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【摘要】足坛打假球时常发生，有些打假球的负面影响非常严重，引起一种重要的社会关系的紊乱，造成了一定程度的社会危害。从博弈论知识出发，建立一个执法机构与球员博弈均衡，来找出球员打假球率不低的原因，并试图从制度建构方面对执法机构提出禁止打假球建议。
【关键词】打假球 博弈模型 混合策略 纳什均衡
关于博弈论的文献回顾
纳什在1950年和1951年发表了两篇关于非合作博弈的重要文章，提出了“纳什均衡”的概念，以及证明纳什均衡存在的纳什定理，奠定了现代博弈论学科体系的基础，这个时期的博弈论研究主要集中在对静态博弈模型的研究。20世纪50年代中后期到70年代是博弈论产生重要成果的阶段。泽尔腾将纳什均衡的概念引入了动态分析，提出了“多步对策”，“子博弈完美纳什均衡”和“颤抖均衡”的概念，并发展了倒推归纳法等分析方法。豪尔绍尼开创了不完全信息对策研究的新领地，提出了“贝叶斯纳什均衡”的概念和分析不完全信息博弈问题的标准方法，初步运用随机分析方法解决信息不完全和不对称问题。20世纪80年代以后，博弈论开始走向成熟，理论框架逐渐完整和清晰，和其他学科之间的关系也逐渐深入，并开始受到经济学家真正的重视，特别是90年代以来博弈论领域的经济学家已经三次获得经济学诺贝尔奖，该理论已经对经济学产生重大的影响。本文的研究以混合策略的纳什均衡为基础。
混合战略纳什均衡模型
在模型建立之初，为了分析的精确和方便，我们需要建立几个假定条件：
Α：假定一个球员选择打假球给他带来的效用要大于不打假球给他带来的效用，及打假球是球员的理性择。如果用U*表示打假球给球员带来的效用，用U1代表不打假球给他带来的效用，那么：U*＞U1，以下球员类型都符合这个假定，即所有其他球员和这个典型球员同质。
B：假定监督机构是在每场球赛结束后决定是否要调查球员打球否。根据假定，监督机构做出调查与否的决策只受球赛结果的影响。这样，一个典型球员与监督机构是同时在完全信息下（双方都知道对方要采取的纯战略）对打假球否和调不调查做出决策，球员与监督机构之间的博弈就可以用以下混合战略纳什均衡模型来描述。
在这场博弈中，参与人分别是监督机构和一个典型球员，监督机构的纯战略选择是调查或不调查，球员的纯战略选择是打假球或不打假球。下表概括了对应不同的纯战略组合，球员和监督机构的支付矩阵。其中A代表球员打假球得到的额外收益，C代表调查给监督机构带来的效用损失（即调查成本），F为监督机构对打假球的球员的惩罚，并且还没收球员的非法所得A。这里假定C＜A F，在这个假设前提下，从该典型球员角度出发，打假球与不打假球哪个是最优解，取决于监督机构调查与否。若监督机构调查，则不打假球是最优的（0＞﹣A－F）；若监督机构不调查，打假球就是最优的（A＞0）。从监督机构角度看，调查与不调查哪个是最优解同样取决于球员打假球否，若不打假球，则不调查是监督机构最优解（0＞－C），否则应该调查（A－C F＞0。根据上述假设，双方的得益矩阵如表1所示。得益矩阵中各得益数组的第一个数字是监督机构的得益，第二个数字是球员的得益。这是一个非对称的非零和博弈。
利用划线法在上图中划线，根据表1得益数字下所划短线和箭头的方向很容易判断，这个博弈不存在纯策略纳什均衡。囚为假设监督机构选择“调查”的策略，那么对球员来说最好的策略是选择“不打假球”；但当球员选择“不打假球”时，监督机构的正确策略是“不调查”；既然监督机构“不调查”，当然球员选择“打假球”比较合算；而球员“打假球”时，监督机构就要“调查”……如此循环。没有一个组合构成纯策略的纳什均衡。
