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摘 要:文章论述了解三角函数问题的几大思路:公式的正用和逆用,巧妙变形,灵活化同,观察式中的结构,找异同,得解法。
关键词:三角函数;观察;思路;策略;变形
中图分类号:O175.24文献标识码:A文章编号:1000-8136(2010)02-0135-02
三角函数是数学中的重要内容之一,在求解三角函数问题时,学生常感到不知从何下手,本文就这些问题给出解三角函数问题的几种思路。
1 巧用公式
三角函数的所有公式是三角变换的主要工具,学生首先必须在理解基础上牢记公式,在解题时,不仅要善于公式的正用,而且要善于逆用和变形使用公式,善于从条件或结论中捕捉公式的影子,巧妙利用,便可找到问题的捷径。
例1:已知sinα+cosα=(o<α<∏),求cos2α的值。
分析:结合条件和结论所问,容易想到二倍角公式。即sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α-sin2α,于是(sinα+cosα)2=,展开求出2sinαcosα=-,又0<α<,∴sinα>0,cosα<0.
∵(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1+=,∴sinα-cosα=
∴cos2α=cos2α-sin2α=(cosα-sinα)(cosα+sinα)=-×=-
注意:本题也可从sinα+cosα=出发。求得sin2α,然后再求cos2α。
例2:证明:tan10°•tan20°+tan20°•tan60°+tan60°•tan10°=1
分析:由题目容易想到先对左边的第二项和第三项提取公因式变为:
tan60°•(tan20°+tan10°),由tan20+tan10又易想到
tan(20°+10°)-从而得:
tan20°+tan10°=tan30°•(1-tan20°•tan10°),则左式=
tan10°•tan20°+tan60°•tan30°(1-tan20°•tan10°)=1=右边
2 灵活转化
在三角函数式中经常存在角与三角函数名称的多种形式,在解三角问题时,应尽量减少角与函数名的个数,消除差异,渐进化同。角的化同主要通过角的拆分、组合、引入辅助角等手段进行;函数名的化名常用方法是“花弦法”,化同的主要公式依据是同角间三角函数基本关系式、万能公式、半角的正切公式(tan==,tan2=)等。
例3:已知α、β均为锐角,cosα=,tan(α-)=-,求cosβ的值。
分析:本题考查两角差的正弦、余弦、正切公式,以及灵活运用基础知识解题的能力,可将角β转化为β=β-(α-β),然后求出tanβ的值,从而得cosβ的值。或由tan(α-β)的值求出cos(α-β)与sin(α-β)的值,再求cosβ的值。
解∵cosα=,0<α<,∴sinα=,∴tanα=,∴tan=tan[α-(α-)]===,∵是锐角,∴cos===。
例4:化简+
分析:化简三角函数式是解三角问题的一类常见题型,首先应想到同角和三角函数名称。此题若把角化同为2α,式子中将会出现根式,还要考虑到根号前的正负号,运算将会更加麻烦。故应将角统一为α,函数名统一为弦。
解:原式=+
=
+=
[+
]=
(+)==2sec2α
3 对比结构
证明三角恒等式也是解三角问题的一种常见题型。在证明恒等式时,要注意对比等式两端的条件和结论之间的运算结构,尽力化同,有助于问题的解决,将计算结构相似的项相结合,有利于变形和运算。
例5:已知3sin=sin(2α+),求证:tan(α+)=2tanα
分析:观察条件等式和结论等式、三角式组成的结构式中的角的种类差异,因此可采用角的变换,即=(α+)-α,2α+=(α+)+α,因此,本题的证明可从角度入手。
证明:∵3sin=sin(2α+),∴3sin[(α+)-α]=sin[(α+)+α],
