论文部分内容阅读
我喜欢在路上的感觉。
27岁那年，我代表江苏省参加全国第三届小学数学优化课堂教学观摩交流会，赢得了一等奖第一名。当掌声和鲜花向我涌来时，我知道，我其实还在起点上，我刚刚开始行走在教育的路上……
我想飞，却怎么也飞不高
“我是一只小小鸟，想要飞，却怎么也飞不高……”刚踏上工作岗位时，最喜欢听的就是赵传的这首歌了，也许它就是我当时内心真实的写照吧。
老实说，走上教育这条路，非内心的渴望，而是命运的安排。初中毕业那年，我被当地最有名的省重点中学以高分录取，但因为考虑到经济问题，县教育局的好心人把我换到家乡的师范学校。1989年，师范毕业的我回到了自己曾读过书的农村小学，开始了一个乡村教师的生涯。第一次教师会议的情景至今依然清晰：杂草丛生的校园里，校长坐在一个大石块上，我们七八个教师坐在几个小石块上，因为地上积着水，所以大家都打着赤脚。裤脚卷得老高。校长布置任务：下午每人带好扁担、绳子，到几里路以外的河滩边把学生的课本挑回来……因为吃水不方便，所以那时的我，白天教学，傍晚就在校园里挖井，挖了一个几米深的大坑，然后就劈柴、提水、做饭。晚上，学校只剩下我一个人，头顶除了归巢的几声鸟叫，静得叫人心里发慌。和衣躺在小房间里，看着清冷的月光从纸糊的窗缝冷冷地落在床前，胸中就会升起一股难以排遣的孤独。我不断地问自己：这难道是我一辈子生活与工作的环境吗?多少个夜晚，我站在山坡上对着旷野抒发“对酒当歌，人生几何”的感慨。
不行，我不能因为环境的不如意而沉沦，骨子里那种不服输的劲头又从我的心底涌起。我不能在这个平凡而又狭小的天地里磨平自己的棱角，我不能在搬砖挖井的体力消耗中泯灭我的智慧!我要走出去，我要考教育研究生!就这样，我为自己树立了新的学习目标，白天，忙完工作就拿起书本，夜晚，在昏黄的灯光下我阅读到深夜，《教育学》《心理学》《外国教育史》……一本接一本读，一篇接一篇背，床边案头总是整齐地摆放着厚厚的书本，多少个晨昏我就是和它们一起度过的。在书中我寻到了一方快乐的天地。
各种各样的书读得多了，考研的志向却渐渐淡出了我的心海。我感觉到自己的心正变得宁静起来，眼前的旧房枯树在阳光下也变得明亮起来，就连孩子们那冻得红红的小脸，那因贪玩留在脸上的泥道道也变得美丽起来。我开始喜欢这份工作。白天，和孩子们在一起，教他们背诗歌、练气功；夜晚，很多住得近的孩子来到我的身边，我们坐在校外的一个山坡上，讲故事、唱歌、做游戏。柔和的月光、疏密有致的树影、一个小伙子与十多个孩子，这是至今还定格在我脑海中优美的教育画卷。虽然在同事的眼睛中，我是一个“小”老师，但孩子们却很喜欢我的课。没有刻意追求过方法的新颖，也没有刻意探讨过教育的规律，蜷缩在穷乡僻壤的我更没有看到过教学的最新动态，想象中，学生怎么学能轻松、能快乐、能学会，我就怎么教!因此，很多方法都来自于自己的灵感或者是自己突发奇想的创造。因为尽力追求课课不同的教法。所以，孩子们对我的课总是心存期待。那时候，让学生喜欢我、喜欢上我的课是我最高的追求。
虽然已经定下心来教书，但那颗想飞的心，却从没放弃对蓝天的渴盼。
你会成为一个优秀的教师
在农村小学教书，工资低得可怜。为了不像父亲那样教学一辈子仍固守着清寒，我经常利用假期外出打工：1991年暑假来到举目无亲的广州，做过饭店里的服务生、工厂里的电焊工，露宿过街头；1992年暑假，跟随民工在苏州帮别人拆房子，炎炎烈日下，赤着上身，站在墙头上挥舞大锤。避开繁华的街道，满身污垢的我，低着头拉着板车在小道上吃力地跑着；那次在房顶上拆横梁，稍微一用力，脚下的椽子断了，整个人迅速地向下沉，幸亏抓住了旁边的一块木头，才救了一命。
虽然做的是打工仔，虽然生活多磨难。骨子里却忘不了自己是一名教师。每到一处，劳动之余，伙伴们谈笑戏耍、游山玩水，我却喜欢看看附近的学校，一次次徘徊在那些美丽的校园外，一次次羡慕地盯着那偶尔进出的老师。1993年暑假，我又来到苏南打工，本想到遐迩闻名的华西村看看，却在一个炎热的午后走进了华士中心小学。站在华士校门口。我凝神地盯着这个整洁的校园。
“你找谁?”身边有人问我。
“找你们校长。”我脱口而出。说这句话的时候，自己也吓了一跳，我有什么资格找校长呢?既然说了，也就忐忑不安顺着那位教师指点来到校长室，见到了改变我人生的吴辰校长——一位慈祥、平和、睿智的校长。
“你找我有什么事?”
“我是教师，我羡慕你们这里有这么好的学校。”
“想到这样学校来当教师?”
“想啊，不知你们这里缺不缺教师?”
“教师不缺，但缺好教师。”
“我……”我泄气了。
一个偏远农村小学的教师，一个正在打工的教师，哪有什么优秀可言?