本博弈中两博弈方决策的第一个原则是不能让对方知道或猜到自己的选择，因而必须在决策时利用随机性；第二个原则是他们选择每种策略的概率一定要恰好使对方无机可乘，即让对方无法通过针对性地倾向某策略而在博弈中占上风。但是，考虑监督机构和球员随机选择不同策略的概率分布，则该博弈存在一个混合策略的纳什均衡。采用图解分析，先讨论球员采取“打假球”与“不打假球”的混合策略概率分布。
横轴表示球员选择“打假球”的概率Pg，它分布在0到1之间，“不打假球”的概率则等于1-Pg。纵轴则反映对应于球员“打假球”的不同概率，监管机构选择“调查”策略的期望得益。图中从-C到-C F A连线的纵坐标就是在横坐标对应的球员“打假球”概率下，监管机构选择“调查”的期望得益。容易说明该线与横轴的交点Pg*就是球员选择“打假球”时概率的最佳水平，选择“不打假球”的最佳概率则为1-Pg*。从-C到-C F A连线上每一点的纵坐标，就是在球员选择该点横坐标表示的“打假球”概率时，监管机构选择“调查”策略的期望得益为-C（1-Pg*） （-C F A）Pg*。如果球员“打假球”的概率小于Pg*，则监管机构“调查”的期望得益小于0，因此监管机构选择“不调查”是合算的，此时球员提高一些“打假球”的概率即“打假球”的频率更高一些，只要不大于Pg*，监管机构都会选择“不调查”，因此球员“打假球”不用害怕会被抓住，在此前提下，“打假球”的概率越大收获越大，那么使“打假球”的概率趋向于Pg*，均衡点是球员以概率Pg*和1-Pg*，分别选择“不打假球”和“打假球”。此时，监管机构“调查”和“不调查”的期望得益都等于0，选择纯策略“调查”和“不调查”或混合策略的期望得益都是相同的。不过，事实上为了让球员没有可乘之机，监管机构必须选择特定概率分布的混合策略。
监管机构采取“调查”与“不调查”的混合策略概率分布，也采用同上的方法来确定。如图2，Pt*和1-Pt*是监管机构的最佳概率选择。
假如监管机构为了抑制球员打假球而加重对球员的惩罚，对球员的惩罚加重会使得P减小，在图1中，这相当于-C F A向上移动到（-C F A），监管机构的得益会增大，因此监管机构肯定要调查，在长期中，球员就会减少打假球，最终球员将打假球的概率降低到Pg*，达到新的均衡，而此时监管机构“调查”的期望利益又恢复到0，他也会重新选择混合策略。因此，监管机构加重对球员的惩罚在长期中能抑制打假球。
结论与对策
加强监管，建立科学的奖征机制。通过模型分析发现，监管力度是降低球员打假球的概率的重要影响因素。监管机构可以采取道德劝告、警告、通报批评、罚款等负激励的方式，以及通报表扬、物质奖励、精神鼓励等正激励的方式。同时，兼顾监督机构的利益，把握监管力度，确保监管力度C在合理的空间范围，只有建立科学有效的奖惩机制，才能引导球员积极踢球。
行政处罚和刑法处罚相结合。球员打假球和赌球不是孤立的，而是与俱乐部高层等有着密切的联系。俱乐部以公司的形式运作，以营利为目的，比赛的输赢关乎俱乐部的利润、赞助商的潜在利益。俱乐部为了牟取暴利，会不择手段，置观众利益于不顾，置球迷情感于度外。“假球风波”后，中国足协也作出一定的努力，但由于足协只是一个行业管理机构，没有国家权力作后盾，无法采取强制措施，没有强有力的司法支持，最终无法解决“假球”问题。从“博斯曼转会风波”到有关“欧洲超级联赛”的争论，最后都是通过法律解决。
足协是一种行业管理机构，俱乐部以遵守足协规章制度为前提自愿加入，成为足协的一个成员。当出现打假球现象时，虽然足协没有司法人员那样的法定义务，但足协可依规章制度作出处罚，甚至可以将俱乐部开除出足协。其次，“足球运动管理中心”依其具体规章作出行政处罚。当围绕假球的种种行为触犯刑法，需受刑罚处罚时，依法移交司法机关，由法律来来解决。因此，几种处罚手段相结合，加大处罚力度可以有效地解决打假球行为。（作者单位分别为：黔东南民族职业技术学院；西南财经大学）
