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二次函数知识是每年中考的重点知识,是每卷必考的内容,主要考查二次函数的概念、图像、性质及应用,主要是为了考查同学们的综合运用能力及解决实际问题的能力。其中,函数的实际应用以及其与几何、方程所组成的综合题是中考的热点问题。
下面结合具体例题谈谈二次函数的解题策略。
一、确定函数解析式
例1 已知二次函数的图像经过点(2,0)、(-4,0)、(-1,9),求此函数的解析式。
【解析】方法一:待定系数法。设函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),将点(2,0)、(-4,0)、(-1,9)代入可求得y=-x2-2x+8。
方法二:交点式法。设函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),将点(2,0)、(-4,0)代入得y=a(x-2)(x+4),再将点(-1,9)代入可求得y=-(x-2)(x+4)。
方法三:顶点式法。由函数图像经过点(2,0)、(-4,0)可得函数图像的对称轴为直线x=-1,从而得到点(-1,9)就是函数图像的顶点,于是设y=a(x+1)2+9,再将点(2,0)或(-4,0)代入得:y=-(x+1)2+9。
【点评】二次函数解析式可以通过待定系数法、交点式法、顶点式法等多种方法来解决,解题时选择适当的方法会达到事半功倍的效果。
二、函数图像与性质
例2 已知二次函数y=2(x-1)(x-m-3)(m为常数)。
(1)求证:不论m为何值,该函数的图像与x轴总有公共点;
(2)当m取什么值时,该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方?
【解析】(1)方法一:根的判别式法。看到“二次函数的图像与x轴总有公共点”的个数问题自然联想到计算“b2-4ac=4m2+16m+16=4(m+2)2”,所以不论m为何值,关于x的一元二次方程2(x-1)(x-m-3)=0总有实数根,进而判断二次函数的图像与x軸总有公共点。
方法二:交点式法。要求二次函数y=2(x-1)(x-m-3)(m为常数)的图像与x轴的公共点个数问题,即求关于x的一元二次方程2(x-1)(x-m-3)=0(m为常数)的实数根的问题,此题很显然得到方程的解x1=1,x2=m+3。当m+3=1,即m=-2时,方程有两个相等的实数根;当m+3≠1,即m≠-2时,方程有两个不相等的实数根。故不论m为何值,该函数的图像与x轴总有公共点。
而有些问题需要通过变形才能得到交点式,如:
已知二次函数y=a(x-m)2-a(x-m)(a、m为常数,且a≠0)。
求证:不论a与m为何值,该函数的图像与x轴总有两个公共点。
此时若用根的判别式的方法进行证明就显得比较麻烦,而若想得到二次函数的交点式,此题计算就比较简单:y=a(x-m)2-a(x-m)=a(x-m)(x-m-1)。
(2)由题意得:只需求出图像与y轴的交点的纵坐标即可。即当x=0时,y=2(x-1)(x-m-3)=2m+6,所以该函数的图像与y轴交点的纵坐标为2m+6,故当2m+6>0,即m>-3时,该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方。
【点评】二次函数图像与x轴交点个数问题可以转化为一元二次方程的根的个数问题,从而可以用“根的判别式”这一通性通法加以解决,而有些题目也可从“形”的角度(函数的图像)来解决。如:
已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数)。
求证:不论m为何值,该函数的图像与x轴没有公共点。
由于y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3,
又a=1>0,函数图像开口向上,当x=m时,y最小值=3。
所以不论m为何值,该函数的图像与x轴没有公共点。
三、函数的实际应用
例3 某商品的进价是每件40元,原售价每件60元。在进行不同程度的涨价后,统计了商品调价当天的售价和利润情况,以下是部分数据:
[售价(元/件) 60 61 62 63 … 利润(元) 6000 6090 6160 6210 … ]
(1)当售价为每件60元时,当天可售出 件;
当售价为每件61元时,当天可售出 件。
(2)若对该商品原售价每件涨价x元(x为正整数)时,当天售出该商品的利润为y元。
①用所学过的函数知识直接写出y与x满足的函数表达式: 。
②如何定价才能使当天的销售利润不低于6200元?