“我看得出，你会成为一个优秀的教师。欢迎你到我们学校来工作。”
让我来这里工作?这实在是我想不到的!更叫我意想不到的是——九月，当我带着简朴的行李来华士中心小学报到时，吴辰校长早在校门口迎候我了。热情的接待之后，吴辰校长请我到她家共进晚餐，嘘寒问暖：让后勤为我打扫宿舍，安排床铺……
永远忘不了那一节课。那是刚到华士中心小学不久，我费了很大的气力向学生解释一个概念，可学生就是不懂。无奈，第二节课请来了教导主任帮忙。没想到他只是轻轻的几句话，学生们就一下子明白了，一个孩子还兴奋地连声说：“好懂!好懂!真简单!”看着学生那茅塞顿开的样子，我的心受到了深深的触动。“你会成为一个优秀的教师!”吴辰校长的话又响在耳边。从小不服输的我暗暗告诉自己：“只要你努力，你也能把数学上得简单快乐!”于是，很长一段时间内，我成了学校最谦虚的“学生”，反复听老教师上课，一遍遍修改自己的教学设计，全身心扑到了数学教学的研究实践中。身在一线，我真切地体会到教学基本功的重要。为了练好粉笔字，我随身带块小黑板，几乎一有空就写了又擦，擦了又写；为了练好普通话，我干脆拜江阴电视台播音员为师；为了各好一堂课，我苦苦思考，备教材，备学生，多少次备出，多少次推翻，直到满意为止：为了上好第二天的课，夜深人静时，我还在对着墙壁一遍又一遍“试教”。为了拥有扎实的理论功底，建构属于自己的数学教学思想，我走进了学校图书馆，苏格拉底、卢梭、洛克、苏霍姆林斯基、陶行知等专家学者的鸿篇巨著开始走进我的视野。那是一段更为艰辛的阅读，因为，读理论无疑要有啃书的勇气和耐力，一次次烦躁地放下，又一次次珍爱地拿起，一遍遍对自己说读下去、读下去。
行走在追寻教育理想的路上，心，终于安定下来。 下届的全国第一就是你了
1994年，我作为列席代表参加了《江苏教育》举办的 “教海探航”征文颁奖活动。活动之后，《江苏教育》刊登了一组获奖代表的照片，不知什么缘故，并没有获奖的我竟也被拍了进去。我暗暗下决心，下回“教海探航”的领奖台上，一定真正有我夏青峰!这种愿望成了激励，成了动力。回到学校后，我对自己的课堂教学进行了深入的反思，并开始大胆地进行很多改革的尝试。一年后，我写出了《让每个学生都能成功地学习》这篇文章，突出教师责任不在于教，不在于让学生获得多少知识，而在于激励学生产生学习冲动，在冲动中自我激励，从而自觉地寻找学习方法，体会成功的快乐。现在看来，这些观点大家都能接受了，可在10年前，这些观点实属新鲜、时尚。在几千篇征文中，这篇文章一举夺魁，名列一等奖数学学科第一名。初露锋芒令我信心倍增。我跃跃欲试，渴望在更广阔的领域里一显身手。
1995年，全国第二届小学数学教学观摩会在海口召开，各省小学数学精英荟萃，优课云集，吴辰校长安排我去听课。像一只小船鼓满了风帆，在海口我成了最好问、最“烦人”的“学生”。一同前往的教研室匡老师打趣说：“夏青峰，下届的全国第一就是你了!”一句不经意的戏言，又被天真的我当成了努力的目标。于是，我把自己的每一节课都当作公开教学准备，努力让学生在每一节课上都能达到享受数学的境界，让自己的教学艺术一天天一点点提升，超越自己，超越别人。我暗暗地跟自己较着劲：“要上，就要上得最好!”在这个目标引领下，1996年，我参加了全国优质课比赛江苏赛区的角逐，从学校的比赛，到江阴市、无锡市的比赛，再到江苏省的比赛，过关斩将，历时一年多，我终于以4个第一的不败纪录代表江苏挤进了参加全国优质课比赛的队伍。
那真是一段难忘的岁月!一次次备课，一遍遍试讲，一次次修改，我仿佛是一只蚕在经历着人生的蜕变，痛苦并快乐着是我真实的心境写照!多少个夜晚，我独自面对空旷的教室认真讲解。反复揣摩；多少次在路上，我骑车冥思苦想却不得其解时差点被人撞倒；我的脑海中塞满了教学的内容，几乎所有圆形的东西都能让我联想到我的课——圆的周长。匡老师说对了。1997年，在广西南宁市体育场，我代表江苏省参加全国第三届小学数学优化课堂教学观摩交流会，以无可争议的最高分，赢得了一等奖的第一名。周玉仁教授这样评价我的课：“江苏省江阴市夏青峰老师执教的《圆的周长》，是大家一致公认的一节具有特色的好课，师生之间，配合默契，知情交融；同学之间，合作交流，切磋提高。这是一节教师的主导与学生的主体作用密切配合的好课，也是一节发挥多种教学手段和方法的整体功能的好课，真正地达到了教学过程的优化。真是春风化雨，回味无穷。”
“不应尽力而为，而是全力以赴。”我逐渐悟出了一点成功的道理。远离获奖后的喧嚣和浮华，我让自己在最短的时间内静下心来。有人说思索是一道大门，通向世界上没有的东西，通到现在人类想不到的地方。的确，正是在思索中，我开始建构自己的教学思想：数学是什么?什么是有价值的数学?数学老师首先应该关注的是数学还是孩子的心灵?如何建构人性的数学课堂?思索和实践中，我写出了近百篇的教学论文，发表在《江苏教育》、《小学数学教育》、《小学数学教师》等教育杂志上。我还应邀到广东、上海、北京等省市上课、讲学近百场次，因此也有机会结识了很多名师以及一线的教师朋友。新的高度，督促我以更强的教育责任感，更专注地投入到教育改革的实践中。
走进帕夫雷什中学
幸运之神似乎对我特别关照。应乌克兰教育科学院邀请，我两次走进了帕夫雷什中学——这“蓝天下最美丽的学校”，苏霍姆林斯基毕生工作的地方。站在大师的办公室里，和大师的儿女、学生、家长交谈，我的灵魂一次又一次受到触动。什么才是真正的教育?什么才是教育者应有的情怀?只有把整个心灵都献给孩子，只有在灵魂深处无限地热爱孩子，我们的教育才会达到它应有的境界。
回国后，我们陆续创办了两所国际学校(华士国际学校和英桥国际学校)，从幼儿园到高中，15年一贯制，致力于培养“优秀的世界公民和永远的中国人”。同时我们又组建了华士实验教育集团，涵盖学前教育、基础教育、职业培训、成人教育和国际交流等各个领域。作为教育集团的负责人，面对近万名师生，我深感自己肩上的压力与责任。不能仅仅关注数学的教改，更要关注整个学校课程体系的探索：不能仅仅关注小学教育，更要走进初中和高中，从整体上思考学校的统筹规划；不能仅仅关注自己业务水平的提高，更要带着老师们一起发展，大家同心、同行、同乐，结伴成长……孩子们虽然身处乡村，但一定要让他们胸怀世界。为了培养他们的世界意识，我们积极与加拿大、新加坡、日本等国著名院校联系，与他们进行联合办学。为了让老师们更深入地了解和实践苏霍姆林斯基的教育思想，我们在学校举办了“苏霍姆林斯基教育思想国际研讨会”。苏霍姆林斯基的女儿、学生，和帕夫雷什中学的校长以及国内的著名学者云集我校，和老师们进行面对面的对话与交流……
“每天比规定的多做一点点，每天比规定的做好一点点，每天比规定的做早一点点，每天比规定的做巧一点点”，我开始以这“四个一点点”来要求自己；“永远以积极与热忱的心态来对待生活，永远以欣赏与感恩的心态来对待他人，永远以全力以赴的心态来对待工作”，我坚持着这“三个永远”。为了蓝天下那最美丽的学校，为了心灵中这最温馨的家园，我如一名行者，跋山涉水，走在教育的路上……
让数学教育更有价值——我的教学主张 夏青峰
教育是把双刃剑，好的教育可以引导与促进学生的 发展，坏的教育会把学生身上很多美好的东西扼杀掉。数学教育也不例外。如何让数学教育更具有意义和价值，真正能促进学生的和谐发展?
一、什么是有价值的数学教育?
