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一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）
1.集合M={x|lgx>0}，N={x|x2≤4}，则M∩N=.
2.已知数列{an}是等差数列，且a1+a7+a13=-π，则sina7=.
3.若z1=a+2i，z2=3-4i，且z1z2为纯虚数，则实数a=.
4.程序如右图：该程序输出的结果是.
5.已知m，n是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：
①若m∥α，n∥α，则m∥n；
②若m⊥α，n⊥α，则m∥n；
③若m∥α，n⊥α，则m⊥n；
④若m⊥α，m⊥n，则n∥α.
其中真命题的序号有.（请将真命题的序号都填上）
6.已知直线l1：ax+3y+1=0，l2：2x+（a+1）y+1=0，若l1∥l2，则实数a的值是.
7.若点P0（x0，y0）在椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）外，过点P0作该椭圆的两条切线的切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为x0xa2+y0yb2=1.那么对于双曲线，类似地，可以得到一个正确的命题为.
8.在平面直角坐标系xOy中，设直线l：kx-y+1=0与圆C：x2+y2=4相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆C上，则实数k=.
9.若椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5∶3两段，则此椭圆的离心率为.
10.在△ABC中，已知内角A=π3，边BC=23，则△ABC的面积S的最大值为.
11.函数f（x）=x2+2x-3，x≤0-2+lnx，x>0的零点个数为.
12.当0≤x≤12时，|ax-2x3|≤12恒成立，则实数a的取值范围是.
13.在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2，设点P，Q满足AP=λAB，AQ=（1-λ）AC，λ∈R，若BQ·CP=-2，则λ=.
14.已知实数x，y满足：x3+2xy-1=0（-1≤x≤2，x≠0），这个方程确定的函数为y=f（x），则z=3x+2f（x）的极大值是.
二、解答题（本大题共6小题，计90分）
15.（本小题满分14分）
已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2-4bx+1.
（1）设集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
（2）设点（a，b）是区域x+y-8≤0x>0y>0内的随机点，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率.
16.（本小题满分14分）
如图边长为4的正方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点.
（1）求四棱锥PABCD的体积；
（2）求证：PA∥平面MBD；
（3）试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
17.（本小题满分15分）
如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，OA=2，B为半圆上一点，
以AB为一边向△OAB的外侧作等边△ABC.
（1）问点B在什么位置时，四边形OACB的面积最大？
（2）当OC平分∠AOB时.
（ⅰ）求证：∠OAC+∠OBC=π；
（ⅱ）求OC的长度.
18.（本小题满分15分）
省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）=|xx2+1-a|+2a+23，x∈[0，24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈[0，12]，若用每天f（x）的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a）.
（1）令t=xx2+1，x∈[0，24]，求t的取值范围；
（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？
19.（本小题满分16分）
椭圆T：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的上顶点为A，过A的一条直线l1交椭圆于另一点B.
（1）若直线l1的方程为：x+3y-3=0，且AB=10，求椭圆T的方程；
（2）过A的另一条直线l2交椭圆于C，且AB=AC，求证：点B、C关于y轴对称；
（3）设直线m是线段AB的垂直平分线，试问：椭圆T上是否存在另外两点P，Q关于直线m对称？若存在，请给出直线AB的位置；若不存在，请说明理由.
20.（本小题满分16分）
已知数列an=2n-n2，n=1，2，3，…，
（1）求出数列{an}中所有成等差数列的连续三项；
（2）求证：数列{an}中不存在连续三项成等比数列；
附加题
21.【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
B.选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=1a-1b，A的一个特征值λ=2，其对应的特征向量是α1=21.设向量β=74，试计算A5β的值.
C.选修4-4：参数方程与极坐标 已知曲线C的极坐标方程为ρ=acosθ（a>0）.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴
为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为x=1+22ty=22t（t为参数），若直线l与曲线C相切，求a的值.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点F、T、M、P满足OF=（1，0），OT=（-1，t），
FM=MT，PM⊥FT，PT∥OF.
（1）当t变化时，求点P的轨迹C的方程；
（2）若过点F的直线交曲线C于A，B两点，求证：直线TA，TF，TB的斜率依次成等差数列.
23.学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人.设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P（ξ>0）=710.
（1）求文娱队的队员人数；
（2）写出ξ的概率分布列并计算E（ξ）.
