摘要：本文通过具体实例，来加强学生在微积分学习中对概念的理解，进而培养学生的创造精神、提高学生纵向思维的能力。
　　关键词：应用 反例 微积分 高等数学微积分是高等数学的主要部分，它是我院高职一年级学生必修的一门重要基础课程。它可以为学生学习后继课程和解决实际问题提供必要的数学基础。通过各个教学环节，可以逐步培养学生比较熟练的运算能力，综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力，初步抽象概括能力、自觉力图经及一定的逻辑推理能力，我院根据各专业的实际需要，对数学教学的基本要求是“以应用为目的，以必须够用”为原则，以“强化概念理解，注重应用计算为依据，对微积分中的重要性质、定理、公式只作介绍，侧重于应用计算，不做证明与推导，在数学教学中，常会遇到一些值得思考的问题，对它们不可能在教材中进行详细讨论，但要弄清楚这些问题，对提高学生的纵向思维却极其重要，这就要求思考者具有高超的分析思维能力。通过应用反例直入主题，切重要害，它能起到事半功倍的作用，很受学生欢迎。本文围绕高等数学中的重要分支微积分中的连续性、可微性和可积性进行具体探讨反例在微积分教学中的作用。
　　一、两个无穷小的商一定是无穷小吗？
　　在无穷小性质的教学中，根据性质有一条推论：有限个无穷小量的乘积一定是无穷小量。学生在学习这一问题时常会问：两个无穷小量的商一定是无穷小量吗？对于这一结论大部分同学认为是正确的。不妨举一个反例：
　　如： =0， =0都是无穷小量，而 （第一个重要极限），显然，两个无穷小量的商不一定是无穷小量，也就得出了两个无穷小量的商不一定是无穷小量的结论。
　　二、最大值与最小值定理中条件改变一定还存在最大值与最小值吗？
　　最大值与最小值定理的内容是闭区间[a，b]上连续函数一定存在最大值与最小值（据团区间上的连续函数的性质）。
　　1、在定理中，如果将闭区间[a，b]改为开区间（a，b），那么结论不一定成立。
　　如求f（x）=x在区间（2，4）上的最大值与最小值。
　　显然函数f（x）=x在开区间（2，4）上连续，且在该区间内单调增加，所以函数的最大值与最小值应在区间的两端点处取得，而函数在两端点处无定义，所以f（x）=x在开区间（2，4）上不能取得最大值与最小值。
　　2、在定理中，如果闭区间[a，b]内存在间断点，结论不一定成立
　　如
　　f（x）=
　　考虑函数f（x）在闭区间[0，2]上的最大值与最小值
　　因为
　　即 不存在，即在闭区间[0，2]上有间断点且x=1是第一类跳跃间断点，所以f（x）在[0，2]上不能取得最大值与最小值。
　　三、函数在闭区间上有原函数一定可积吗？
　　在积分学中，微积分基本公式即牛顿-莱布尼兹公式是个十分重要的公式，它将不定积分与定积分巧妙的结合起来，它揭示了定积分被积函数的原函数（不定积分）之间的联系。给定积分的计算提供了一个很好的计算方法，简化了定积分的计算。
　　上述公式是学生记忆中的公式，F（x）是连续函数f（x）在[a，b]上的一个原函数，这样使定积分的计算转化成了求被积函数一个原函数的问题。因学生容易忽视f（x）连续的条件，认为在应用此公式时f（x）连续的条件是多余的。
　　定义函数如下：
　　首先证明，这个函数存在原函数，我们指出，下面这个函数就是它的原函数：
　　为此目的，只需证明 对任何x∈[0，1]成立，而0　　现在来考虑 的定积分是否存在，其实容易看出它在闭区间[0，1]无界，因为任意 ，函数 在区间（0， ）无界，在这个区间上， 是无穷小量和有界量的乘积，是无穷小量，但 这一项却是在正无穷与负无穷之间反复振动的量，例如取 ，则其值为 ，但若取 ，则其值为 ，只要n充分大，便可使 ，同时 却可以大于任何预先给定的正数。这就是说，任意 ，函数 在区间（0， ）无界，从而在闭区间[0，1]无界，而我们知道闭区间上的无界函数是不可积的，所以 的定积分不存在。
　　综合上面的结果，函数在闭区间上存在定积分与存在原函数没有必然联系。
　　在微积分教学中，反例的试举已成为提高教学质量的重要一环。它对培养学生的数学思维能力方面的作用是非常显著的，它不仅是有助于学生纵向思维的培养，尤其对培养和发展横向的思维能力具有不可缺少的作用。“反例教学”要求学生开放式思考问题，激发他们的想象与联想，让他们学会从不同的角度不同的层次上多方位地洞察具体问题，鼓励他们敢于大胆地想出新的观点，新的思路，新的问题。这对于培养他们分析和解决问题的能力是十分有益的。