【解析】(1)根据“销售量=总利润÷每件利润”可得:当售价为每件60元时,当天可售出300件;当售价为每件61元时,当天可售出290件。
(2)①根据“总利润=每件利润×销售量”可得:
y=(60-40+x)(300-10x)=-10x2+100x+6000=-10(x-5)2+6250。
②题目要求使当天的销售利润不低于6200元,即y≥6200,当y=6200时,
-10(x-5)2+6250=6200。
解得x1=5-[5],x2=5+[5]。
由-10<0,得该二次函数的图像开口向下。
所以当y≥6200时,5-[5]≤x≤5+[5]。
即当y≥6200时,3≤x≤7(x为正整数)。
故定价为:63,64,65,66,67。
【点评】该题利用了二次函数模型进行解决。函数是解决实际问题的有效模型,利用二次函数解决实际问题往往经历:找到题目中的两个变量;寻找变量之间的等量关系;依据变量之间的等量关系列出函数关系式;利用配方等方法求出顶点进而求出最值;回到实际问题进行检验。 四、函数的几何应用
例4 如图1,已知矩形ABCD中,A(3,2),B(3,-4),C(5,-4),点E是直线AB与x轴的交点,抛物线y=ax2+bx-3过点E,且顶点F的横坐标为1,点M是直线CD与x轴的交点。
图1
(1)求a,b的值。
(2)请你探索在矩形ABCD的四条边上,是否存在点P,使得三角形AFP是等腰三角形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由。
(3)抛物线上是否存在点Q在∠EMC的平分线上?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由。
【解析】(1)由题意得E(3,0),[-b2a]=1,
由[9a+3b-3=0,b+2a=0,]得[a=1,b=-2。]所以a=1,b=-2。
(2)要使三角形AFP是等腰三角形,只要两条边相等,故分为PA=PF,AF=AP,AF=FP三种情况:
①当PA=PF时(如图2),点P在线段AF的垂直平分线上。
(i)方法一:设P1是线段AF的垂直平分线与AB的交点,
设BP1=x,由FP12=AP12可得x2+22=(6-x)2,得x=[83],
得点P1的坐标为(3,[-43])。
图2
方法二:设H是线段AF的垂直平分线与AF的交点,
由△AHP1∽△ABF可得AP1=[103],
可得点P1的坐标为(3,[-43])。
(ii)方法一:设P2是线段AF的垂直平分线与CD的交点,
设CP2=y,由FP22=AP22可得y2+42=(6-y)2+22,得y=2,
得点P2的坐标为(5,-2)。
方法二:设K是线段AF的垂直平分线与FC的延长线的交点,
由△KBP1∽△ABF可得KB=8,KC=6,CP2=2,可得点P2的坐标为(5,-2)。
②当AF=AP时(如图3),点P与点C重合,此时,点P的坐标为(5,-4)。
③当AF=FP时(如图3),
设CP=m,可得m2+42=62+22,得m=[26],得点P的坐标为(5,[26]-4)。
图3
所以,点P的坐标为(3,[-43])或(5,
-2)或(5,-4)或(5,[26]-4)。
(3)存在。
由(1)得y=x2-2x-3。
由于点Q在∠EMC的平分线上,即点Q到x轴和直线CD的距离相等。
令-(x2-2x-3)=5-x(x≥5时,不合题意),即x2-3x+2=0。
解得x=1或x=2。
所以点Q的坐标分别为(1,-4),(2,-3)。
【点评】本题是二次函数的综合题型,其中涉及的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式、等腰三角形的性质、相似三角形、勾股定理、角平分线的判定等,综合性较强。运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键。
总之,二次函数知识点较多,解题策略错综复杂,我们必须在平时解题中总结方法,真正达到“做一题,通一片”的效果。
(作者單位:江苏省溧水高级中学附属初级中学)
下面结合具体例题谈谈二次函数的解题策略。
一、确定函数解析式