∴3sin(α+)cosα-3cos(α+)sinα=sin(α+)cosα+cos(α+)sinα
∴2sin(α+)cosα=4cos(α+)sinα
∴tan(α+)=2tanα。
思路:具体来说,这种方法的实施可以减少角的种类,减少函数的种类。注意:三角函数式的结构一般是由角、三角函数符号及运算符号3种元素组成。三角函数恒等式的证明实质就是由一种结构形式转化为另一种结构形式。因此在证明等式时必须仔细观察等式两边结构上的差异,然后分析这些差异和联系,最后从解决差异入手,实行适当变换,直至消除差异,实现恒等式的证明。这就是三角恒等式证明的基本。
4 观察整体
在解题过程中要有大局观、整体观,善于将条件、结论或其中的某一部分看作一个整体来解决问题。
例6:求sin3α+cos3α的值。
分析:因sin3α+cos3α=(sinα+cosα)(sin2α-sinαcosα+cos2α)
所以设整体sinα+cosα=m,由此可求得sinαcosα=。将这两式代入前式即可求得值。
解:∵sinα+cosα=m,(1)∴sin2α+2sinαcosα+cos2α=m2
∴sinαcosα=(2),又sin3α+cos3α=(sinα+cos)(sin2α-sinαcosα+cos2α)(3)
将(1)(2)代入(3)式得sin3α+cos3α=m•(1-)=(3-m2)
例7:求sin210°+cos240°+sin10°cos40°的值。
分析:将题中式子看作一个整体,容易联想到和的平方展开式,配方后,再把每一部分看作一个整体来解决问题。
解:原式=(sin10°+cos40°)2-sin10°cos40°=(sin10°+sin50°)2-
sin10°cos40°=(2sin30°cos20°)2-(sin50°-sin30°)=cos220°-sin50°+-cos40°+=
以上所述的仅仅是求解三角函数问题的几种常见的技巧,具体问题还应视题型来选择合适的方法,灵活应用。
Solution Trigonometric Function Question Several Big Mentalities
Li Guiping
Abstract: Article elaboration understanding trigonometric function question several big mentalities: The formula correct use and counter uses,the ingenious distortion, the spirit activation with, the observation in the formula structure,looks for the similarities and differences,understands the law.
Key words: trigonometric function;observation;mentality;strategy;distortion
关键词:三角函数;观察;思路;策略;变形
中图分类号:O175.24文献标识码:A文章编号:1000-8136(2010)02-0135-02
三角函数是数学中的重要内容之一,在求解三角函数问题时,学生常感到不知从何下手,本文就这些问题给出解三角函数问题的几种思路。
1 巧用公式
三角函数的所有公式是三角变换的主要工具,学生首先必须在理解基础上牢记公式,在解题时,不仅要善于公式的正用,而且要善于逆用和变形使用公式,善于从条件或结论中捕捉公式的影子,巧妙利用,便可找到问题的捷径。
例1:已知sinα+cosα=(o<α<∏),求cos2α的值。
分析:结合条件和结论所问,容易想到二倍角公式。即sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α-sin2α,于是(sinα+cosα)2=,展开求出2sinαcosα=-,又0<α<,∴sinα>0,cosα<0.