参考答案
一、填空题
1. （1，2]2. -323. a=834. 1205. ②③6. -3
7. 若点P0（x0，y0）在双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）外，过点P0作该双曲线的两条切线的切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为x0xa2-y0yb2=1
8. 09. e=ca=25510. 3311. 212. -12≤a≤3213. 2314. -154
二、解答题
15.解：（1）∵函数f（x）=ax2-4bx+1的图象的对称轴为x=2ba，
要使f（x）=ax2-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，
当且仅当a>0且2ba≤1，即2b≤a3分
若a=1则b=-1，
若a=2则b=-1，1
若a=3则b=-1，1；5分
∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5
∴所求事件的概率为515=137分
（2）由（Ⅰ）知当且仅当2b≤a且a>0时，
函数f（x）=ax2-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为（a，b）a+b-8≤0a>0b>0
构成所求事件的区域为三角形部分.9分
由a+b-8=0b=a2得交点坐标为（163，83），11分
∴所求事件的概率为P=12×8×8312×8×8=1314分
16.解析：在正三角形PAD中，Q为AD的中点，
∴PQ⊥AD
因为正方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直，面ABCD∩面PAD=AD
∴PQ⊥面ABCD（3分）
VPABCD=13S·PQ=3233（5分）
（2）证明：连AC交BD于O，连MO
则ABCD为正方形，所以O为AC中点，M为PC中点，所以MO∥AP，（7分）
又AP平面MBD，MO平面MBD，则AP∥平面MBD.（10分）
（3）N为AB中点时，平面PCN⊥平面PQB.（11分）
证明如下：由（1）证明知PQ⊥平面ABCD，又CN平面ABCD，则PQ⊥CN（12分）
又因为正方形ABCD中Q，N分别为AD，AB中点，则CN⊥BQ（13分）
∴CN⊥平面PQB又∵CN平面PCN，所以平面PCN⊥平面PQB.（14分）
17.解：（1）设∠AOB=α，在△AOB中，由余弦定理
得：AB2=12+22-2×1×2cosα=5-4cosα.（2分）
四边形OACB的面积S=S△OAB+S△ABC=12OA·OBsinα+34AB2
=12×2×1×sinα+34（5-4cosα）=sinα-3cosα+534=2sin（α-π3）+534.∵0<α<π，∴-π3<α-π3<2π3，当α-π3=π2即α=5π6时，四边形OACB的面积取最大值.（7分）
（2）（ⅰ）在△OAC中，ACsinα2=OCsin∠OAC，在△OBC中，BCsinα2=OCsin∠OBC，
∵AC=BC，比较以上两式可知：sin∠OAC=sin∠OBC.
若∠OAC=∠OBC，又∠AOC=∠BOC，OC=OC△OAC△OBC，
∴OA=OB，这与已知矛盾.∴∠OAC≠∠OBC，从而∠OAC=180°-∠OBC.
即∠OAC+∠OBC=π.（11分）
（ⅱ）由（ⅰ）得∠AOB+∠ACB=π，∴∠AOB+π3=π，∠AOB=2π3.
又OC为∠AOB的平分线，∠AOC=π3，在△AOB中，AB2=OA2+OC2-2OA·OC·cos2π3=22+12-2×2×1×（-12）=7，
在△AOC中，AC2=OC2+OA2-2OC·OAcosπ3，
∴7=OC2+22-2·OC×2×12OC=3.（15分）
18.解：（1）当x=0时，t=0；
当0 ∴t=xx2+1=1x+1x∈（0，12]，
即t的取值范围是[0，12].（6分）
（2）当a∈[0，12]时，记g（t）=|t-a|+2a+23
则g（t）=-t+3a+23，0≤t≤at+a+23，a
1.集合M={x|lgx>0}，N={x|x2≤4}，则M∩N=.
2.已知数列{an}是等差数列，且a1+a7+a13=-π，则sina7=.
3.若z1=a+2i，z2=3-4i，且z1z2为纯虚数，则实数a=.
4.程序如右图：该程序输出的结果是.
5.已知m，n是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：
①若m∥α，n∥α，则m∥n；
②若m⊥α，n⊥α，则m∥n；
③若m∥α，n⊥α，则m⊥n；
④若m⊥α，m⊥n，则n∥α.