1 我们不要去追问数学知识本身的价值。因为价值具有相对性、发展性与主观性，从不同的角度来说，所有的数学知识都有其存在的价值，我们能举出没有价值的数学吗?只是其价值的大小，每个人根据自己的经验、视野和思维方式，都可能得出不同的结论。
2 我们需追问的是，什么样的数学教育更有价值。因为，一样物品是否有价值，很难从它本身的属性来说。关键是看别人如何根据它的属性而恰当地运用它，如何运用决定了其价值的大小。微积分有价值吗?你一定要逼着小学生去掌握，它就可能成为负价值。“3 2=5”有价值吗?你让学生去把它默写了一百遍，甚至一千遍，它也就成为负价值。《数学课程标准》提出了“让人人学习有价值的数学”。我个人理解，它不是让我们去评判作为科学的数学中哪些知识具有价值，而是让我们去思考与选择，作为学习内容的学科数学中，哪些知识相对于儿童的学习来说会更有价值?有几个因素必 须考虑：第一，它是相对于儿童的身心发展来说的：第二，它必须与儿童的思维特点与现实经验相适应：第三，它的学习受限于一定的时间与空间。这样，数学的价值性是通过教育体现在儿童身上的。所以，我们与其去追问“什么是有价值的数学”，还不如去追问“什么是有价值的数学教育”。
3 要想通过数学的教学而获得一定的教育价值，必须把科学的数学加工为学科的数学，使其同时具备：(1)数学性。要体现数学的本质属性，外在形式可以发生一些改变，但不能改变其内涵。如一些花样繁多的教学设计，贴近生活，学生也兴趣盎然，但没有一点数学味，那肯定是没有多大价值的。(2)儿童性。要把“成人的数学”转化为“儿童的数学”，做到学科的逻辑程序与儿童的心理程度和谐统一；要让数学知识与儿童的经验融为一体，让儿童亲近它，喜欢它。(3)发展性。要促进学生的发展，特别是思维水平的发展。发展程度如何取决于学生自己的体验、建构与内化情况。因此，我们必须思考：怎样选择与呈现数学内容才能留给学生建构的空间、引起学生积极的情感与思维?
4 数学教育的核心价值是什么?数学教育，尤其是义务教育阶段的数学教育，不是为了发展数学本身的科学体系，也不是为了培养或选拔少数的数学精英，而是属于一种公民素质教育，其核心价值是提高学生的数学素质。这种数学素质主要体现在“基本的数学知识与技能”和“数学的思考方式”上，且以“数学的思考方式”为重点。所谓“数学的思考方式”，即在面对各种问题情景时，能够从数学的角度去思考问题，能够发现其中存在的数学问题并运用数学的知识和方法去解决问题。在教学中，我们要注重培养学生的数感、符号感和数学模型的意识等，促进学生抽象思维的发展，丰富学生的空间观念，发展学生的形象思维，增强学生的统计意识，提高学生的推理能力。
二、怎样提升数学教育的价值?
数学教育的价值实际上就是指通过数学教育对学生产生积极的影响。关注“价值”，就要不断反思我们的数学教学行为在学生身上的影响是什么：学生的身心得到和谐发展了吗?学生的思维方式得到优化了吗?学生是在自觉、主动地建构自己的数学体系吗?提升数学教育的价值，我们必须把眼光盯在学生身上：
1 要努力地唤起学生的积极情感与思维。(1)要保护好学生的自信心。我一直以为，数学教师，首先要当好教师，其次才是当好数学教师。我们千万不能把数学当做学生学习数学的全部。(2)要对数学知识进行“儿童化改造”，将数学知识与学生认知现状紧密结合起来。各个年龄阶段学生思维的特点是什么?学生头脑中已有哪些认知储备?我们真的了解学生已有的“认知现实”吗?(3)要让数学问题具有一定的挑战性，这样才能激发学生的求知欲，从而对数学保持长久的乐趣。
2 要让学生真正经历数学学习过程，在不断的体验与创造中学习。只有这样，学生才会把数学学习看成是自己的事，数学也才能真正进入学生的内心。教学时，我们要变“在传承后创造”为“在创造中传承”，变“知行”为“行知”。
3 要让学生的思维方式真正优化，不断地学会“数学地思考”。学生未学圆周长计算公式之前，求墨水瓶底面的周长，知道用绳子绕。学过周长公式后再解决相同的问题时，他们却常常想方设法地测量底面的直径(这是很费劲的)。教什么就学什么，学什么就练什么，数学学习的过程成了技能不断训练的过程。技能是熟练了，思维却僵化了。当我们的学生在不断地重复计算43×65、29×47、86×91等等练习时，另外一些国家的学生却不断地在想着类似这样的问题：“根据15×15=225的结果，你能推测出15x14吗?14×16呢?根据25×25=625的结果，你能推算出24×26吗?”“不计算，你能知道这些算式的结果各是多少吗?35×35=?34x36=?45×45=?44×46=?你发现了什么?你能表述它吗?你能证明它吗?”同样是计算，不同的学习方式，其价值迥然不同。当我们津津乐道于我们良好的数学基础的时候，是否也要不断地追问：学生的思维发展了吗?
4 要最大限度地促使不同的学生获得不同的发展。这就要求我们必须关注到每个人，承认差异，尊重差异，了解差异，运用差异。教育不是要把每个学生都培养到同样的层次，而是要让每个学生都在原有的基础上尽可能地发展。
(1)我们要真正地了解学生，在此基础上尊重差异并运用差异。我们应该不断地追问：学生究竟已经知道了什么?是怎样想的?要深入了解这些，教师光凭课堂上的一点工夫与技巧是远远不够的。真正的工夫在课外，在教师与学生的密切交往中，在教师与学生个体的心灵互动中。我的课始交流，一般都围绕以下问题展开：关于这一知识，你已经知道了什么?还想知道些什么?有什么不太清楚的地方?当然，教师还可以通过其他的方式了解学生。
(2)创造宽松的环境，让学生能够有表达的心理安全感。自由、轻松的气氛有利于学生个性和创造力的发展。我在课堂上倡导“三个允许”：允许学生“答非所问”，允许学生“插嘴”，允许学生思想“开小差”。坚持“三个鼓励”：鼓励学生质疑，鼓励学生有不同思路，鼓励学生用自己喜欢的方式思考。
(3)以问题为中心，让学生自己“爬坡”。在困难时再适当地给一个“拐杖”。一方面，可以设计弹性练习。如提供选择性练习，不指令谁必须做哪组题，而是让学生随便选择一组进行练习，一组做完了可以做另一组，难的不会做可以做容易的，但每个人至少要完成一组练习。另一方面，可以提供提示卡。提示卡有两种类型。一种是帮助性的，针对基本题的。设计这种卡片时，教师要清楚不同层次的学生分别会在哪里出现“认知卡壳”。另一种是发散性的，主要是为学有余力的学生准备的。在他们完成基本题后，给他们送去一张卡片，上面写上一两道发散性练习题，发挥他们的潜力。
(4)注重纵向评价，鼓励纵向发展。教师的评价要淡化功利色彩，从学生的长远发展出发。我常采用“个体内差异评价法”，即淡化群体的横向比较，关注个体的纵向发展。如：昨天作业做对了一题，今天做对了两题，就说明有进步。就应该受到表扬；上学期数学考了50分，这学期考了70分，这学期的数学成绩就可以打扰；作业做错了，能自己及时订正，就算全对。教师越是吝啬成功的激励，学生就越不会成功。因为，一个人成功的最大阻碍是心目中的权威人物对他的消极期待，而教师往往就是学生心目中的权威人物。
在创造中传承——《分数的意义》教学片断 夏青峰
片断一：猜一猜
1 出示下图：
师：那也就是说，这里的1/3是表示?