∵(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1+=,∴sinα-cosα=
∴cos2α=cos2α-sin2α=(cosα-sinα)(cosα+sinα)=-×=-
注意:本题也可从sinα+cosα=出发。求得sin2α,然后再求cos2α。
例2:证明:tan10°•tan20°+tan20°•tan60°+tan60°•tan10°=1
分析:由题目容易想到先对左边的第二项和第三项提取公因式变为:
tan60°•(tan20°+tan10°),由tan20+tan10又易想到
tan(20°+10°)-从而得:
tan20°+tan10°=tan30°•(1-tan20°•tan10°),则左式=
tan10°•tan20°+tan60°•tan30°(1-tan20°•tan10°)=1=右边
2 灵活转化
在三角函数式中经常存在角与三角函数名称的多种形式,在解三角问题时,应尽量减少角与函数名的个数,消除差异,渐进化同。角的化同主要通过角的拆分、组合、引入辅助角等手段进行;函数名的化名常用方法是“花弦法”,化同的主要公式依据是同角间三角函数基本关系式、万能公式、半角的正切公式(tan==,tan2=)等。
例3:已知α、β均为锐角,cosα=,tan(α-)=-,求cosβ的值。
分析:本题考查两角差的正弦、余弦、正切公式,以及灵活运用基础知识解题的能力,可将角β转化为β=β-(α-β),然后求出tanβ的值,从而得cosβ的值。或由tan(α-β)的值求出cos(α-β)与sin(α-β)的值,再求cosβ的值。
解∵cosα=,0<α<,∴sinα=,∴tanα=,∴tan=tan[α-(α-)]===,∵是锐角,∴cos===。
例4:化简+
分析:化简三角函数式是解三角问题的一类常见题型,首先应想到同角和三角函数名称。此题若把角化同为2α,式子中将会出现根式,还要考虑到根号前的正负号,运算将会更加麻烦。故应将角统一为α,函数名统一为弦。
解:原式=+
=
+=
[+
]=
(+)==2sec2α
3 对比结构
证明三角恒等式也是解三角问题的一种常见题型。在证明恒等式时,要注意对比等式两端的条件和结论之间的运算结构,尽力化同,有助于问题的解决,将计算结构相似的项相结合,有利于变形和运算。
例5:已知3sin=sin(2α+),求证:tan(α+)=2tanα
分析:观察条件等式和结论等式、三角式组成的结构式中的角的种类差异,因此可采用角的变换,即=(α+)-α,2α+=(α+)+α,因此,本题的证明可从角度入手。
证明:∵3sin=sin(2α+),∴3sin[(α+)-α]=sin[(α+)+α],
∴3sin(α+)cosα-3cos(α+)sinα=sin(α+)cosα+cos(α+)sinα
∴2sin(α+)cosα=4cos(α+)sinα
∴tan(α+)=2tanα。
思路:具体来说,这种方法的实施可以减少角的种类,减少函数的种类。注意:三角函数式的结构一般是由角、三角函数符号及运算符号3种元素组成。三角函数恒等式的证明实质就是由一种结构形式转化为另一种结构形式。因此在证明等式时必须仔细观察等式两边结构上的差异,然后分析这些差异和联系,最后从解决差异入手,实行适当变换,直至消除差异,实现恒等式的证明。这就是三角恒等式证明的基本。
4 观察整体
在解题过程中要有大局观、整体观,善于将条件、结论或其中的某一部分看作一个整体来解决问题。
例6:求sin3α+cos3α的值。
分析:因sin3α+cos3α=(sinα+cosα)(sin2α-sinαcosα+cos2α)
所以设整体sinα+cosα=m,由此可求得sinαcosα=。将这两式代入前式即可求得值。
解:∵sinα+cosα=m,(1)∴sin2α+2sinαcosα+cos2α=m2
∴sinαcosα=(2),又sin3α+cos3α=(sinα+cos)(sin2α-sinαcosα+cos2α)(3)
将(1)(2)代入(3)式得sin3α+cos3α=m•(1-)=(3-m2)
例7:求sin210°+cos240°+sin10°cos40°的值。
分析:将题中式子看作一个整体,容易联想到和的平方展开式,配方后,再把每一部分看作一个整体来解决问题。
解:原式=(sin10°+cos40°)2-sin10°cos40°=(sin10°+sin50°)2-
sin10°cos40°=(2sin30°cos20°)2-(sin50°-sin30°)=cos220°-sin50°+-cos40°+=
以上所述的仅仅是求解三角函数问题的几种常见的技巧,具体问题还应视题型来选择合适的方法,灵活应用。
Solution Trigonometric Function Question Several Big Mentalities
Li Guiping
Abstract: Article elaboration understanding trigonometric function question several big mentalities: The formula correct use and counter uses,the ingenious distortion, the spirit activation with, the observation in the formula structure,looks for the similarities and differences,understands the law.
Key words: trigonometric function;observation;mentality;strategy;distortion