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摘要 在对卡诺图的应用上，由于很多课本都很零散地作了分析，而且是本着用到提到，不用不提的思想。为此，本文针对卡诺图应用研究作出了较为系统的总结。采取由易到难，由一方面到多方面的应用分析。通过系统总结，可以让读者更为直观，全面的认识卡诺图，了解卡诺图，应用卡诺图。
关键词 卡诺图；逻辑函数；最小项
Abstract: this paper summarized the applied research of the Karnaugh map more systematically. This paper analyzed the application from easy to difficult, on the one hand to a wide range. Systematic summary to give readers a more intuitive and comprehensive understanding of the Karnaugh map for the Karnaugh map, the application Karnaugh map.Key words: Karnaugh map; logic function; minterm
中图分类号：TP33文献标识码：A文章编号：2095-2104（2012）02-
随着数字技术的快速发展，现代电子设备已经从模拟化向数字化转变。目前，大多数电路只在信号采集、微弱信号放大、高频大功率输入等局部采用模拟电路，其余部分广泛采用数字技术及数字处理电路。因此，对数字电路的分析与研究成为电子工程技术人员必须掌握的知识。在数字电子技术中数字逻辑电路的设计是非常重要的，而卡诺图在逻辑电路设计中又起到非常重要的作用，所以本文对卡诺图的应用作出进一步的分析与讨论。
1 逻辑函数卡诺图
运用代数法化简逻辑函数时，必须熟练掌握逻辑代数的基本公式并具备一定的技巧。当输入变量数小于5时，采用卡诺图来化简逻辑函数是比较实用方便的。卡诺图就是将n变量的全部最小项放在各方格中，并按循环码顺序排列，使几何相邻的小方格具有逻辑相邻性。n变量卡诺图具成2n个方格，每个方格对应放置一个最小项。循环码顺序使得是指相邻的两个最小项编码之间只有一位不同的编码。图1-1给出了2～4变量的卡诺图。
（a）2变量（b）3变量 （c）4变量
图1-12～4变量卡诺图
2 运用卡诺图化简逻辑函数
2.1 用卡诺图表示逻辑函数
由于任何一个逻辑函数均可以表示成若干个最小项之和形式，所以同样可以用卡诺图表示逻辑函数。下面举例说明得到逻辑函数卡诺图的几种方法。
(1) 把逻辑函数变换成最小项表达式
例2.1：画出逻辑函数的卡诺图。
首先将所给的逻辑函数变换成它的最小项表达式。
根据卡诺图的构成方法,很容易得到该函数的卡诺图,如图2-1所示。
(2) 把逻辑函数转换为真值表
例2.2：画出逻辑函数的卡诺图。
首先列出所给函数的真值表，如表2-1所示。
表2-1 例2.2逻辑函数真指表
然后根据卡诺图的构成原则，便得到该函数的卡诺图，如图2-2所示。
图2-1 例2.1逻辑函数卡诺图 图2-2 例2.2逻辑函数卡诺图
(3) 由逻辑函数的与-或式直接画卡诺图
例2.3：画逻辑函数的卡诺图。
首先画出4变量卡诺图，然后将所给函数的各乘积项直接填入卡诺图中。具体方法是，函数中乘积项就是一个最小项，在图2-3 m2方格内填入“1”。乘积项，不是最小项，它缺两个变量B和C，因此它包含4个最小项，故可在卡诺图中找出变量AD取值为00的4个方格，并在这4个方格填入“1”。同理，乘积项也可以找到相应的最小项方格，如图2-3所示。
由上可知，乘积项直接填卡诺图的原则是：n变量逻辑函数，每个最小项应包括n个变量，若乘积项中缺少i个变量（i=1,2,3,…）,则此乘积项应包括2i个最小项，卡诺图中应有相应的2i个方格填入“1”。
