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【摘要】本文通过公式逆用;从结论入手，从反面考虑问题，待定法等举例渗透，讲述了逆向思维在解题途径中的重要性.
【关键词】逆向思维；结论入手；反面考虑；先设后定
思维形式决定着解题方法.之所以逆向思维越来越被初等数学教学所重视，一个重要的原因就在于初等数学许多重要的解题方法的思维主体是逆向的.现分析如下：
1公式逆用
学生习惯于正向使用公式，这在解题中会产生消极影响，让学生解题思维受到阻碍.因此在教学中加强公式的逆向训练，对促进解题是非常有帮助的.
例1 求证：对任意自然数n(n≥3)成立不等式2n(n-1)2>n!.
证明 2n(n-1)2=21+2+…+(n-1)（公式1+2+…+n=n(n-1)2的逆用）
=21•22•…•2n-1（公式an•am=an+m的逆用）.
又 2n-1=C0n-1+C1n-1+…+Cn-1n-1（公式C0n+C1n+…+Cnn=2n的逆用）=n+C2n-1+…+Cn-1n-1>n，
∴1•21•22•…•2n-1>1•2•3•…•n=n！.
2从结论入手
解题的目的是由条件导出结论，所以学生最易想到从条件入手思考，但是当命题的条件与结论之间的关系比较不明确时，直接从条件导出结论，解题往往因方向不明而无从下手.如果从结论入手，问题解决起来就容易得多.分析法和反证法为此提供了很好的例证.分析法就是从肯定结论入手进行推理，推得符合条件或易证的命题，而且推理的每一步都具有可逆性，这样就可以证明原命题.
例2 设a,b∈R+且2c>a+b，求证：c-c2-ab<a<c+c2-ab.
证明 设c-c2-ab 则-c2-ab |a-c| 两边平方，得a2-2ac+c2 上式为已知条件且以上推理每步均可逆，故原不等式得证.
分析法是从肯定结论入手，而反证法是从否定结论开始推理，直到推出原命题与条件或事实矛盾，从而证明原命题.
例3 求证：开普勒方程x=sinx+c（其中c为常数）的解存在且唯一.
证明 ①思考直线y=x-c与正弦曲线y=sinx的交点，易得x=sinx+c的解一定存在.
②假设方程的解不唯一，即至少有两个解x1,x2，且x1≠x2，于是x1=sinx1+c，x2=sinx2+c.
x1-x2=2cosx1+x22sinx1-x22.
∵sinx1-x22 ∴|x1-x2|=2cosx1+x22•sin|x1-x2|2<2cosx1+x22•|x1-x2|2，
∴1 这显然是矛盾的.即证得方程x=sinx+c的解是唯一的.
3从反面考虑问题
正面思考，虽然可以解决许多问题，但是有些问题还要从反面入手思考，反证法就是这种思想方法.其实，这种思考方法在初等数学中随处可见，不妨从以下几方面加以领会.
（1）反面的情形比正面情形往往简单明朗.
例4 若下列三个方程中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围.其中三个方程为：①x2+4ax-4a+3=0；②x2+(a-1)x+a2=0；③x2+2ax-2a=0.
分析 三个方程中至少有一个方程有实根，就意味着一个、两个、三个方程有实根这三种可能，这样情况就复杂多了.如果从反面思考的话，就只有一种可能：即三个方程都没有实根.这样复杂问题就简单化了.
解 解关于a的不等式组(4a)2-4(-4a+3)<0，(a-1)2-4a2<0，(2a)2-4(-2a)<0，
解得-32 ∴当且仅当-32 （2）剔除法解选择题：通过排除干扰项可得到正确项，这比直接由条件正面导出正确项更简便易行.
例5 若a，b是两个不相等的正数，那么下列三个代数式：
甲：a+1ab+1b；乙：ab+1ab2；丙：a+b2+2a+b2
中值最大的一个是（）.
