写出几个二元一次方程，但这并不是概念的真正建立，这只是通过名称上的迁移获得的认知，远没有达到对概念内涵和外延的把握，学生对于两个概念中“未知数的次数是1”与“含有未知数的项的次数是1”的甄别还是有困惑的，并未达到难点的突破，比如众生回答“只有②不是，其他都是二元一次方程”就是最好的佐证. 而且在这种情况下教师立即进行正反例识别，也是不利于概念构建的.
建议教学设计如下：
案例4 创设情境，引入新知：
设计实际情境请各名学生列等式：①x - y = 10；②x = 2y - 50；③3x 6y = 36.
师：以前大家学过什么方程吗？
生齐：学过一元一次方程.
师：一元一次方程的特征是什么？
生1：含有一个未知数；未知数的次数是1；等式两边是整式.
师：上述三个等式是一元一次方程吗？
生齐：不是.
师：它们有什么特征？
生2：含有两个未知数；未知数的次数是1；等式两边是整式.
师：你能模仿一元一次方程给这几个等式取个名吗？
生齐：二元一次方程.
师：那怎么下定义呢？
生3：含有两个未知数，未知数的次数是1，等式两边是整式的方程叫作二元一次方程.
师反问1：很好，但大家看这个方程：xy 6 = 3x是二元一次方程吗？
学生有点头、有摇头、有迟疑，过后有几名学生叫道：xy应该是2次的！
师：x的次数是1，y的次数也是1，符合大家刚才给的定义啊，问题在哪儿呢？
生4：“未知数的次数是1”应改为“每一项的次数是1”.
师反问2：那这个方程：2x y = 32呢？它含有2次方的项，是二元一次方程吗？
生5：那还不简单，把“每一项”改为“每一含有未知数的项”不就行了么！
其余学生均表示同意，提炼成：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫作二元一次方程. （已突破“未知数的次数是1”与“含有未知数的项的次数是1”在甄别上的困惑）
在案例4中，笔者先从具体的问题出发，让学生感受到两个未知量可以通过代数式形成“等量关系”（建立方程）；感受并认识到这个等量关系使得其中一个量确定就可以确定另一个量，即让学生感受到这两个量之间的“相互作用”是二元一次方程概念的有效构建；体会二元一次方程也是“刻画现实世界的有效模型”. 再在学生认知的冲突处巧妙反问，问出问题的源头，突破甄别上的困惑，促进学生“从头到尾”思考解决“如何严密下定义”的问题，通过进一步类比与质疑、探究与交流、补充与完善，形成新概念，从而更加深刻地领悟问题的本质特征.
三、在知识的衔接点忆旧迎新，有效设问
数学知识的系统性很强，真正搞懂新旧知识的衔接点，就能把知识融会贯通，沟通知识间的纵横联系，形成知识网络. 笔者按照最近发展区原理，在案例2和案例4的学习基础上，再采用案例3老师的类比教学法，由学生熟悉的一元一次方程问题情境逐步过渡到一元二次方程.
案例5 浙教（2011）版八（下）“2.1一元二次方程”教学片断：
观察下列方程，请将方程进行分类：
① 2x - 5 = x；② = 5；③ 5（60 4y） - 180 = 8y；④3x - 2y = 1；⑤ 3m 2 = 1 - m；⑥ = 4
生：①③⑤是一元一次方程，④是二元一次方程，②⑥是分式方程.
师：回忆一下一元一次方程的定义是怎么下的？
生：两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的次数是一次的方程叫作一元一次方程.
师：我把① 2x - 5 = x，③ 5（60 4y） - 180 = 8y，⑤ 3m 2 = 1 - m变换成① 2x2 - 5 = x，③ 5（60 4y） - 180 = 8y2，⑤3m2 2 = 1 - m，请大家对照一下与刚才复习的一元一次方程有什么不同？（多媒体动画展示变化的指数，引起大家的注意，突出与一元一次方程的核心区别）
生：未知数的最高次数变成了2次.
师：其余变吗？
生：不变.
师：请××同学描述一下一元二次方程的概念.
生：两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的方程叫作一元二次方程.
学生现有的认知度和知识网络对这个概念的得出是水到渠成的事，所以不需要长篇累牍地纠结于什么是一元二次方程. 总之，在数学课堂教学中要基于各阶段学生的不同认知度，锁定设问点，通过科学引导，巧妙点拨，使问有所思，问有所答，让学生在质疑、探究、发现的过程中获得广泛的数学活动经验，真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思维和方法，将学习所得内化为能力，提升为思想，为一生的发展而奠基.
【参考文献】
[1]胡皓.善导者善问[J].数学通讯，2014（8）：6.
[2]曾晚德.探索小学至中学方程解法的演变[J].数理化解题研究，2012（3）：7-8.
[3]张磊.也谈智“导”巧“拨”，让课堂教学更灵动[J].中学数学教学参考，2014（4）：9-11.