2.2 利用卡诺图合并最小项
由于只有一个变量取值不同的最小项合并成一项就可消去一个变量。表现在卡诺图上，就是相邻1方格的合并问题。把2n个逻辑相邻1方格圈起来，就可消去那个n个取值发生变化的变量。
图2-3 例2.3逻辑函数卡诺图 图2-4 可合并1方格的3变量卡诺图
如图2-4可以看出，任意两个相邻小方格之间具有逻辑相邻性，而且行（或列）的首尾（两端）的方格也具有逻辑相邻性。例如：在图2-4（a）中，把带1的相邻方格3和7圈起来，相当于合并最小项m3和m7，消去取值不同的变量A，保留取值相同的变量BC。在图2-4（b）中，把为1的小方格4和6圈起来，合并这两个最小项，消去取值不同的变量B，保留取值相同的变量AC，由于A的取值是1，C的取值是0，故图2-4（b）所示的结果为。
4个相邻小方格的合并。在卡诺图中，把最小项为1的4个相邻小方格圈起来，可以合并成一项，并消去取值不同的两个变量。对于图2-5（a）,把4个为1的几何相邻小方格圈起来，组成一个正方形，在这个圈1的正方形中，列对应的变量AB，A的取值相同，B的取值不同，而行所对应的变量CD，C的取值相同，D的取值不同，舍去取值不同的两个变量BD，结果为取值相同的两个变量AC。故图2-5（a）的结果为。在图2-5（b）中，把4個为1的几何相邻的小方格圈起来组成一个长方形，从图上可以看出，列所对应的变量AB的取值不同，而行中对应的变量取值相同，舍去AB，保留CD。由于C的取值为0，D的取值为1，故图2-5（b）的结果为。在图2-5（c）和（d）中，其相邻项如图所示，其结果分别为，。
图2-5 可合并1方格的4变量卡诺图
2.3 利用卡诺图化简逻辑函数
运用卡诺图化简逻辑函数时应遵循如下步骤：
（1）将逻辑函数化为最小项形式；
（2）做出该逻辑函数的卡诺图；
（3）合并若干最小项；
（4）得到化简后的逻辑式。
例2.4：试用卡诺图化简法求逻辑函数 Y=（A，B，C，D）=∑（0，2，5，8，10，13）的最简与或表达式。
解：画出4变量的卡诺图。如图2-6所示。根据给定的函数式，在卡诺图中所对应的小方格处填1。在卡诺图上分别圈出m0,m2,m5,m8,m10,m13。最后得出合并后的最简与或表达式。
图2-6 例2.4逻辑函数卡诺图图2-7 例2.5逻辑函数卡诺图
2.5利用卡诺图求反函数
一般情况下，运用卡诺图求反函数应该遵循的原则是：将原函数卡诺图中每格取反后填入新图，即1变0，0变1。如果有约束则不变。
例2.7：已知，求。
解：首先画出已知函数的卡诺图，如图2-10（a）所示。
图2-10 例2.7逻辑函数卡诺图
由图2-10（b）直接可得出其反函数。
3 卡诺图的基本运算
3.1卡诺图相加
两卡诺图相加，表示它们代表的两个函数相加，如图3-1所示。
图3-1 卡诺图相加
证明：
由此可见，卡诺图相加的规律是： 变量相同的两个卡诺图相加，凡两图相同位置的“1”格，在和的图中只保留一个“1”，凡两个图不同位置的“1”格，均需表示在和的图中。
3.2 卡诺图相乘
两卡诺图相乘，表示它们代表的两个函数相乘，如图3-2所示。
图3-2 卡诺图相乘
证明：Y1=m0+m3+m5+m6
Y2=m0+m1+m3+m4+m6+m7
Y=Y1×Y2=(m0+m3+m5+m6)( m0+m1+m3+m4+m6+m7)
=m0m0+m3m3+m6m6
=m0+m3+m6
因为mi×mj=0(i≠j)，根据最小项性质。
由此可见两卡诺图相乘的规律是：变量相同的两卡诺图相乘，只有两图中位置相同的“1”格才被保留在积的卡诺图中。
4 逻辑函数的级门实现
4.1 逻辑函数的两级门的实现
在允许双轨输入时，可采用两级门电路的实现，将函数的最简与-或式两次取非，根据反演定律，即可得到两级与非表达式[9]。
如：
然后画出相应的逻辑图，如图4-1所示。
图4-1 逻辑图1
如：