学生说，老师完成下面板书： 把一个长方形平均分成3份，表示这样1份的数。
2 屏幕出示下图：
师：这次能说出是几分之几了吧?!
生：我认为是3/8，因为它把这个圆平均分成8份，阴影部分占了其中的3份。
师：好的。那反过来说，这里的3/8就是表示?
师生共同完成板书：
把一个圆平均分成8份，表示这样3份的数。
3 屏幕出示：
师：可以这样画吗?
生：可以。因为这里一共有4个小三角形，露出来的是1个，就是它的1/4。
师：还有不同的画法吗?
学生纷纷展示自己的作品。如：
学生表现出诧异的神色。
生1：老师，不对。这4个三角形不连在一起，不是一个整体。
生2：我觉得是对的。虽然它们不连在一起，但是我们可以把它看成是一个整体。
生3：我觉得它不能看成一个整体，因为一个三角形就是一个整体，而这是4个三角形。
生4：我认为它是一个整体。比如，一个人。我们可以看成是一个整体；一组人，我们也可以看成是一个整体；一个班人，也可以看成是一个整体……
学生出现了交流与辩论，最后基本统一了意见。
屏幕出示图2。
片断二：想一想
师：把6支铅笔平均分给两位同学，每位同学得到的铅笔数是?
生：3支。
师：把8支铅笔平均分给两位同学，每位同学得到的铅笔数是?
生：4支。
师：把一盒铅笔平均分给两位同学，每位同学得到的铅笔数是?
生：1/2盒。
师：为什么不说几支了呢?
生1：因为不知道有几支铅笔。
生2：我们可以把它看作一个整体。
师：每位同学得到的铅笔数就是这个整体的?
生：2份中的1份。
师：平均分成2份后的1份，就可以用?
生：1/2来表示。
师：真好!如果把它平均分给5位同学呢?10位呢?50位呢?(生答略)
师：可是这个文具盒里只有6支铅笔。(拿出6支铅笔)现在把它平均分给两位同学，每位同学得到的铅笔数还能用1/2表示吗?
生：能!
师：为什么还能呢?这不是3支吗?
生：因为这也是2份中的1份。
师：那还能用3支表示吗?
生：能。
师：它既能用1/2表示，又能用3支表示。那这1/2和3支是什么关系呢?
生：1/2也就表示这里的3支。
生：也就是说，3支铅笔占6支这个整体的1/2。
师：如果把8支铅笔平均分给两位同学，每位同学得到的铅笔数还能用1/2表示吗?
生：也能用1/2表示。
师：3支可以用1/2表示，4支也可以用1/2表示，为什么?
生：因为3支是6支的1/2，而4支是8支的1/2。
师：真好，整体不同，1/2所代表的铅笔支数也就不同。如果是100支铅笔呢71000支铅笔呢?5吨苹果呢?
师：怎样拿出这些铅笔(6支)的2/3呢?
(生答略，教师引导时，突出分子2是表示2份而不是2支)
师：这里有3个粉笔盒，里面放了一些粉笔。老师从第一盒中拿出1支，就拿出了整盒的1/5，这盒粉笔一共有几支?老师从第二盒中拿出2支，就拿出了这盒的1/5，这盒粉笔一共有几支?老师从第三盒中拿出3支，也拿出了这盒的丁1/5，这盒粉笔一共有几支?请你想一想，画一画。
师：为什么第一盒是1支1支的画，第二盒是2支2支的画，第三盒是3支3支的画呢?
生：因为它的每份数分别是1支、2支、3支。
师：这三个1/5，有什么相同点和不同点呢?
生1：它们都表示平均分成5份，而拿出了其中的1份：
生2：它们粉笔的总数不同，所以每份数也不同；
片断三：分一分
师：同学们手头上都有12根小棒。能根据老师提供的分数，拿出它的一部分吗?
屏幕上显示：拿出12根小棒的()/()
首先出示：(1)/()
有些学生马上举起了1根小棒。
师：大家想想看，举起1根小棒，对吗?
生：不一定对。如果分母是2，它应该就是6根小棒。
师：很好!这里的1，是表示1份，还是表示1支?
生：1份。
屏幕相继显示：1/2、1/3、1/4、1/6、1/12。学生拿出相应的小棒支数。
屏幕再显示：()/(6)
师：现在能拿吗?
生：不能。
师：虽然不能拿，但是我们可以做一件事。什么事?
生：把12根小棒平均分成6份；
生：每份是2支。
屏幕相继显示：1/6、2/6、3/6、6/6、2/3、3/4。学生拿出相应的小棒支数。
师：同桌同学试试看，一个说分数，一个拿小棒，看谁反应快。
片断四：说一说
师：在刚才的学习过程中，出现了好些分数。咱们再来说说它所代表的意思。
指黑板上的丁1/3、3/8、1/4、2/3等，让学生分别说说它们代表的意义(每个分数都有具体的整体相对应)。
师在黑板上写出：5/7。
生1：把一个物体平均分成7份，表示这样的5份的数。
生2：把一盒铅笔平均分成7份，表示这样的5份的数。
生3：把一个整体平均分成7份，表示这样的5份的数。
师：到底把一个什么平均分呢?我们能不能用一个词概括一下?
生1：用一个单位。
生2：用一个整体。
师：反正都是一个什么!就用“1”吧!书上称为?
生：单位1。(师在相应位置板书单位“1”)
师出示：7/8。(生说出意义) 师再出示：3/□。
生：把单位“1”平均分成……(这里有几种不同的声音出现)，表示这样的3份的数。
师：平均分成的份数不确定，用什么词来概括?
生：若干份。(师板书，生完整说一遍意义)
师再出示：□/9，谁又能说说它所表示的意义呢?
生：把单位1平均分成9份，表示这样若干份的数。
师：真好!用若干份来代替这不确定的份数。可是好像与前面有重复的感觉。能换一个词吗?
生：几份。
师：好的，就用这个词。(师板书，生齐读)
师：再出示“□/□”怎么样，再说说!
