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【摘要】本文旨在对现行中学教材中的一般递推数列进行研究，用二阶线性递推的理论探讨其求数列通项及数列和的一般方法。
【关键词】二阶线性递推数列；齐次式；特征方程；特征根Of the second-order linear recursion (push) the theory of series and its application
Zong Yumei
【Abstract】The purpose of this paper to the existing secondary school textbook series of the general recursive study, using the theory of second-order linear recursive order to investigate the series, and several passed out and the general approach.
【Key words】second-order linear recursive sequence; homogeneous type; characteristic equation; eigenvalue1 关于递推数列的通项问题
对于数列a1,a2,a3……,an……(1)
如果存在两个固定的数(实数或复数)p1p2使对任意n都有
an＝２+p1an+1+p2an=0(2)
则称数列(1)为二阶线性递推数列。
我们知道，如果要求出数列（１）,只需知道前两项即a1，a2再根据(2）式可求出a3,同理可求出a4,a5……从而可以找到an的表达。满足以下两个条件：
（1）当n=1,2,3,……k,得a1，a2，a3，……ak；
（2）对任意n，由该表达式可以得到数列(1)的项，则这个表达式就解决了符合(2）式的数列(1）的问题。
除此之外，如果存在n和2个常数c1和c2的函数：an＝f（n，c1，c2）而两个常数满足方程：
f（1，c1，c2）＝a1
f（2，c1，c2）=a2
那末，也就找到了an的一般表达式。
设方程(2)的解型为 an=xn
那末x满足方程x2+p1x+p2=0(该方程称为数列的特征方程)
如果特征方程没有重根，则一般表达式为
an=c1xn1+c2xn2(3)
如果特征方程有重根，则一般表达式为
an＝（c1＋c2•n）xn(4)
例1，已知an＋2－5an＋1＋6an＝0,a1=1,a2=-7,求an的表达式
解：设an的解型为
an=xn
则有特征议程 x2－5x＋6＝0 x1＝2，x2＝3
所以an的一般表达式为 an＝c1×2n+c2×3n
由初始条件a1=1,a2=-7
f（1，c1，c2）＝c1×2＋c2×3＝a1＝1
f(2,c1,c2)=c1×22+c2×32=a2=-7 得c1=5
c2=-3
故an＝5×2n－3n＋1
理论上特征方程(无重根情况)为什么为an=c1xn1+c2xn2的证明略！
例2 已知数列an对于任意n都有
an＋2－6an＋1＋9an＝0 且a1＝3，a2＝0。求an的表达式
解:假设an的解型为an＝xn 其特征方程为
x2－6x＋9＝0
x1＝x2＝3有重根，级数的解型为an＝（c1＋c2×n）3n
f（1，c1，c2）＝（c1＋c2）×3＝3
f(2,c1,c2)=（c1+c2×2）×9=0 得c1=2
c2=-1
所以an=(2-n)×3n
以上的例题都有一个特点，均是标准二阶线性递推的数列。下面就介绍一下非二阶线性递推数列(但可化成二阶线性递推数列的一些数列)，这些数列一般都要通过一些特殊的技巧(这里介绍5种技巧，是起抛砖引玉的目的，希望各位老师挖掘出更好的方法和技巧）。
例3 已知an+2-5an+1+6an=4 a1=2,a2=6求数列的通项。
解:法一 an＝bn＋a（此法：做替换×1加常数替换)a为常数
则(bn＋2＋a）－5（bn＋1＋a）＋6（bn＋a）＝4
bn＋2－5bn＋1＋6bn＋（a－5a+6a)4 （选择适当的a）
使a-5a+6a=4 a=2 但注意｛bn｝的初始条件(因an=bn+a)
所以bn＋2－5bn+1+6bn=0 由例1可知
bn＝c12n＋c23n得an＝c12n＋c23n＋2