A必定是甲
B必定是乙
C必定是丙
D一般并不确定，而与a，b取值有关
解 试取a=1,b=2，则甲=5，乙=412，丙=44536，于是B，C被剔除.取a=2,b=3，则甲=813，丙=841，于是A被剔除，从而应选D.
（3）举反例与判断：证明一个命题正确，需要严格的逻辑推理过程，而否定一个命题仅仅举个反例就可以了，和正面推理相比较，举出反面例子来否定也是逆向思维形式之一.
例6 判断函数f(x)=1+sinx-cosx1+sinx+cosx的奇偶性.
分析 证明某个函数为奇（偶）函数，则需对定义域内任意一个x，证其有f(-x)=-f(x)（或f(x)）；但若判定其不是奇（偶）函数，则只需在定义域内找出一个x，让等式不成立.不难看出，当x=π2时，f(x)有意义，而f(-x)无意义，故f(x)是非奇非偶函数.
顺便指出，下面的正面推导是错误的：
∵f(x)=1+sinx-cosx1+sinx+cosx=2sinx2cosx2+2sin2x22sinx2cosx2+2cos2x2=tanx2，
f(-x)=tan-x2=-tanx2=-f(x)，
∴f(x)为奇函数.
仔细检查，发现上述化简过程不是等价的.由此可以看到，举反例否定确是有效的判定方法.
4待定法
待定法即先设后定.在解题中，可以先设某个未知数或某个方案，然后根据条件进行具体确定.这种“先设后定”的解题思路也是逆向思维的一种.列方程解应用题、待定系数法等都是待定法在实际中的具体应用.
例7 若n，k都是给定的正整数，且n>2，k>2，则n(n-1)k-1可以写成n个连续偶数的和.
证明 直接将n(n-1)k-1写成n个连续偶数的和显然较为困难，我们不妨设n个连续偶数为2a,2a+2,2a+4,…,2a+2(n-1).
则Sn=2a+2a+2(n-1)2•n=［2a+(n-1)］•n.
令［2a+(n-1)］n=n(n-1)k-1，
则2a+(n-1)=(n-1)k-1，
∴a=(n-1)［(n-1)k-2-1］2.
不难发现，不论n是奇数，还是偶数，只要n为大于2，k为大于2的整数，那么a一定是正整数.故a取(n-1)［(n-1)k-2-1］2时，n(n-1)k-1可以写成n个连续偶数的和，即命题正确.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】逆向思维；结论入手；反面考虑；先设后定
思维形式决定着解题方法.之所以逆向思维越来越被初等数学教学所重视，一个重要的原因就在于初等数学许多重要的解题方法的思维主体是逆向的.现分析如下：
1公式逆用
学生习惯于正向使用公式，这在解题中会产生消极影响，让学生解题思维受到阻碍.因此在教学中加强公式的逆向训练，对促进解题是非常有帮助的.
例1 求证：对任意自然数n(n≥3)成立不等式2n(n-1)2>n!.
证明 2n(n-1)2=21+2+…+(n-1)（公式1+2+…+n=n(n-1)2的逆用）
=21•22•…•2n-1（公式an•am=an+m的逆用）.
又 2n-1=C0n-1+C1n-1+…+Cn-1n-1（公式C0n+C1n+…+Cnn=2n的逆用）=n+C2n-1+…+Cn-1n-1>n，
∴1•21•22•…•2n-1>1•2•3•…•n=n！.
2从结论入手
解题的目的是由条件导出结论，所以学生最易想到从条件入手思考，但是当命题的条件与结论之间的关系比较不明确时，直接从条件导出结论，解题往往因方向不明而无从下手.如果从结论入手，问题解决起来就容易得多.分析法和反证法为此提供了很好的例证.分析法就是从肯定结论入手进行推理，推得符合条件或易证的命题，而且推理的每一步都具有可逆性，这样就可以证明原命题.
例2 设a,b∈R+且2c>a+b，求证：c-c2-ab<a<c+c2-ab.
证明 设c-c2-ab
分析法是从肯定结论入手，而反证法是从否定结论开始推理，直到推出原命题与条件或事实矛盾，从而证明原命题.