生：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的1份或者几份的数。
师：这就是分数的意义!齐读一遍。
师：自己随意写两个分数，同桌互相说说它们所表示的意义。
(生说略)
27岁那年，我代表江苏省参加全国第三届小学数学优化课堂教学观摩交流会，赢得了一等奖第一名。当掌声和鲜花向我涌来时，我知道，我其实还在起点上，我刚刚开始行走在教育的路上……
我想飞，却怎么也飞不高
“我是一只小小鸟，想要飞，却怎么也飞不高……”刚踏上工作岗位时，最喜欢听的就是赵传的这首歌了，也许它就是我当时内心真实的写照吧。
老实说，走上教育这条路，非内心的渴望，而是命运的安排。初中毕业那年，我被当地最有名的省重点中学以高分录取，但因为考虑到经济问题，县教育局的好心人把我换到家乡的师范学校。1989年，师范毕业的我回到了自己曾读过书的农村小学，开始了一个乡村教师的生涯。第一次教师会议的情景至今依然清晰：杂草丛生的校园里，校长坐在一个大石块上，我们七八个教师坐在几个小石块上，因为地上积着水，所以大家都打着赤脚。裤脚卷得老高。校长布置任务：下午每人带好扁担、绳子，到几里路以外的河滩边把学生的课本挑回来……因为吃水不方便，所以那时的我，白天教学，傍晚就在校园里挖井，挖了一个几米深的大坑，然后就劈柴、提水、做饭。晚上，学校只剩下我一个人，头顶除了归巢的几声鸟叫，静得叫人心里发慌。和衣躺在小房间里，看着清冷的月光从纸糊的窗缝冷冷地落在床前，胸中就会升起一股难以排遣的孤独。我不断地问自己：这难道是我一辈子生活与工作的环境吗?多少个夜晚，我站在山坡上对着旷野抒发“对酒当歌，人生几何”的感慨。
不行，我不能因为环境的不如意而沉沦，骨子里那种不服输的劲头又从我的心底涌起。我不能在这个平凡而又狭小的天地里磨平自己的棱角，我不能在搬砖挖井的体力消耗中泯灭我的智慧!我要走出去，我要考教育研究生!就这样，我为自己树立了新的学习目标，白天，忙完工作就拿起书本，夜晚，在昏黄的灯光下我阅读到深夜，《教育学》《心理学》《外国教育史》……一本接一本读，一篇接一篇背，床边案头总是整齐地摆放着厚厚的书本，多少个晨昏我就是和它们一起度过的。在书中我寻到了一方快乐的天地。
各种各样的书读得多了，考研的志向却渐渐淡出了我的心海。我感觉到自己的心正变得宁静起来，眼前的旧房枯树在阳光下也变得明亮起来，就连孩子们那冻得红红的小脸，那因贪玩留在脸上的泥道道也变得美丽起来。我开始喜欢这份工作。白天，和孩子们在一起，教他们背诗歌、练气功；夜晚，很多住得近的孩子来到我的身边，我们坐在校外的一个山坡上，讲故事、唱歌、做游戏。柔和的月光、疏密有致的树影、一个小伙子与十多个孩子，这是至今还定格在我脑海中优美的教育画卷。虽然在同事的眼睛中，我是一个“小”老师，但孩子们却很喜欢我的课。没有刻意追求过方法的新颖，也没有刻意探讨过教育的规律，蜷缩在穷乡僻壤的我更没有看到过教学的最新动态，想象中，学生怎么学能轻松、能快乐、能学会，我就怎么教!因此，很多方法都来自于自己的灵感或者是自己突发奇想的创造。因为尽力追求课课不同的教法。所以，孩子们对我的课总是心存期待。那时候，让学生喜欢我、喜欢上我的课是我最高的追求。
虽然已经定下心来教书，但那颗想飞的心，却从没放弃对蓝天的渴盼。
你会成为一个优秀的教师
在农村小学教书，工资低得可怜。为了不像父亲那样教学一辈子仍固守着清寒，我经常利用假期外出打工：1991年暑假来到举目无亲的广州，做过饭店里的服务生、工厂里的电焊工，露宿过街头；1992年暑假，跟随民工在苏州帮别人拆房子，炎炎烈日下，赤着上身，站在墙头上挥舞大锤。避开繁华的街道，满身污垢的我，低着头拉着板车在小道上吃力地跑着；那次在房顶上拆横梁，稍微一用力，脚下的椽子断了，整个人迅速地向下沉，幸亏抓住了旁边的一块木头，才救了一命。
虽然做的是打工仔，虽然生活多磨难。骨子里却忘不了自己是一名教师。每到一处，劳动之余，伙伴们谈笑戏耍、游山玩水，我却喜欢看看附近的学校，一次次徘徊在那些美丽的校园外，一次次羡慕地盯着那偶尔进出的老师。1993年暑假，我又来到苏南打工，本想到遐迩闻名的华西村看看，却在一个炎热的午后走进了华士中心小学。站在华士校门口。我凝神地盯着这个整洁的校园。
“你找谁?”身边有人问我。
“找你们校长。”我脱口而出。说这句话的时候，自己也吓了一跳，我有什么资格找校长呢?既然说了，也就忐忑不安顺着那位教师指点来到校长室，见到了改变我人生的吴辰校长——一位慈祥、平和、睿智的校长。
“你找我有什么事?”
“我是教师，我羡慕你们这里有这么好的学校。”
“想到这样学校来当教师?”
“想啊，不知你们这里缺不缺教师?”
“教师不缺，但缺好教师。”
“我……”我泄气了。
一个偏远农村小学的教师，一个正在打工的教师，哪有什么优秀可言?