c1×2＋c2×3＝2
c1×22＋c2×32＝6 得 c1=-2
c2=43
故 an=-2×2n×433n+2
=22×3n-1-2n+1+2
注：如果an＋2＋p1an＋1＋p2an＝c 且上式的系数代数和为0
(例)an＋2＋5an＋1－6an＋4 则用加常数替换法无效
因为同上ban＋2＋5bn＋1－6bn＋（a＋5a－6a）＝4
a＋5a－6a＝0d≠4 故此法无效。
法二(可用再递推一次法)下面就介绍再递推一次法
例4 已知an＋1－an＝3n a1＝1
解：法一(因为该题an＋1与an的余数比是1∶（－1）所以是最容易的一种递推数列)
由于1，32，33，……，3n组成的数列显然是一个等比数列
其和 Sn＝3（3n－1）3－1＝32（3n－1）
再 a2－a1＝31
a3－a2＝32
……
an+1-an=3n
an+1-a1=32(3n-1) 所以an＋1＝32（3n－1）＋1
故an＝32（3n－1－1）＋1
法二，再递推一次法 由于对于任意n
均成立an＋1－an＝3n（1）
所以an＋2－an＋1＝3n＋1(2)
（2）－3×（1） 故an＋2－4an＋1＋3an＝0
特征方程为x2－4x＋3＝0 x1＝1，x2＝3
级数解型 an＝c1×1n＋c2×3n
f（1，c1，c2）＝c1＋c2×3＝a1＝1
f（2，c1，c2）＝c1＋c2×32＝3＋a1＝4 所以c1＝－12
c2＝12
故an＝32（3n－1）＋1
再回到例3，用再递推一次法
法二由于关系式an＋2－5an＋1＋6an＝4 对于任意n成立
所以an＋3－5an＋2＋6an＋1＝4（1）
an＋2－5an＋1＋6an＝4（2）
（1）－（2）an＋3－6an＋2＋11an＋1－6an＝0（3）
(3)的特征方程是
x3－6x2＋11x－6＝0
（x3－x2）－5（x2-x)+(6x-1)=0
（x-1）（x2-5x+6）=0
（x-1—）（x-2）（x-3）=0
故x1＝1，x2＝2，x3＝3 （不等根)
数列的解型为an＝c1＋c2×2n＋c3×3n
初始值a1＝2，a2＝6
a3＝4＋5×6－6×2＝22
f（1，c1，c2，c3）＝c1＋2c2×3c3＝2
f（2，c1，c2，c3）＝c1＋4c2×9c3＝6
f（2，c1，c2，c3）＝c1＋8c2×27c3＝22 解得c1=2
c2=-2
c3=43
故an=2+(-2)2n+43×3n
即an＝22×3n－1－2n＋1＋2
下面引出一组习题
（一)递归关系式的解法，试给定下列条件求数列的通项公式：
1. a1=1,an=an-11+an+1 (n≥2)
2. a1=1,an=2a2n-1+1 (n≥2)
*3. a1=a2=1,an=an-1-an-22an-1-1 (n≥3)
提示：1.bn=1an ＊3作倒数替换
2. 设bn=a2n
*4. 作平方替换
＊3.借助于猜测求出通项公式并按归纳法证明它。此题难度较大略！
答案：1. an＝1n 2. an＝2n-1 3. an=92{n3}(1-{n3})
(二)递归关系式解法的拓广
1. 求被条件 a1＝a2＝2 an＝an－1×a2n－2（n≥3)所给定的数列通项
公式，＊5. 做对数替换
提示：设bn＝log2an 答案：an＝22n＋（－1）n＋13。
2. 求被条件 a1=12,a2＝13，an＝an－1×an－23an－2－2an－（n≥3）所给定的数列的通项公式
提示：设bn＝1an，答案：an＝11＋2n－1。
（一)1.的详解，因为我们设bn＝1an，an≠0 又an＝an－11＋an＋1中1+an-1≠0(n≥2) 所以an＝1bn代入得1bn=1bn-1bn-1+1bn-1 即得1bn＝1bn－1＋1等式代换，均为既约分数
故bn＝bn－1＋1
法一,∵bn-bn-1=1(n≥2) ∴{bn}为b1＝1 d＝1的等差数列
∴bn＝1＋（n－1）d＝1＋（n－1）＝n ∴an＝1n
法二，用再递归一次的方法
bn＝bn－1＋1(1)
bn＋1＝bn＋1(2)
（2）－（1）bn+1=bn+1
特征方程为x2－2x＋1＝0
x1=x2=1 重根
∴数列的解型为bn＝（c1＋c2•n）n 即bn＝c1＋c2•n
f(1,c1,c2)=c1+c2=1
f(2,c1,c2)=c1+c2×2=2 得c1=0
c2=1 ∴bn+1=n