例3 求证：开普勒方程x=sinx+c（其中c为常数）的解存在且唯一.
证明 ①思考直线y=x-c与正弦曲线y=sinx的交点，易得x=sinx+c的解一定存在.
②假设方程的解不唯一，即至少有两个解x1,x2，且x1≠x2，于是x1=sinx1+c，x2=sinx2+c.
x1-x2=2cosx1+x22sinx1-x22.
∵sinx1-x22
∴1
3从反面考虑问题
正面思考，虽然可以解决许多问题，但是有些问题还要从反面入手思考，反证法就是这种思想方法.其实，这种思考方法在初等数学中随处可见，不妨从以下几方面加以领会.
（1）反面的情形比正面情形往往简单明朗.
例4 若下列三个方程中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围.其中三个方程为：①x2+4ax-4a+3=0；②x2+(a-1)x+a2=0；③x2+2ax-2a=0.
分析 三个方程中至少有一个方程有实根，就意味着一个、两个、三个方程有实根这三种可能，这样情况就复杂多了.如果从反面思考的话，就只有一种可能：即三个方程都没有实根.这样复杂问题就简单化了.
解 解关于a的不等式组(4a)2-4(-4a+3)<0，(a-1)2-4a2<0，(2a)2-4(-2a)<0，
解得-32
例5 若a，b是两个不相等的正数，那么下列三个代数式：
甲：a+1ab+1b；乙：ab+1ab2；丙：a+b2+2a+b2
中值最大的一个是（）.
A必定是甲
B必定是乙
C必定是丙
D一般并不确定，而与a，b取值有关
解 试取a=1,b=2，则甲=5，乙=412，丙=44536，于是B，C被剔除.取a=2,b=3，则甲=813，丙=841，于是A被剔除，从而应选D.
（3）举反例与判断：证明一个命题正确，需要严格的逻辑推理过程，而否定一个命题仅仅举个反例就可以了，和正面推理相比较，举出反面例子来否定也是逆向思维形式之一.
例6 判断函数f(x)=1+sinx-cosx1+sinx+cosx的奇偶性.
分析 证明某个函数为奇（偶）函数，则需对定义域内任意一个x，证其有f(-x)=-f(x)（或f(x)）；但若判定其不是奇（偶）函数，则只需在定义域内找出一个x，让等式不成立.不难看出，当x=π2时，f(x)有意义，而f(-x)无意义，故f(x)是非奇非偶函数.
顺便指出，下面的正面推导是错误的：
∵f(x)=1+sinx-cosx1+sinx+cosx=2sinx2cosx2+2sin2x22sinx2cosx2+2cos2x2=tanx2，
f(-x)=tan-x2=-tanx2=-f(x)，
∴f(x)为奇函数.
仔细检查，发现上述化简过程不是等价的.由此可以看到，举反例否定确是有效的判定方法.
4待定法
待定法即先设后定.在解题中，可以先设某个未知数或某个方案，然后根据条件进行具体确定.这种“先设后定”的解题思路也是逆向思维的一种.列方程解应用题、待定系数法等都是待定法在实际中的具体应用.
例7 若n，k都是给定的正整数，且n>2，k>2，则n(n-1)k-1可以写成n个连续偶数的和.
证明 直接将n(n-1)k-1写成n个连续偶数的和显然较为困难，我们不妨设n个连续偶数为2a,2a+2,2a+4,…,2a+2(n-1).
则Sn=2a+2a+2(n-1)2•n=［2a+(n-1)］•n.
令［2a+(n-1)］n=n(n-1)k-1，
则2a+(n-1)=(n-1)k-1，
∴a=(n-1)［(n-1)k-2-1］2.
不难发现，不论n是奇数，还是偶数，只要n为大于2，k为大于2的整数，那么a一定是正整数.故a取(n-1)［(n-1)k-2-1］2时，n(n-1)k-1可以写成n个连续偶数的和，即命题正确.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文