【关键词】打假球 博弈模型 混合策略 纳什均衡
关于博弈论的文献回顾
纳什在1950年和1951年发表了两篇关于非合作博弈的重要文章，提出了“纳什均衡”的概念，以及证明纳什均衡存在的纳什定理，奠定了现代博弈论学科体系的基础，这个时期的博弈论研究主要集中在对静态博弈模型的研究。20世纪50年代中后期到70年代是博弈论产生重要成果的阶段。泽尔腾将纳什均衡的概念引入了动态分析，提出了“多步对策”，“子博弈完美纳什均衡”和“颤抖均衡”的概念，并发展了倒推归纳法等分析方法。豪尔绍尼开创了不完全信息对策研究的新领地，提出了“贝叶斯纳什均衡”的概念和分析不完全信息博弈问题的标准方法，初步运用随机分析方法解决信息不完全和不对称问题。20世纪80年代以后，博弈论开始走向成熟，理论框架逐渐完整和清晰，和其他学科之间的关系也逐渐深入，并开始受到经济学家真正的重视，特别是90年代以来博弈论领域的经济学家已经三次获得经济学诺贝尔奖，该理论已经对经济学产生重大的影响。本文的研究以混合策略的纳什均衡为基础。
混合战略纳什均衡模型
在模型建立之初，为了分析的精确和方便，我们需要建立几个假定条件：
Α：假定一个球员选择打假球给他带来的效用要大于不打假球给他带来的效用，及打假球是球员的理性择。如果用U*表示打假球给球员带来的效用，用U1代表不打假球给他带来的效用，那么：U*＞U1，以下球员类型都符合这个假定，即所有其他球员和这个典型球员同质。
B：假定监督机构是在每场球赛结束后决定是否要调查球员打球否。根据假定，监督机构做出调查与否的决策只受球赛结果的影响。这样，一个典型球员与监督机构是同时在完全信息下（双方都知道对方要采取的纯战略）对打假球否和调不调查做出决策，球员与监督机构之间的博弈就可以用以下混合战略纳什均衡模型来描述。
在这场博弈中，参与人分别是监督机构和一个典型球员，监督机构的纯战略选择是调查或不调查，球员的纯战略选择是打假球或不打假球。下表概括了对应不同的纯战略组合，球员和监督机构的支付矩阵。其中A代表球员打假球得到的额外收益，C代表调查给监督机构带来的效用损失（即调查成本），F为监督机构对打假球的球员的惩罚，并且还没收球员的非法所得A。这里假定C＜A F，在这个假设前提下，从该典型球员角度出发，打假球与不打假球哪个是最优解，取决于监督机构调查与否。若监督机构调查，则不打假球是最优的（0＞﹣A－F）；若监督机构不调查，打假球就是最优的（A＞0）。从监督机构角度看，调查与不调查哪个是最优解同样取决于球员打假球否，若不打假球，则不调查是监督机构最优解（0＞－C），否则应该调查（A－C F＞0。根据上述假设，双方的得益矩阵如表1所示。得益矩阵中各得益数组的第一个数字是监督机构的得益，第二个数字是球员的得益。这是一个非对称的非零和博弈。
利用划线法在上图中划线，根据表1得益数字下所划短线和箭头的方向很容易判断，这个博弈不存在纯策略纳什均衡。囚为假设监督机构选择“调查”的策略，那么对球员来说最好的策略是选择“不打假球”；但当球员选择“不打假球”时，监督机构的正确策略是“不调查”；既然监督机构“不调查”，当然球员选择“打假球”比较合算；而球员“打假球”时，监督机构就要“调查”……如此循环。没有一个组合构成纯策略的纳什均衡。
本博弈中两博弈方决策的第一个原则是不能让对方知道或猜到自己的选择，因而必须在决策时利用随机性；第二个原则是他们选择每种策略的概率一定要恰好使对方无机可乘，即让对方无法通过针对性地倾向某策略而在博弈中占上风。但是，考虑监督机构和球员随机选择不同策略的概率分布，则该博弈存在一个混合策略的纳什均衡。采用图解分析，先讨论球员采取“打假球”与“不打假球”的混合策略概率分布。