则an＝1bn 即an＝1n
2. 的详解 ∵a1＝1，an＝2a2n－1＋1，等式右边an>0且右边2a2n－1＋1>0
∴将式两边平方 a2n＋1＝2a2n－1＋1
设bn＝a2n ∴所以上式化为bn＝2bn－1＋1（n≥2）
即bn-2bn-1-1=0(1)
用再递归一次法bn＋1－2bn－1＝0(2)
（2）－（1）bn＋1－3bn＋2bn－1＝0(3)
（3）的特征方程是x2－3x＋2＝0 x1＝1，x2＝2不等式
数列bn的解型：bn=c1=c2•2n
f(1,c1,c2)=c1+c2×2=b1=1
f(2,c1,c2)=c1+c2×4=b2=3 得c1=-1
c2=1
而b2＝a22＝2×a21＋1＝3 故2n-1 则an＝2n－1
（二)1. 的详解：因为a1＝a2＝2 n≥3的情况下，等式右边
an－1×a2n－2≥0 则等式左边an≥0
将等式an=an-1×a2n-2 两边取以2为底的对数,(∵a1=a2=2)
∴log2an=log2an-1+2log2an-2
设 bn＝log2an 则上式变为
bn－bn－1－2bn－2－1＝0 (n≥3）
∴上式的特征方程为x2－2x－2＝0
解得 x1=2,x2=-1
∴bn=c1×2n+c2(-1)n
又b1=b2=log22=1
f(1,c1,c2)=c1×21+c2×(-1)1=1
f(2,c1,c2)=c1×4+c2×(-1)1=1 得c1=13
c2=-13
故bn=22n+(-1）n＋13
∴bn＝log2an
故an＝22n+(-1）n＋13
2. 的详解 设bn=1an(an≠0且n≥3) 则an＝1bn
代入原式 1bn＝13bn－1－2bn－2（为既约分数)
∴bn＝3bn－1－2bn－2 即bn-3bn-1+2bn-2=0
特征方程 x2-3x-2=0
解得 x1＝1，x2＝2
a1＝12，b1＝2 a2＝13，b2＝3
是不等根 ∴bn＝c1＋c2n
f(1,c1,c2)=c1＋C2×2=2
f(2,c1,c2)=c1×4+c2=3 得c1=1
c2=-12
∴bn=1+122n＝1＋2n－1
故 an＝11＋2n-1
参考文献
［1］ 陈景润.组合数学.河南教育出版社，1985
［2］ ［俄］M.N.巴斯马科夫.代数与分析习题集.莫斯科.科学杂志，1982
【关键词】二阶线性递推数列；齐次式；特征方程；特征根Of the second-order linear recursion (push) the theory of series and its application
Zong Yumei
【Abstract】The purpose of this paper to the existing secondary school textbook series of the general recursive study, using the theory of second-order linear recursive order to investigate the series, and several passed out and the general approach.
【Key words】second-order linear recursive sequence; homogeneous type; characteristic equation; eigenvalue1 关于递推数列的通项问题
对于数列a1,a2,a3……,an……(1)
如果存在两个固定的数(实数或复数)p1p2使对任意n都有
an＝２+p1an+1+p2an=0(2)
则称数列(1)为二阶线性递推数列。
我们知道，如果要求出数列（１）,只需知道前两项即a1，a2再根据(2）式可求出a3,同理可求出a4,a5……从而可以找到an的表达。满足以下两个条件：
（1）当n=1,2,3,……k,得a1，a2，a3，……ak；
（2）对任意n，由该表达式可以得到数列(1)的项，则这个表达式就解决了符合(2）式的数列(1）的问题。
除此之外，如果存在n和2个常数c1和c2的函数：an＝f（n，c1，c2）而两个常数满足方程：
f（1，c1，c2）＝a1
f（2，c1，c2）=a2
那末，也就找到了an的一般表达式。
设方程(2)的解型为 an=xn
那末x满足方程x2+p1x+p2=0(该方程称为数列的特征方程)