例1 已知二次函数的图像经过点(2,0)、(-4,0)、(-1,9),求此函数的解析式。
【解析】方法一:待定系数法。设函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),将点(2,0)、(-4,0)、(-1,9)代入可求得y=-x2-2x+8。
方法二:交点式法。设函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),将点(2,0)、(-4,0)代入得y=a(x-2)(x+4),再将点(-1,9)代入可求得y=-(x-2)(x+4)。
方法三:顶点式法。由函数图像经过点(2,0)、(-4,0)可得函数图像的对称轴为直线x=-1,从而得到点(-1,9)就是函数图像的顶点,于是设y=a(x+1)2+9,再将点(2,0)或(-4,0)代入得:y=-(x+1)2+9。
【点评】二次函数解析式可以通过待定系数法、交点式法、顶点式法等多种方法来解决,解题时选择适当的方法会达到事半功倍的效果。
二、函数图像与性质
例2 已知二次函数y=2(x-1)(x-m-3)(m为常数)。
(1)求证:不论m为何值,该函数的图像与x轴总有公共点;
(2)当m取什么值时,该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方?
【解析】(1)方法一:根的判别式法。看到“二次函数的图像与x轴总有公共点”的个数问题自然联想到计算“b2-4ac=4m2+16m+16=4(m+2)2”,所以不论m为何值,关于x的一元二次方程2(x-1)(x-m-3)=0总有实数根,进而判断二次函数的图像与x軸总有公共点。
方法二:交点式法。要求二次函数y=2(x-1)(x-m-3)(m为常数)的图像与x轴的公共点个数问题,即求关于x的一元二次方程2(x-1)(x-m-3)=0(m为常数)的实数根的问题,此题很显然得到方程的解x1=1,x2=m+3。当m+3=1,即m=-2时,方程有两个相等的实数根;当m+3≠1,即m≠-2时,方程有两个不相等的实数根。故不论m为何值,该函数的图像与x轴总有公共点。
而有些问题需要通过变形才能得到交点式,如:
已知二次函数y=a(x-m)2-a(x-m)(a、m为常数,且a≠0)。
求证:不论a与m为何值,该函数的图像与x轴总有两个公共点。
此时若用根的判别式的方法进行证明就显得比较麻烦,而若想得到二次函数的交点式,此题计算就比较简单:y=a(x-m)2-a(x-m)=a(x-m)(x-m-1)。
(2)由题意得:只需求出图像与y轴的交点的纵坐标即可。即当x=0时,y=2(x-1)(x-m-3)=2m+6,所以该函数的图像与y轴交点的纵坐标为2m+6,故当2m+6>0,即m>-3时,该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方。
【点评】二次函数图像与x轴交点个数问题可以转化为一元二次方程的根的个数问题,从而可以用“根的判别式”这一通性通法加以解决,而有些题目也可从“形”的角度(函数的图像)来解决。如:
已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数)。
求证:不论m为何值,该函数的图像与x轴没有公共点。
由于y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3,
又a=1>0,函数图像开口向上,当x=m时,y最小值=3。
所以不论m为何值,该函数的图像与x轴没有公共点。
三、函数的实际应用
例3 某商品的进价是每件40元,原售价每件60元。在进行不同程度的涨价后,统计了商品调价当天的售价和利润情况,以下是部分数据:
[售价(元/件) 60 61 62 63 … 利润(元) 6000 6090 6160 6210 … ]
(1)当售价为每件60元时,当天可售出 件;
当售价为每件61元时,当天可售出 件。
(2)若对该商品原售价每件涨价x元(x为正整数)时,当天售出该商品的利润为y元。
①用所学过的函数知识直接写出y与x满足的函数表达式: 。
②如何定价才能使当天的销售利润不低于6200元?
