【中图分类号】G638.3 【文章标识码】B 【文章编号】1326-3587（2011）06-0042-01
　　
　　
　　求满足条件的动点的轨迹方程，是解析几何的常见问题，大部分同学很容易忽视求出的方程要满足完备性和纯粹性，在这实际解题中也不太会讨论，下面给出了求出点的轨迹方程后去“杂”堵“漏”的几种常见情况。
　　一、利用三角形的顶点不共线去“杂”
　　例1如图一、已知点A（－a，0），B（a，0），若△MAB是以点M为直角顶点的直角三角形，求顶点M的轨迹方程。
　　解：设M（x，y），依题意得|MA|2＋|MB|2＝|AB|2
　　∴（ ）2＋（ ）2＝（2a）2，化简得x2＋y2＝a2。∵△MAB的顶点M、A、B不共线，∴ M不能在x轴上。∴x≠0，故点M的轨迹方程为x2＋y2＝a2（x≠0）。
　　二、利用直线的斜率必须存在去“杂”
　　例2如图二、已知点A（－1，0），B（1，0），动点P使直线PA和PB的斜率之积为－2，求动点P的轨迹方程。
　　解：设P（x，y），则kPA＝ ＝ ，kPB＝ ＝ ，∴ • ＝－2，化简得2x2＋y2＝2，∵直线PA和PB的斜率存在，∴x≠±1。故点P的轨迹方程为2x2＋y2＝2，（x≠±1）。
　　三、利用点所在的区域范围去“杂”
　　例3如图三、已知点A、B分别在x、y轴的正半轴上运动，且|AB|＝2a（a＞0），求AB中点M的轨迹方程。
　　解：设M（x，y），由中点坐标公式得A（2x，0），B（0，2y）∴ ＝2a，化简得x2＋y2＝a2。
　　∵点A、B分别在x、y轴的正半轴上，∴点M在第一象限即x＞0，y＞0，故点M的轨迹方程为x2＋y2＝a2（x＞0且y＞0）。
　　四、根据条件解不等式去“杂”
　　例4如图四、△ABC中，已知B（1，0），C（5，0），A点在x轴上方，且tanB＋tanC＝4，求顶点A的轨迹方程。
　　解：设A（x，y），则tanB＝kAB＝ ，tanC＝－kAC＝－ 。∴ ＋（－ ）＝4，化简得y＝－x2＋6x－5，∵ A点在x轴上方，∴ y＞0。即－x2＋6x－5＞0解得1＜x＜5。故顶点A的轨迹方程为y＝－x2＋6x－5（1＜x＜5）。
　　五、讨论点的特殊位置堵“漏”
　　例5如图五、已知点B（－1，0），C（1，0），动点A使得∠BAC＝135°，求点A的轨迹方程。
　　解：设A（x，y），则kAB＝ kAC＝ ，当点A在x轴上方时，直线AB到AC的角为135°。
　　∴tan135°＝ ＝ ＝－1，化简得x2＋y2＋2y－1＝0，当点A在x轴下方时，直线AC到AB的角为135°。
　　∴tan135°＝ ＝ ＝－1，化简得x2＋y2－2y－1＝0。
　　故点A的轨迹方程为x2＋y2＋2y－1＝0（y＞0）或x2＋y2－2y－1＝0（y＜0），简析：本题需要对点A的位置进行讨论，才能避免漏掉一种情况。
　　六、讨论直线斜率不存在堵“漏”
　　例6如图六、△ABC中，已知B（－1，0），C（1，0），点A在第三象限，且∠B－∠C＝45°，求顶点A的轨迹方程
　　解：设A（x，y），（x＜0，y＜0）
　　则tanB＝－kAB＝－ （x≠－1），tanC＝kAC＝ ，由∠B－∠C＝45°，得tan（B－C）＝tan45°
　　∴tan（B－C）＝ = =1
　　化简得x2－y2－2xy－1＝0，当x＝－1时，∠B＝90°，由∠B－∠C＝45°，得∠C＝45°，此时△ABC为等腰直角三角形，A的坐标为（－1，－2），符合题意，但不满足方程x2－y2－2xy－1＝0。故点A的轨迹方程为x2－y2－2xy－1＝0（x＜0，y＜0，x≠－1）和点（－1，－2）。
　　
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