横轴表示球员选择“打假球”的概率Pg，它分布在0到1之间，“不打假球”的概率则等于1-Pg。纵轴则反映对应于球员“打假球”的不同概率，监管机构选择“调查”策略的期望得益。图中从-C到-C F A连线的纵坐标就是在横坐标对应的球员“打假球”概率下，监管机构选择“调查”的期望得益。容易说明该线与横轴的交点Pg*就是球员选择“打假球”时概率的最佳水平，选择“不打假球”的最佳概率则为1-Pg*。从-C到-C F A连线上每一点的纵坐标，就是在球员选择该点横坐标表示的“打假球”概率时，监管机构选择“调查”策略的期望得益为-C（1-Pg*） （-C F A）Pg*。如果球员“打假球”的概率小于Pg*，则监管机构“调查”的期望得益小于0，因此监管机构选择“不调查”是合算的，此时球员提高一些“打假球”的概率即“打假球”的频率更高一些，只要不大于Pg*，监管机构都会选择“不调查”，因此球员“打假球”不用害怕会被抓住，在此前提下，“打假球”的概率越大收获越大，那么使“打假球”的概率趋向于Pg*，均衡点是球员以概率Pg*和1-Pg*，分别选择“不打假球”和“打假球”。此时，监管机构“调查”和“不调查”的期望得益都等于0，选择纯策略“调查”和“不调查”或混合策略的期望得益都是相同的。不过，事实上为了让球员没有可乘之机，监管机构必须选择特定概率分布的混合策略。
监管机构采取“调查”与“不调查”的混合策略概率分布，也采用同上的方法来确定。如图2，Pt*和1-Pt*是监管机构的最佳概率选择。
假如监管机构为了抑制球员打假球而加重对球员的惩罚，对球员的惩罚加重会使得P减小，在图1中，这相当于-C F A向上移动到（-C F A），监管机构的得益会增大，因此监管机构肯定要调查，在长期中，球员就会减少打假球，最终球员将打假球的概率降低到Pg*，达到新的均衡，而此时监管机构“调查”的期望利益又恢复到0，他也会重新选择混合策略。因此，监管机构加重对球员的惩罚在长期中能抑制打假球。
结论与对策
加强监管，建立科学的奖征机制。通过模型分析发现，监管力度是降低球员打假球的概率的重要影响因素。监管机构可以采取道德劝告、警告、通报批评、罚款等负激励的方式，以及通报表扬、物质奖励、精神鼓励等正激励的方式。同时，兼顾监督机构的利益，把握监管力度，确保监管力度C在合理的空间范围，只有建立科学有效的奖惩机制，才能引导球员积极踢球。
行政处罚和刑法处罚相结合。球员打假球和赌球不是孤立的，而是与俱乐部高层等有着密切的联系。俱乐部以公司的形式运作，以营利为目的，比赛的输赢关乎俱乐部的利润、赞助商的潜在利益。俱乐部为了牟取暴利，会不择手段，置观众利益于不顾，置球迷情感于度外。“假球风波”后，中国足协也作出一定的努力，但由于足协只是一个行业管理机构，没有国家权力作后盾，无法采取强制措施，没有强有力的司法支持，最终无法解决“假球”问题。从“博斯曼转会风波”到有关“欧洲超级联赛”的争论，最后都是通过法律解决。
足协是一种行业管理机构，俱乐部以遵守足协规章制度为前提自愿加入，成为足协的一个成员。当出现打假球现象时，虽然足协没有司法人员那样的法定义务，但足协可依规章制度作出处罚，甚至可以将俱乐部开除出足协。其次，“足球运动管理中心”依其具体规章作出行政处罚。当围绕假球的种种行为触犯刑法，需受刑罚处罚时，依法移交司法机关，由法律来来解决。因此，几种处罚手段相结合，加大处罚力度可以有效地解决打假球行为。（作者单位分别为：黔东南民族职业技术学院；西南财经大学）