“我看得出，你会成为一个优秀的教师。欢迎你到我们学校来工作。”
让我来这里工作?这实在是我想不到的!更叫我意想不到的是——九月，当我带着简朴的行李来华士中心小学报到时，吴辰校长早在校门口迎候我了。热情的接待之后，吴辰校长请我到她家共进晚餐，嘘寒问暖：让后勤为我打扫宿舍，安排床铺……
永远忘不了那一节课。那是刚到华士中心小学不久，我费了很大的气力向学生解释一个概念，可学生就是不懂。无奈，第二节课请来了教导主任帮忙。没想到他只是轻轻的几句话，学生们就一下子明白了，一个孩子还兴奋地连声说：“好懂!好懂!真简单!”看着学生那茅塞顿开的样子，我的心受到了深深的触动。“你会成为一个优秀的教师!”吴辰校长的话又响在耳边。从小不服输的我暗暗告诉自己：“只要你努力，你也能把数学上得简单快乐!”于是，很长一段时间内，我成了学校最谦虚的“学生”，反复听老教师上课，一遍遍修改自己的教学设计，全身心扑到了数学教学的研究实践中。身在一线，我真切地体会到教学基本功的重要。为了练好粉笔字，我随身带块小黑板，几乎一有空就写了又擦，擦了又写；为了练好普通话，我干脆拜江阴电视台播音员为师；为了各好一堂课，我苦苦思考，备教材，备学生，多少次备出，多少次推翻，直到满意为止：为了上好第二天的课，夜深人静时，我还在对着墙壁一遍又一遍“试教”。为了拥有扎实的理论功底，建构属于自己的数学教学思想，我走进了学校图书馆，苏格拉底、卢梭、洛克、苏霍姆林斯基、陶行知等专家学者的鸿篇巨著开始走进我的视野。那是一段更为艰辛的阅读，因为，读理论无疑要有啃书的勇气和耐力，一次次烦躁地放下，又一次次珍爱地拿起，一遍遍对自己说读下去、读下去。
行走在追寻教育理想的路上，心，终于安定下来。 下届的全国第一就是你了
1994年，我作为列席代表参加了《江苏教育》举办的 “教海探航”征文颁奖活动。活动之后，《江苏教育》刊登了一组获奖代表的照片，不知什么缘故，并没有获奖的我竟也被拍了进去。我暗暗下决心，下回“教海探航”的领奖台上，一定真正有我夏青峰!这种愿望成了激励，成了动力。回到学校后，我对自己的课堂教学进行了深入的反思，并开始大胆地进行很多改革的尝试。一年后，我写出了《让每个学生都能成功地学习》这篇文章，突出教师责任不在于教，不在于让学生获得多少知识，而在于激励学生产生学习冲动，在冲动中自我激励，从而自觉地寻找学习方法，体会成功的快乐。现在看来，这些观点大家都能接受了，可在10年前，这些观点实属新鲜、时尚。在几千篇征文中，这篇文章一举夺魁，名列一等奖数学学科第一名。初露锋芒令我信心倍增。我跃跃欲试，渴望在更广阔的领域里一显身手。
1995年，全国第二届小学数学教学观摩会在海口召开，各省小学数学精英荟萃，优课云集，吴辰校长安排我去听课。像一只小船鼓满了风帆，在海口我成了最好问、最“烦人”的“学生”。一同前往的教研室匡老师打趣说：“夏青峰，下届的全国第一就是你了!”一句不经意的戏言，又被天真的我当成了努力的目标。于是，我把自己的每一节课都当作公开教学准备，努力让学生在每一节课上都能达到享受数学的境界，让自己的教学艺术一天天一点点提升，超越自己，超越别人。我暗暗地跟自己较着劲：“要上，就要上得最好!”在这个目标引领下，1996年，我参加了全国优质课比赛江苏赛区的角逐，从学校的比赛，到江阴市、无锡市的比赛，再到江苏省的比赛，过关斩将，历时一年多，我终于以4个第一的不败纪录代表江苏挤进了参加全国优质课比赛的队伍。
那真是一段难忘的岁月!一次次备课，一遍遍试讲，一次次修改，我仿佛是一只蚕在经历着人生的蜕变，痛苦并快乐着是我真实的心境写照!多少个夜晚，我独自面对空旷的教室认真讲解。反复揣摩；多少次在路上，我骑车冥思苦想却不得其解时差点被人撞倒；我的脑海中塞满了教学的内容，几乎所有圆形的东西都能让我联想到我的课——圆的周长。匡老师说对了。1997年，在广西南宁市体育场，我代表江苏省参加全国第三届小学数学优化课堂教学观摩交流会，以无可争议的最高分，赢得了一等奖的第一名。周玉仁教授这样评价我的课：“江苏省江阴市夏青峰老师执教的《圆的周长》，是大家一致公认的一节具有特色的好课，师生之间，配合默契，知情交融；同学之间，合作交流，切磋提高。这是一节教师的主导与学生的主体作用密切配合的好课，也是一节发挥多种教学手段和方法的整体功能的好课，真正地达到了教学过程的优化。真是春风化雨，回味无穷。”
“不应尽力而为，而是全力以赴。”我逐渐悟出了一点成功的道理。远离获奖后的喧嚣和浮华，我让自己在最短的时间内静下心来。有人说思索是一道大门，通向世界上没有的东西，通到现在人类想不到的地方。的确，正是在思索中，我开始建构自己的教学思想：数学是什么?什么是有价值的数学?数学老师首先应该关注的是数学还是孩子的心灵?如何建构人性的数学课堂?思索和实践中，我写出了近百篇的教学论文，发表在《江苏教育》、《小学数学教育》、《小学数学教师》等教育杂志上。我还应邀到广东、上海、北京等省市上课、讲学近百场次，因此也有机会结识了很多名师以及一线的教师朋友。新的高度，督促我以更强的教育责任感，更专注地投入到教育改革的实践中。
走进帕夫雷什中学
幸运之神似乎对我特别关照。应乌克兰教育科学院邀请，我两次走进了帕夫雷什中学——这“蓝天下最美丽的学校”，苏霍姆林斯基毕生工作的地方。站在大师的办公室里，和大师的儿女、学生、家长交谈，我的灵魂一次又一次受到触动。什么才是真正的教育?什么才是教育者应有的情怀?只有把整个心灵都献给孩子，只有在灵魂深处无限地热爱孩子，我们的教育才会达到它应有的境界。
回国后，我们陆续创办了两所国际学校(华士国际学校和英桥国际学校)，从幼儿园到高中，15年一贯制，致力于培养“优秀的世界公民和永远的中国人”。同时我们又组建了华士实验教育集团，涵盖学前教育、基础教育、职业培训、成人教育和国际交流等各个领域。作为教育集团的负责人，面对近万名师生，我深感自己肩上的压力与责任。不能仅仅关注数学的教改，更要关注整个学校课程体系的探索：不能仅仅关注小学教育，更要走进初中和高中，从整体上思考学校的统筹规划；不能仅仅关注自己业务水平的提高，更要带着老师们一起发展，大家同心、同行、同乐，结伴成长……孩子们虽然身处乡村，但一定要让他们胸怀世界。为了培养他们的世界意识，我们积极与加拿大、新加坡、日本等国著名院校联系，与他们进行联合办学。为了让老师们更深入地了解和实践苏霍姆林斯基的教育思想，我们在学校举办了“苏霍姆林斯基教育思想国际研讨会”。苏霍姆林斯基的女儿、学生，和帕夫雷什中学的校长以及国内的著名学者云集我校，和老师们进行面对面的对话与交流……
“每天比规定的多做一点点，每天比规定的做好一点点，每天比规定的做早一点点，每天比规定的做巧一点点”，我开始以这“四个一点点”来要求自己；“永远以积极与热忱的心态来对待生活，永远以欣赏与感恩的心态来对待他人，永远以全力以赴的心态来对待工作”，我坚持着这“三个永远”。为了蓝天下那最美丽的学校，为了心灵中这最温馨的家园，我如一名行者，跋山涉水，走在教育的路上……
让数学教育更有价值——我的教学主张 夏青峰
教育是把双刃剑，好的教育可以引导与促进学生的 发展，坏的教育会把学生身上很多美好的东西扼杀掉。数学教育也不例外。如何让数学教育更具有意义和价值，真正能促进学生的和谐发展?
一、什么是有价值的数学教育?