如果特征方程没有重根，则一般表达式为
an=c1xn1+c2xn2(3)
如果特征方程有重根，则一般表达式为
an＝（c1＋c2•n）xn(4)
例1，已知an＋2－5an＋1＋6an＝0,a1=1,a2=-7,求an的表达式
解：设an的解型为
an=xn
则有特征议程 x2－5x＋6＝0 x1＝2，x2＝3
所以an的一般表达式为 an＝c1×2n+c2×3n
由初始条件a1=1,a2=-7
f（1，c1，c2）＝c1×2＋c2×3＝a1＝1
f(2,c1,c2)=c1×22+c2×32=a2=-7 得c1=5
c2=-3
故an＝5×2n－3n＋1
理论上特征方程(无重根情况)为什么为an=c1xn1+c2xn2的证明略！
例2 已知数列an对于任意n都有
an＋2－6an＋1＋9an＝0 且a1＝3，a2＝0。求an的表达式
解:假设an的解型为an＝xn 其特征方程为
x2－6x＋9＝0
x1＝x2＝3有重根，级数的解型为an＝（c1＋c2×n）3n
f（1，c1，c2）＝（c1＋c2）×3＝3
f(2,c1,c2)=（c1+c2×2）×9=0 得c1=2
c2=-1
所以an=(2-n)×3n
以上的例题都有一个特点，均是标准二阶线性递推的数列。下面就介绍一下非二阶线性递推数列(但可化成二阶线性递推数列的一些数列)，这些数列一般都要通过一些特殊的技巧(这里介绍5种技巧，是起抛砖引玉的目的，希望各位老师挖掘出更好的方法和技巧）。
例3 已知an+2-5an+1+6an=4 a1=2,a2=6求数列的通项。
解:法一 an＝bn＋a（此法：做替换×1加常数替换)a为常数
则(bn＋2＋a）－5（bn＋1＋a）＋6（bn＋a）＝4
bn＋2－5bn＋1＋6bn＋（a－5a+6a)4 （选择适当的a）
使a-5a+6a=4 a=2 但注意｛bn｝的初始条件(因an=bn+a)
所以bn＋2－5bn+1+6bn=0 由例1可知
bn＝c12n＋c23n得an＝c12n＋c23n＋2
c1×2＋c2×3＝2
c1×22＋c2×32＝6 得 c1=-2
c2=43
故 an=-2×2n×433n+2
=22×3n-1-2n+1+2
注：如果an＋2＋p1an＋1＋p2an＝c 且上式的系数代数和为0
(例)an＋2＋5an＋1－6an＋4 则用加常数替换法无效
因为同上ban＋2＋5bn＋1－6bn＋（a＋5a－6a）＝4
a＋5a－6a＝0d≠4 故此法无效。
法二(可用再递推一次法)下面就介绍再递推一次法
例4 已知an＋1－an＝3n a1＝1
解：法一(因为该题an＋1与an的余数比是1∶（－1）所以是最容易的一种递推数列)
由于1，32，33，……，3n组成的数列显然是一个等比数列
其和 Sn＝3（3n－1）3－1＝32（3n－1）
再 a2－a1＝31
a3－a2＝32
……
an+1-an=3n
an+1-a1=32(3n-1) 所以an＋1＝32（3n－1）＋1
故an＝32（3n－1－1）＋1
法二，再递推一次法 由于对于任意n
均成立an＋1－an＝3n（1）
所以an＋2－an＋1＝3n＋1(2)
（2）－3×（1） 故an＋2－4an＋1＋3an＝0
特征方程为x2－4x＋3＝0 x1＝1，x2＝3
级数解型 an＝c1×1n＋c2×3n
f（1，c1，c2）＝c1＋c2×3＝a1＝1
f（2，c1，c2）＝c1＋c2×32＝3＋a1＝4 所以c1＝－12
c2＝12
故an＝32（3n－1）＋1
再回到例3，用再递推一次法
法二由于关系式an＋2－5an＋1＋6an＝4 对于任意n成立
所以an＋3－5an＋2＋6an＋1＝4（1）
an＋2－5an＋1＋6an＝4（2）
（1）－（2）an＋3－6an＋2＋11an＋1－6an＝0（3）
(3)的特征方程是
x3－6x2＋11x－6＝0
（x3－x2）－5（x2-x)+(6x-1)=0
（x-1）（x2-5x+6）=0
（x-1—）（x-2）（x-3）=0
故x1＝1，x2＝2，x3＝3 （不等根)
数列的解型为an＝c1＋c2×2n＋c3×3n
初始值a1＝2，a2＝6
a3＝4＋5×6－6×2＝22
f（1，c1，c2，c3）＝c1＋2c2×3c3＝2
f（2，c1，c2，c3）＝c1＋4c2×9c3＝6
f（2，c1，c2，c3）＝c1＋8c2×27c3＝22 解得c1=2