用两级与非门实现下面函数Y=（A，B，C，D）=∑（0，1，4，5，6，7，8，9，14，15）
解：首先作出该函数的卡诺图，如图4-2（a）所示。由卡诺图得
将上式取反，根据反演定律得
得出逻辑图如图4-2（b）所示。
图4-2 逻辑图2
4.2 逻辑函数的三级门实现
在单轨输入，即输入信号源不提供反变量时，只能由电路本身提供所需的反变量。最常用的方法是对每一个输入原变量增加一个非门，产生所需的反变量，因此在两级门的基础上构成了三级门电路。如图4-3所示。
图4-3 逻辑图3
有几个输入变量就需要几个非门。很显然不但增加了电路的复杂性，而且还增加了开销。下面将介绍一种节省元器件的方法，即阻塞法。
4.2.1 阻塞逻辑
卡诺图包含111和000两个特殊的方格。即全1格和全0格。又称1重心和0重心。如图4-4所示。在化简函数为最简与-或式时，卡诺图中所有的圈包含下面四种情况。
（1）两个重心都包含的圈只有一個，即恒为1；
（2）两个重心都不包含的圈，其标注既有原变量又有反变量；
（3）包含1重心的圈需用原变量标注；
（4）包含0重心的圈需用反变量标注。
所以，可以根据设计的需要进行画出相应的包围圈。如三级门设计中，输入全为原变量，就需要用绕1重心取圈。当然在画圈时，0方格也有被圈入的可能。所以就要想法删掉圈入的0方格，用被删掉的最小项的非乘之来删掉，即阻塞逻辑。过程如图4-4所示。
图4-4 阻塞逻辑卡诺图
参考文献
[1] 刘培植.数字电路设计与数字系统.北京：北京邮电大学出版社，2003：14-18，56-60
[2] 赵六骏，金玉良.数字电路与逻辑设计.北京：北京邮电大学出版社,1995：27-34
[3] 阎石.数字电子技术.北京：高等教育出版社,1995：40-42
[4] 梁明理，邓仁清.电子线路. 第四版.北京：高等教育出版社，2005：396-406, 494-499
[5] 朱昕昭,刘正光.逻辑函数卡诺图化简研究.河北大学学报.1999，19(3)：284-287
[6] 阎石. 数字电子电路.北京：中央广播电视大学出版社，1995：60-67
注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。
关键词 卡诺图；逻辑函数；最小项
Abstract: this paper summarized the applied research of the Karnaugh map more systematically. This paper analyzed the application from easy to difficult, on the one hand to a wide range. Systematic summary to give readers a more intuitive and comprehensive understanding of the Karnaugh map for the Karnaugh map, the application Karnaugh map.Key words: Karnaugh map; logic function; minterm
中图分类号：TP33文献标识码：A文章编号：2095-2104（2012）02-
随着数字技术的快速发展，现代电子设备已经从模拟化向数字化转变。目前，大多数电路只在信号采集、微弱信号放大、高频大功率输入等局部采用模拟电路，其余部分广泛采用数字技术及数字处理电路。因此，对数字电路的分析与研究成为电子工程技术人员必须掌握的知识。在数字电子技术中数字逻辑电路的设计是非常重要的，而卡诺图在逻辑电路设计中又起到非常重要的作用，所以本文对卡诺图的应用作出进一步的分析与讨论。
1 逻辑函数卡诺图