其中真命题的序号有.（请将真命题的序号都填上）
6.已知直线l1：ax+3y+1=0，l2：2x+（a+1）y+1=0，若l1∥l2，则实数a的值是.
7.若点P0（x0，y0）在椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）外，过点P0作该椭圆的两条切线的切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为x0xa2+y0yb2=1.那么对于双曲线，类似地，可以得到一个正确的命题为.
8.在平面直角坐标系xOy中，设直线l：kx-y+1=0与圆C：x2+y2=4相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆C上，则实数k=.
9.若椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5∶3两段，则此椭圆的离心率为.
10.在△ABC中，已知内角A=π3，边BC=23，则△ABC的面积S的最大值为.
11.函数f（x）=x2+2x-3，x≤0-2+lnx，x>0的零点个数为.
12.当0≤x≤12时，|ax-2x3|≤12恒成立，则实数a的取值范围是.
13.在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2，设点P，Q满足AP=λAB，AQ=（1-λ）AC，λ∈R，若BQ·CP=-2，则λ=.
14.已知实数x，y满足：x3+2xy-1=0（-1≤x≤2，x≠0），这个方程确定的函数为y=f（x），则z=3x+2f（x）的极大值是.
二、解答题（本大题共6小题，计90分）
15.（本小题满分14分）
已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2-4bx+1.
（1）设集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
（2）设点（a，b）是区域x+y-8≤0x>0y>0内的随机点，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率.
16.（本小题满分14分）
如图边长为4的正方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点.
（1）求四棱锥PABCD的体积；
（2）求证：PA∥平面MBD；
（3）试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
17.（本小题满分15分）
如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，OA=2，B为半圆上一点，
以AB为一边向△OAB的外侧作等边△ABC.
（1）问点B在什么位置时，四边形OACB的面积最大？
（2）当OC平分∠AOB时.
（ⅰ）求证：∠OAC+∠OBC=π；
（ⅱ）求OC的长度.
18.（本小题满分15分）
省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）=|xx2+1-a|+2a+23，x∈[0，24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈[0，12]，若用每天f（x）的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a）.
（1）令t=xx2+1，x∈[0，24]，求t的取值范围；
（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？
19.（本小题满分16分）
椭圆T：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的上顶点为A，过A的一条直线l1交椭圆于另一点B.
（1）若直线l1的方程为：x+3y-3=0，且AB=10，求椭圆T的方程；
（2）过A的另一条直线l2交椭圆于C，且AB=AC，求证：点B、C关于y轴对称；
（3）设直线m是线段AB的垂直平分线，试问：椭圆T上是否存在另外两点P，Q关于直线m对称？若存在，请给出直线AB的位置；若不存在，请说明理由.
20.（本小题满分16分）
已知数列an=2n-n2，n=1，2，3，…，
（1）求出数列{an}中所有成等差数列的连续三项；
（2）求证：数列{an}中不存在连续三项成等比数列；
附加题
21.【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
B.选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=1a-1b，A的一个特征值λ=2，其对应的特征向量是α1=21.设向量β=74，试计算A5β的值.
C.选修4-4：参数方程与极坐标 已知曲线C的极坐标方程为ρ=acosθ（a>0）.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴
为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为x=1+22ty=22t（t为参数），若直线l与曲线C相切，求a的值.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点F、T、M、P满足OF=（1，0），OT=（-1，t），
FM=MT，PM⊥FT，PT∥OF.
（1）当t变化时，求点P的轨迹C的方程；
（2）若过点F的直线交曲线C于A，B两点，求证：直线TA，TF，TB的斜率依次成等差数列.
23.学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人.设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P（ξ>0）=710.
（1）求文娱队的队员人数；
（2）写出ξ的概率分布列并计算E（ξ）.