c2=-2
c3=43
故an=2+(-2)2n+43×3n
即an＝22×3n－1－2n＋1＋2
下面引出一组习题
（一)递归关系式的解法，试给定下列条件求数列的通项公式：
1. a1=1,an=an-11+an+1 (n≥2)
2. a1=1,an=2a2n-1+1 (n≥2)
*3. a1=a2=1,an=an-1-an-22an-1-1 (n≥3)
提示：1.bn=1an ＊3作倒数替换
2. 设bn=a2n
*4. 作平方替换
＊3.借助于猜测求出通项公式并按归纳法证明它。此题难度较大略！
答案：1. an＝1n 2. an＝2n-1 3. an=92{n3}(1-{n3})
(二)递归关系式解法的拓广
1. 求被条件 a1＝a2＝2 an＝an－1×a2n－2（n≥3)所给定的数列通项
公式，＊5. 做对数替换
提示：设bn＝log2an 答案：an＝22n＋（－1）n＋13。
2. 求被条件 a1=12,a2＝13，an＝an－1×an－23an－2－2an－（n≥3）所给定的数列的通项公式
提示：设bn＝1an，答案：an＝11＋2n－1。
（一)1.的详解，因为我们设bn＝1an，an≠0 又an＝an－11＋an＋1中1+an-1≠0(n≥2) 所以an＝1bn代入得1bn=1bn-1bn-1+1bn-1 即得1bn＝1bn－1＋1等式代换，均为既约分数
故bn＝bn－1＋1
法一,∵bn-bn-1=1(n≥2) ∴{bn}为b1＝1 d＝1的等差数列
∴bn＝1＋（n－1）d＝1＋（n－1）＝n ∴an＝1n
法二，用再递归一次的方法
bn＝bn－1＋1(1)
bn＋1＝bn＋1(2)
（2）－（1）bn+1=bn+1
特征方程为x2－2x＋1＝0
x1=x2=1 重根
∴数列的解型为bn＝（c1＋c2•n）n 即bn＝c1＋c2•n
f(1,c1,c2)=c1+c2=1
f(2,c1,c2)=c1+c2×2=2 得c1=0
c2=1 ∴bn+1=n
则an＝1bn 即an＝1n
2. 的详解 ∵a1＝1，an＝2a2n－1＋1，等式右边an>0且右边2a2n－1＋1>0
∴将式两边平方 a2n＋1＝2a2n－1＋1
设bn＝a2n ∴所以上式化为bn＝2bn－1＋1（n≥2）
即bn-2bn-1-1=0(1)
用再递归一次法bn＋1－2bn－1＝0(2)
（2）－（1）bn＋1－3bn＋2bn－1＝0(3)
（3）的特征方程是x2－3x＋2＝0 x1＝1，x2＝2不等式
数列bn的解型：bn=c1=c2•2n
f(1,c1,c2)=c1+c2×2=b1=1
f(2,c1,c2)=c1+c2×4=b2=3 得c1=-1
c2=1
而b2＝a22＝2×a21＋1＝3 故2n-1 则an＝2n－1
（二)1. 的详解：因为a1＝a2＝2 n≥3的情况下，等式右边
an－1×a2n－2≥0 则等式左边an≥0
将等式an=an-1×a2n-2 两边取以2为底的对数,(∵a1=a2=2)
∴log2an=log2an-1+2log2an-2
设 bn＝log2an 则上式变为
bn－bn－1－2bn－2－1＝0 (n≥3）
∴上式的特征方程为x2－2x－2＝0
解得 x1=2,x2=-1
∴bn=c1×2n+c2(-1)n
又b1=b2=log22=1
f(1,c1,c2)=c1×21+c2×(-1)1=1
f(2,c1,c2)=c1×4+c2×(-1)1=1 得c1=13
c2=-13
故bn=22n+(-1）n＋13
∴bn＝log2an
故an＝22n+(-1）n＋13
2. 的详解 设bn=1an(an≠0且n≥3) 则an＝1bn
代入原式 1bn＝13bn－1－2bn－2（为既约分数)
∴bn＝3bn－1－2bn－2 即bn-3bn-1+2bn-2=0
特征方程 x2-3x-2=0
解得 x1＝1，x2＝2
a1＝12，b1＝2 a2＝13，b2＝3
是不等根 ∴bn＝c1＋c2n
f(1,c1,c2)=c1＋C2×2=2
f(2,c1,c2)=c1×4+c2=3 得c1=1
c2=-12
∴bn=1+122n＝1＋2n－1
故 an＝11＋2n-1
参考文献
［1］ 陈景润.组合数学.河南教育出版社，1985
［2］ ［俄］M.N.巴斯马科夫.代数与分析习题集.莫斯科.科学杂志，1982