运用代数法化简逻辑函数时，必须熟练掌握逻辑代数的基本公式并具备一定的技巧。当输入变量数小于5时，采用卡诺图来化简逻辑函数是比较实用方便的。卡诺图就是将n变量的全部最小项放在各方格中，并按循环码顺序排列，使几何相邻的小方格具有逻辑相邻性。n变量卡诺图具成2n个方格，每个方格对应放置一个最小项。循环码顺序使得是指相邻的两个最小项编码之间只有一位不同的编码。图1-1给出了2～4变量的卡诺图。
（a）2变量（b）3变量 （c）4变量
图1-12～4变量卡诺图
2 运用卡诺图化简逻辑函数
2.1 用卡诺图表示逻辑函数
由于任何一个逻辑函数均可以表示成若干个最小项之和形式，所以同样可以用卡诺图表示逻辑函数。下面举例说明得到逻辑函数卡诺图的几种方法。
(1) 把逻辑函数变换成最小项表达式
例2.1：画出逻辑函数的卡诺图。
首先将所给的逻辑函数变换成它的最小项表达式。
根据卡诺图的构成方法,很容易得到该函数的卡诺图,如图2-1所示。
(2) 把逻辑函数转换为真值表
例2.2：画出逻辑函数的卡诺图。
首先列出所给函数的真值表，如表2-1所示。
表2-1 例2.2逻辑函数真指表
然后根据卡诺图的构成原则，便得到该函数的卡诺图，如图2-2所示。
图2-1 例2.1逻辑函数卡诺图 图2-2 例2.2逻辑函数卡诺图
(3) 由逻辑函数的与-或式直接画卡诺图
例2.3：画逻辑函数的卡诺图。
首先画出4变量卡诺图，然后将所给函数的各乘积项直接填入卡诺图中。具体方法是，函数中乘积项就是一个最小项，在图2-3 m2方格内填入“1”。乘积项，不是最小项，它缺两个变量B和C，因此它包含4个最小项，故可在卡诺图中找出变量AD取值为00的4个方格，并在这4个方格填入“1”。同理，乘积项也可以找到相应的最小项方格，如图2-3所示。
由上可知，乘积项直接填卡诺图的原则是：n变量逻辑函数，每个最小项应包括n个变量，若乘积项中缺少i个变量（i=1,2,3,…）,则此乘积项应包括2i个最小项，卡诺图中应有相应的2i个方格填入“1”。
2.2 利用卡诺图合并最小项
由于只有一个变量取值不同的最小项合并成一项就可消去一个变量。表现在卡诺图上，就是相邻1方格的合并问题。把2n个逻辑相邻1方格圈起来，就可消去那个n个取值发生变化的变量。
图2-3 例2.3逻辑函数卡诺图 图2-4 可合并1方格的3变量卡诺图
如图2-4可以看出，任意两个相邻小方格之间具有逻辑相邻性，而且行（或列）的首尾（两端）的方格也具有逻辑相邻性。例如：在图2-4（a）中，把带1的相邻方格3和7圈起来，相当于合并最小项m3和m7，消去取值不同的变量A，保留取值相同的变量BC。在图2-4（b）中，把为1的小方格4和6圈起来，合并这两个最小项，消去取值不同的变量B，保留取值相同的变量AC，由于A的取值是1，C的取值是0，故图2-4（b）所示的结果为。
4个相邻小方格的合并。在卡诺图中，把最小项为1的4个相邻小方格圈起来，可以合并成一项，并消去取值不同的两个变量。对于图2-5（a）,把4个为1的几何相邻小方格圈起来，组成一个正方形，在这个圈1的正方形中，列对应的变量AB，A的取值相同，B的取值不同，而行所对应的变量CD，C的取值相同，D的取值不同，舍去取值不同的两个变量BD，结果为取值相同的两个变量AC。故图2-5（a）的结果为。在图2-5（b）中，把4個为1的几何相邻的小方格圈起来组成一个长方形，从图上可以看出，列所对应的变量AB的取值不同，而行中对应的变量取值相同，舍去AB，保留CD。由于C的取值为0，D的取值为1，故图2-5（b）的结果为。在图2-5（c）和（d）中，其相邻项如图所示，其结果分别为，。
图2-5 可合并1方格的4变量卡诺图
2.3 利用卡诺图化简逻辑函数
运用卡诺图化简逻辑函数时应遵循如下步骤：
（1）将逻辑函数化为最小项形式；
（2）做出该逻辑函数的卡诺图；
（3）合并若干最小项；
（4）得到化简后的逻辑式。
例2.4：试用卡诺图化简法求逻辑函数 Y=（A，B，C，D）=∑（0，2，5，8，10，13）的最简与或表达式。
解：画出4变量的卡诺图。如图2-6所示。根据给定的函数式，在卡诺图中所对应的小方格处填1。在卡诺图上分别圈出m0,m2,m5,m8,m10,m13。最后得出合并后的最简与或表达式。