1 我们不要去追问数学知识本身的价值。因为价值具有相对性、发展性与主观性，从不同的角度来说，所有的数学知识都有其存在的价值，我们能举出没有价值的数学吗?只是其价值的大小，每个人根据自己的经验、视野和思维方式，都可能得出不同的结论。
2 我们需追问的是，什么样的数学教育更有价值。因为，一样物品是否有价值，很难从它本身的属性来说。关键是看别人如何根据它的属性而恰当地运用它，如何运用决定了其价值的大小。微积分有价值吗?你一定要逼着小学生去掌握，它就可能成为负价值。“3 2=5”有价值吗?你让学生去把它默写了一百遍，甚至一千遍，它也就成为负价值。《数学课程标准》提出了“让人人学习有价值的数学”。我个人理解，它不是让我们去评判作为科学的数学中哪些知识具有价值，而是让我们去思考与选择，作为学习内容的学科数学中，哪些知识相对于儿童的学习来说会更有价值?有几个因素必 须考虑：第一，它是相对于儿童的身心发展来说的：第二，它必须与儿童的思维特点与现实经验相适应：第三，它的学习受限于一定的时间与空间。这样，数学的价值性是通过教育体现在儿童身上的。所以，我们与其去追问“什么是有价值的数学”，还不如去追问“什么是有价值的数学教育”。
3 要想通过数学的教学而获得一定的教育价值，必须把科学的数学加工为学科的数学，使其同时具备：(1)数学性。要体现数学的本质属性，外在形式可以发生一些改变，但不能改变其内涵。如一些花样繁多的教学设计，贴近生活，学生也兴趣盎然，但没有一点数学味，那肯定是没有多大价值的。(2)儿童性。要把“成人的数学”转化为“儿童的数学”，做到学科的逻辑程序与儿童的心理程度和谐统一；要让数学知识与儿童的经验融为一体，让儿童亲近它，喜欢它。(3)发展性。要促进学生的发展，特别是思维水平的发展。发展程度如何取决于学生自己的体验、建构与内化情况。因此，我们必须思考：怎样选择与呈现数学内容才能留给学生建构的空间、引起学生积极的情感与思维?
4 数学教育的核心价值是什么?数学教育，尤其是义务教育阶段的数学教育，不是为了发展数学本身的科学体系，也不是为了培养或选拔少数的数学精英，而是属于一种公民素质教育，其核心价值是提高学生的数学素质。这种数学素质主要体现在“基本的数学知识与技能”和“数学的思考方式”上，且以“数学的思考方式”为重点。所谓“数学的思考方式”，即在面对各种问题情景时，能够从数学的角度去思考问题，能够发现其中存在的数学问题并运用数学的知识和方法去解决问题。在教学中，我们要注重培养学生的数感、符号感和数学模型的意识等，促进学生抽象思维的发展，丰富学生的空间观念，发展学生的形象思维，增强学生的统计意识，提高学生的推理能力。
二、怎样提升数学教育的价值?
数学教育的价值实际上就是指通过数学教育对学生产生积极的影响。关注“价值”，就要不断反思我们的数学教学行为在学生身上的影响是什么：学生的身心得到和谐发展了吗?学生的思维方式得到优化了吗?学生是在自觉、主动地建构自己的数学体系吗?提升数学教育的价值，我们必须把眼光盯在学生身上：
1 要努力地唤起学生的积极情感与思维。(1)要保护好学生的自信心。我一直以为，数学教师，首先要当好教师，其次才是当好数学教师。我们千万不能把数学当做学生学习数学的全部。(2)要对数学知识进行“儿童化改造”，将数学知识与学生认知现状紧密结合起来。各个年龄阶段学生思维的特点是什么?学生头脑中已有哪些认知储备?我们真的了解学生已有的“认知现实”吗?(3)要让数学问题具有一定的挑战性，这样才能激发学生的求知欲，从而对数学保持长久的乐趣。
2 要让学生真正经历数学学习过程，在不断的体验与创造中学习。只有这样，学生才会把数学学习看成是自己的事，数学也才能真正进入学生的内心。教学时，我们要变“在传承后创造”为“在创造中传承”，变“知行”为“行知”。
3 要让学生的思维方式真正优化，不断地学会“数学地思考”。学生未学圆周长计算公式之前，求墨水瓶底面的周长，知道用绳子绕。学过周长公式后再解决相同的问题时，他们却常常想方设法地测量底面的直径(这是很费劲的)。教什么就学什么，学什么就练什么，数学学习的过程成了技能不断训练的过程。技能是熟练了，思维却僵化了。当我们的学生在不断地重复计算43×65、29×47、86×91等等练习时，另外一些国家的学生却不断地在想着类似这样的问题：“根据15×15=225的结果，你能推测出15x14吗?14×16呢?根据25×25=625的结果，你能推算出24×26吗?”“不计算，你能知道这些算式的结果各是多少吗?35×35=?34x36=?45×45=?44×46=?你发现了什么?你能表述它吗?你能证明它吗?”同样是计算，不同的学习方式，其价值迥然不同。当我们津津乐道于我们良好的数学基础的时候，是否也要不断地追问：学生的思维发展了吗?
4 要最大限度地促使不同的学生获得不同的发展。这就要求我们必须关注到每个人，承认差异，尊重差异，了解差异，运用差异。教育不是要把每个学生都培养到同样的层次，而是要让每个学生都在原有的基础上尽可能地发展。
(1)我们要真正地了解学生，在此基础上尊重差异并运用差异。我们应该不断地追问：学生究竟已经知道了什么?是怎样想的?要深入了解这些，教师光凭课堂上的一点工夫与技巧是远远不够的。真正的工夫在课外，在教师与学生的密切交往中，在教师与学生个体的心灵互动中。我的课始交流，一般都围绕以下问题展开：关于这一知识，你已经知道了什么?还想知道些什么?有什么不太清楚的地方?当然，教师还可以通过其他的方式了解学生。
(2)创造宽松的环境，让学生能够有表达的心理安全感。自由、轻松的气氛有利于学生个性和创造力的发展。我在课堂上倡导“三个允许”：允许学生“答非所问”，允许学生“插嘴”，允许学生思想“开小差”。坚持“三个鼓励”：鼓励学生质疑，鼓励学生有不同思路，鼓励学生用自己喜欢的方式思考。
(3)以问题为中心，让学生自己“爬坡”。在困难时再适当地给一个“拐杖”。一方面，可以设计弹性练习。如提供选择性练习，不指令谁必须做哪组题，而是让学生随便选择一组进行练习，一组做完了可以做另一组，难的不会做可以做容易的，但每个人至少要完成一组练习。另一方面，可以提供提示卡。提示卡有两种类型。一种是帮助性的，针对基本题的。设计这种卡片时，教师要清楚不同层次的学生分别会在哪里出现“认知卡壳”。另一种是发散性的，主要是为学有余力的学生准备的。在他们完成基本题后，给他们送去一张卡片，上面写上一两道发散性练习题，发挥他们的潜力。
(4)注重纵向评价，鼓励纵向发展。教师的评价要淡化功利色彩，从学生的长远发展出发。我常采用“个体内差异评价法”，即淡化群体的横向比较，关注个体的纵向发展。如：昨天作业做对了一题，今天做对了两题，就说明有进步。就应该受到表扬；上学期数学考了50分，这学期考了70分，这学期的数学成绩就可以打扰；作业做错了，能自己及时订正，就算全对。教师越是吝啬成功的激励，学生就越不会成功。因为，一个人成功的最大阻碍是心目中的权威人物对他的消极期待，而教师往往就是学生心目中的权威人物。
在创造中传承——《分数的意义》教学片断 夏青峰
片断一：猜一猜
1 出示下图：
师：那也就是说，这里的1/3是表示?