【解析】(1)根据“销售量=总利润÷每件利润”可得:当售价为每件60元时,当天可售出300件;当售价为每件61元时,当天可售出290件。
(2)①根据“总利润=每件利润×销售量”可得:
y=(60-40+x)(300-10x)=-10x2+100x+6000=-10(x-5)2+6250。
②题目要求使当天的销售利润不低于6200元,即y≥6200,当y=6200时,
-10(x-5)2+6250=6200。
解得x1=5-[5],x2=5+[5]。
由-10<0,得该二次函数的图像开口向下。
所以当y≥6200时,5-[5]≤x≤5+[5]。
即当y≥6200时,3≤x≤7(x为正整数)。
故定价为:63,64,65,66,67。
【点评】该题利用了二次函数模型进行解决。函数是解决实际问题的有效模型,利用二次函数解决实际问题往往经历:找到题目中的两个变量;寻找变量之间的等量关系;依据变量之间的等量关系列出函数关系式;利用配方等方法求出顶点进而求出最值;回到实际问题进行检验。 四、函数的几何应用
例4 如图1,已知矩形ABCD中,A(3,2),B(3,-4),C(5,-4),点E是直线AB与x轴的交点,抛物线y=ax2+bx-3过点E,且顶点F的横坐标为1,点M是直线CD与x轴的交点。
图1
(1)求a,b的值。
(2)请你探索在矩形ABCD的四条边上,是否存在点P,使得三角形AFP是等腰三角形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由。
(3)抛物线上是否存在点Q在∠EMC的平分线上?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由。
【解析】(1)由题意得E(3,0),[-b2a]=1,
由[9a+3b-3=0,b+2a=0,]得[a=1,b=-2。]所以a=1,b=-2。
(2)要使三角形AFP是等腰三角形,只要两条边相等,故分为PA=PF,AF=AP,AF=FP三种情况:
①当PA=PF时(如图2),点P在线段AF的垂直平分线上。
(i)方法一:设P1是线段AF的垂直平分线与AB的交点,
设BP1=x,由FP12=AP12可得x2+22=(6-x)2,得x=[83],
得点P1的坐标为(3,[-43])。
图2
方法二:设H是线段AF的垂直平分线与AF的交点,
由△AHP1∽△ABF可得AP1=[103],
可得点P1的坐标为(3,[-43])。
(ii)方法一:设P2是线段AF的垂直平分线与CD的交点,
设CP2=y,由FP22=AP22可得y2+42=(6-y)2+22,得y=2,
得点P2的坐标为(5,-2)。
方法二:设K是线段AF的垂直平分线与FC的延长线的交点,
由△KBP1∽△ABF可得KB=8,KC=6,CP2=2,可得点P2的坐标为(5,-2)。
②当AF=AP时(如图3),点P与点C重合,此时,点P的坐标为(5,-4)。
③当AF=FP时(如图3),
设CP=m,可得m2+42=62+22,得m=[26],得点P的坐标为(5,[26]-4)。
图3
所以,点P的坐标为(3,[-43])或(5,
-2)或(5,-4)或(5,[26]-4)。
(3)存在。
由(1)得y=x2-2x-3。
由于点Q在∠EMC的平分线上,即点Q到x轴和直线CD的距离相等。
令-(x2-2x-3)=5-x(x≥5时,不合题意),即x2-3x+2=0。
解得x=1或x=2。
所以点Q的坐标分别为(1,-4),(2,-3)。
【点评】本题是二次函数的综合题型,其中涉及的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式、等腰三角形的性质、相似三角形、勾股定理、角平分线的判定等,综合性较强。运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键。
总之,二次函数知识点较多,解题策略错综复杂,我们必须在平时解题中总结方法,真正达到“做一题,通一片”的效果。
(作者單位:江苏省溧水高级中学附属初级中学)