图2-6 例2.4逻辑函数卡诺图图2-7 例2.5逻辑函数卡诺图
2.5利用卡诺图求反函数
一般情况下，运用卡诺图求反函数应该遵循的原则是：将原函数卡诺图中每格取反后填入新图，即1变0，0变1。如果有约束则不变。
例2.7：已知，求。
解：首先画出已知函数的卡诺图，如图2-10（a）所示。
图2-10 例2.7逻辑函数卡诺图
由图2-10（b）直接可得出其反函数。
3 卡诺图的基本运算
3.1卡诺图相加
两卡诺图相加，表示它们代表的两个函数相加，如图3-1所示。
图3-1 卡诺图相加
证明：
由此可见，卡诺图相加的规律是： 变量相同的两个卡诺图相加，凡两图相同位置的“1”格，在和的图中只保留一个“1”，凡两个图不同位置的“1”格，均需表示在和的图中。
3.2 卡诺图相乘
两卡诺图相乘，表示它们代表的两个函数相乘，如图3-2所示。
图3-2 卡诺图相乘
证明：Y1=m0+m3+m5+m6
Y2=m0+m1+m3+m4+m6+m7
Y=Y1×Y2=(m0+m3+m5+m6)( m0+m1+m3+m4+m6+m7)
=m0m0+m3m3+m6m6
=m0+m3+m6
因为mi×mj=0(i≠j)，根据最小项性质。
由此可见两卡诺图相乘的规律是：变量相同的两卡诺图相乘，只有两图中位置相同的“1”格才被保留在积的卡诺图中。
4 逻辑函数的级门实现
4.1 逻辑函数的两级门的实现
在允许双轨输入时，可采用两级门电路的实现，将函数的最简与-或式两次取非，根据反演定律，即可得到两级与非表达式[9]。
如：
然后画出相应的逻辑图，如图4-1所示。
图4-1 逻辑图1
如：
用两级与非门实现下面函数Y=（A，B，C，D）=∑（0，1，4，5，6，7，8，9，14，15）
解：首先作出该函数的卡诺图，如图4-2（a）所示。由卡诺图得
将上式取反，根据反演定律得
得出逻辑图如图4-2（b）所示。
图4-2 逻辑图2
4.2 逻辑函数的三级门实现
在单轨输入，即输入信号源不提供反变量时，只能由电路本身提供所需的反变量。最常用的方法是对每一个输入原变量增加一个非门，产生所需的反变量，因此在两级门的基础上构成了三级门电路。如图4-3所示。
图4-3 逻辑图3
有几个输入变量就需要几个非门。很显然不但增加了电路的复杂性，而且还增加了开销。下面将介绍一种节省元器件的方法，即阻塞法。
4.2.1 阻塞逻辑
卡诺图包含111和000两个特殊的方格。即全1格和全0格。又称1重心和0重心。如图4-4所示。在化简函数为最简与-或式时，卡诺图中所有的圈包含下面四种情况。
（1）两个重心都包含的圈只有一個，即恒为1；
（2）两个重心都不包含的圈，其标注既有原变量又有反变量；
（3）包含1重心的圈需用原变量标注；
（4）包含0重心的圈需用反变量标注。
所以，可以根据设计的需要进行画出相应的包围圈。如三级门设计中，输入全为原变量，就需要用绕1重心取圈。当然在画圈时，0方格也有被圈入的可能。所以就要想法删掉圈入的0方格，用被删掉的最小项的非乘之来删掉，即阻塞逻辑。过程如图4-4所示。
图4-4 阻塞逻辑卡诺图
参考文献
[1] 刘培植.数字电路设计与数字系统.北京：北京邮电大学出版社，2003：14-18，56-60
[2] 赵六骏，金玉良.数字电路与逻辑设计.北京：北京邮电大学出版社,1995：27-34
[3] 阎石.数字电子技术.北京：高等教育出版社,1995：40-42
[4] 梁明理，邓仁清.电子线路. 第四版.北京：高等教育出版社，2005：396-406, 494-499
[5] 朱昕昭,刘正光.逻辑函数卡诺图化简研究.河北大学学报.1999，19(3)：284-287
[6] 阎石. 数字电子电路.北京：中央广播电视大学出版社，1995：60-67
注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。