参考答案
一、填空题
1. （1，2]2. -323. a=834. 1205. ②③6. -3
7. 若点P0（x0，y0）在双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）外，过点P0作该双曲线的两条切线的切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为x0xa2-y0yb2=1
8. 09. e=ca=25510. 3311. 212. -12≤a≤3213. 2314. -154
二、解答题
15.解：（1）∵函数f（x）=ax2-4bx+1的图象的对称轴为x=2ba，
要使f（x）=ax2-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，
当且仅当a>0且2ba≤1，即2b≤a3分
若a=1则b=-1，
若a=2则b=-1，1
若a=3则b=-1，1；5分
∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5
∴所求事件的概率为515=137分
（2）由（Ⅰ）知当且仅当2b≤a且a>0时，
函数f（x）=ax2-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为（a，b）a+b-8≤0a>0b>0
构成所求事件的区域为三角形部分.9分
由a+b-8=0b=a2得交点坐标为（163，83），11分
∴所求事件的概率为P=12×8×8312×8×8=1314分
16.解析：在正三角形PAD中，Q为AD的中点，
∴PQ⊥AD
因为正方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直，面ABCD∩面PAD=AD
∴PQ⊥面ABCD（3分）
VPABCD=13S·PQ=3233（5分）
（2）证明：连AC交BD于O，连MO
则ABCD为正方形，所以O为AC中点，M为PC中点，所以MO∥AP，（7分）
又AP平面MBD，MO平面MBD，则AP∥平面MBD.（10分）
（3）N为AB中点时，平面PCN⊥平面PQB.（11分）
证明如下：由（1）证明知PQ⊥平面ABCD，又CN平面ABCD，则PQ⊥CN（12分）
又因为正方形ABCD中Q，N分别为AD，AB中点，则CN⊥BQ（13分）
∴CN⊥平面PQB又∵CN平面PCN，所以平面PCN⊥平面PQB.（14分）
17.解：（1）设∠AOB=α，在△AOB中，由余弦定理
得：AB2=12+22-2×1×2cosα=5-4cosα.（2分）
四边形OACB的面积S=S△OAB+S△ABC=12OA·OBsinα+34AB2
=12×2×1×sinα+34（5-4cosα）=sinα-3cosα+534=2sin（α-π3）+534.∵0<α<π，∴-π3<α-π3<2π3，当α-π3=π2即α=5π6时，四边形OACB的面积取最大值.（7分）
（2）（ⅰ）在△OAC中，ACsinα2=OCsin∠OAC，在△OBC中，BCsinα2=OCsin∠OBC，
∵AC=BC，比较以上两式可知：sin∠OAC=sin∠OBC.
若∠OAC=∠OBC，又∠AOC=∠BOC，OC=OC△OAC△OBC，
∴OA=OB，这与已知矛盾.∴∠OAC≠∠OBC，从而∠OAC=180°-∠OBC.
即∠OAC+∠OBC=π.（11分）
（ⅱ）由（ⅰ）得∠AOB+∠ACB=π，∴∠AOB+π3=π，∠AOB=2π3.
又OC为∠AOB的平分线，∠AOC=π3，在△AOB中，AB2=OA2+OC2-2OA·OC·cos2π3=22+12-2×2×1×（-12）=7，
在△AOC中，AC2=OC2+OA2-2OC·OAcosπ3，
∴7=OC2+22-2·OC×2×12OC=3.（15分）
18.解：（1）当x=0时，t=0；
当0
即t的取值范围是[0，12].（6分）
（2）当a∈[0，12]时，记g（t）=|t-a|+2a+23
则g（t）=-t+3a+23，0≤t≤at+a+23，a
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数列是一个特殊的函数，它可以看成是以正整数N*（或它的有限子集）为定义域的函数an=f（n）在当自变量按照由小到大的顺序依次取值时对应的一列函数值.特别是等差数列，它的通项公式和前n项和公式分别可以看成是关于n（n∈N*）的一次函数和二次函数，因此我们在研究数列问题（特别是等差数列）时，应该充分利用函数的相关知识如概念，性质，图像等去解决数列中的相关问题.下举几例说明函数思想在数列解题中的应用.
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一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1.已知集合M={x|x≠0，x∈R}∪{y|y≠1，y∈R}，集合P={x|x0）的左、右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B1、B2.设直线A1B1的倾斜角的正弦值为13，圆C的圆心与OA2的中点关于直线A1B1对称且圆C的直径等于线段OA2的长度. （1）求椭圆E的离心率； （2）判断直线A1B1与圆C的位置关系，并说明理由；
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一、单项填空（共15小题；每小题1分，满分15分） 1. The “Chinese Dream” is dream to improve peoples wellbeing and dream of harmony， peace and development. A. the； a B. a； a C. a； the D. the； the 2. The graduate was well
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一、词汇训练（共10小题；每小题0.5分，满分5分） 1. Many graduates were caught in a d when they had to choose between a permanent job and a further education chance. 2. For those who prefer a c way of life， modern techno
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