学生说，老师完成下面板书： 把一个长方形平均分成3份，表示这样1份的数。
2 屏幕出示下图：
师：这次能说出是几分之几了吧?!
生：我认为是3/8，因为它把这个圆平均分成8份，阴影部分占了其中的3份。
师：好的。那反过来说，这里的3/8就是表示?
师生共同完成板书：
把一个圆平均分成8份，表示这样3份的数。
3 屏幕出示：
师：可以这样画吗?
生：可以。因为这里一共有4个小三角形，露出来的是1个，就是它的1/4。
师：还有不同的画法吗?
学生纷纷展示自己的作品。如：
学生表现出诧异的神色。
生1：老师，不对。这4个三角形不连在一起，不是一个整体。
生2：我觉得是对的。虽然它们不连在一起，但是我们可以把它看成是一个整体。
生3：我觉得它不能看成一个整体，因为一个三角形就是一个整体，而这是4个三角形。
生4：我认为它是一个整体。比如，一个人。我们可以看成是一个整体；一组人，我们也可以看成是一个整体；一个班人，也可以看成是一个整体……
学生出现了交流与辩论，最后基本统一了意见。
屏幕出示图2。
片断二：想一想
师：把6支铅笔平均分给两位同学，每位同学得到的铅笔数是?
生：3支。
师：把8支铅笔平均分给两位同学，每位同学得到的铅笔数是?
生：4支。
师：把一盒铅笔平均分给两位同学，每位同学得到的铅笔数是?
生：1/2盒。
师：为什么不说几支了呢?
生1：因为不知道有几支铅笔。
生2：我们可以把它看作一个整体。
师：每位同学得到的铅笔数就是这个整体的?
生：2份中的1份。
师：平均分成2份后的1份，就可以用?
生：1/2来表示。
师：真好!如果把它平均分给5位同学呢?10位呢?50位呢?(生答略)
师：可是这个文具盒里只有6支铅笔。(拿出6支铅笔)现在把它平均分给两位同学，每位同学得到的铅笔数还能用1/2表示吗?
生：能!
师：为什么还能呢?这不是3支吗?
生：因为这也是2份中的1份。
师：那还能用3支表示吗?
生：能。
师：它既能用1/2表示，又能用3支表示。那这1/2和3支是什么关系呢?
生：1/2也就表示这里的3支。
生：也就是说，3支铅笔占6支这个整体的1/2。
师：如果把8支铅笔平均分给两位同学，每位同学得到的铅笔数还能用1/2表示吗?
生：也能用1/2表示。
师：3支可以用1/2表示，4支也可以用1/2表示，为什么?
生：因为3支是6支的1/2，而4支是8支的1/2。
师：真好，整体不同，1/2所代表的铅笔支数也就不同。如果是100支铅笔呢71000支铅笔呢?5吨苹果呢?
师：怎样拿出这些铅笔(6支)的2/3呢?
(生答略，教师引导时，突出分子2是表示2份而不是2支)
师：这里有3个粉笔盒，里面放了一些粉笔。老师从第一盒中拿出1支，就拿出了整盒的1/5，这盒粉笔一共有几支?老师从第二盒中拿出2支，就拿出了这盒的1/5，这盒粉笔一共有几支?老师从第三盒中拿出3支，也拿出了这盒的丁1/5，这盒粉笔一共有几支?请你想一想，画一画。
师：为什么第一盒是1支1支的画，第二盒是2支2支的画，第三盒是3支3支的画呢?
生：因为它的每份数分别是1支、2支、3支。
师：这三个1/5，有什么相同点和不同点呢?
生1：它们都表示平均分成5份，而拿出了其中的1份：
生2：它们粉笔的总数不同，所以每份数也不同；
片断三：分一分
师：同学们手头上都有12根小棒。能根据老师提供的分数，拿出它的一部分吗?
屏幕上显示：拿出12根小棒的()/()
首先出示：(1)/()
有些学生马上举起了1根小棒。
师：大家想想看，举起1根小棒，对吗?
生：不一定对。如果分母是2，它应该就是6根小棒。
师：很好!这里的1，是表示1份，还是表示1支?
生：1份。
屏幕相继显示：1/2、1/3、1/4、1/6、1/12。学生拿出相应的小棒支数。
屏幕再显示：()/(6)
师：现在能拿吗?
生：不能。
师：虽然不能拿，但是我们可以做一件事。什么事?
生：把12根小棒平均分成6份；
生：每份是2支。
屏幕相继显示：1/6、2/6、3/6、6/6、2/3、3/4。学生拿出相应的小棒支数。
师：同桌同学试试看，一个说分数，一个拿小棒，看谁反应快。
片断四：说一说
师：在刚才的学习过程中，出现了好些分数。咱们再来说说它所代表的意思。
指黑板上的丁1/3、3/8、1/4、2/3等，让学生分别说说它们代表的意义(每个分数都有具体的整体相对应)。
师在黑板上写出：5/7。
生1：把一个物体平均分成7份，表示这样的5份的数。
生2：把一盒铅笔平均分成7份，表示这样的5份的数。
生3：把一个整体平均分成7份，表示这样的5份的数。
师：到底把一个什么平均分呢?我们能不能用一个词概括一下?
生1：用一个单位。
生2：用一个整体。
师：反正都是一个什么!就用“1”吧!书上称为?
生：单位1。(师在相应位置板书单位“1”)
师出示：7/8。(生说出意义) 师再出示：3/□。
生：把单位“1”平均分成……(这里有几种不同的声音出现)，表示这样的3份的数。
师：平均分成的份数不确定，用什么词来概括?
生：若干份。(师板书，生完整说一遍意义)
师再出示：□/9，谁又能说说它所表示的意义呢?
生：把单位1平均分成9份，表示这样若干份的数。
师：真好!用若干份来代替这不确定的份数。可是好像与前面有重复的感觉。能换一个词吗?
生：几份。
师：好的，就用这个词。(师板书，生齐读)
师：再出示“□/□”怎么样，再说说!
生：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的1份或者几份的数。
师：这就是分数的意义!齐读一遍。
师：自己随意写两个分数，同桌互相说说它们所表示的意义。
(生说略)