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摘 要：首先在用力密度法对张拉整体单元找形的基础上，对模块化组合的张拉整体结构进行找形分析;其次以三杆张拉整体单元及双模块结构为算例，用Matlab工具软件编程绘出结构的形态，同时阐述这种组合结构的形态特性;最后验证了这种找形可以推广到任意N模块，对实际工程应用具有重要意义。
关键词：张拉整体结构单元;找形;力密度法;模块化组合
0 引言
“张拉整体”这一概念最初由美国学者Fuller提出[1]，由此概念，张拉整体结构被各国学者广泛研究，并且将张拉整体结构（Tensegrity Structures）定义为：一种处于自平衡状态的特殊索杆结构[2]，索杆的组合使结构处于连续张拉状态并保持稳定。张拉整体结构最早广泛应用于雕塑作品中[3]，近几十年逐渐成为国内外热门话题，学者们将这种结构与拓扑结构联系起来，从而把张拉整体思想逐渐应用到实际工程中，涉及航空航天、建筑、生物、智能机器人等多个领域。
张拉整体结构的形状具有多样性，找形是为了使其几何形式满足自应力准则[4]，确定其几何构型及其预应力，来形成一种自平衡且稳定的体系，它是张拉整体结构设计中的关键。张拉整体结构找形中常见的算法有力密度法、数值方法[5]、改进鱼群算法[6]、粒子群算法[7]、遗传算法[8]等，其中力密度法是一个被广泛认可的重要找形方法。
通过连接组合张拉整体单元形成的模块化张拉整体结构是建立模块化张拉整体结构的主要方法。Snelson在1968年建立了通过沿着轴线连接的张拉整体结构[9];Fuller提出了最初的线型张拉整体结构并构造出了理想状态的线型张拉整体[10]，所以这种线型的连接是模块化组合的最普遍方法。
本文以张拉整体单元为研究对象，用数值方法求出節点坐标，通过力密度法找到结构的平衡构型，以三杆张拉整体结构单元为算例，先对三杆张拉整体结构找形，再引入重叠率方程对找形后的单元模型进行模块化组合。利用工具软件Matlab编程绘出组合后的图形，并对最终形成的模块化结构的特性进行分析。
1 张拉整体单元找形
力密度法最早由Linkwitz和Schek于1971年提出[11]，由Vassart和Motro[12]于1999年首次用于张拉整体结构的找形分析;利用力密度法找形时需要设定的基本参数有结构的拓扑构型（即求连接矩阵）、边界约束条件、平衡状态内力等，计算结构的力密度和各个杆件的力密度值，从而确定结构构型中的预应力。
1.1 建立结构的拓扑构型
张紧结构预应力的稳定性取决于连通性，这里用连接矩阵表示其结构构型。
张拉整体结构中一个成员l的两端节点由a指向b，在a-b节点的连通性矩阵Cl可定义如下：
Cl（a，b）= 1， l的连接起点a，-1，l的连接终点b， 0， 无连接关系 （1）
基于公式（1），节点间的连接关系用连接矩阵表示为：
1.2 以节点坐标建立平衡矩阵
结构中每个节点处的平衡方程由力密度和连接到节点的绳索表示，节点和连接节点之间的节点的坐标差与力密度有关，力密度与外部载荷处于平衡状态，结构处于平衡状态时，可以表示为：
Aq=f（3）
式中：A为结构系统中杆的平衡矩阵;q为杆的力密度向量;f为作用在节点上的外部载荷。
可以构造出如下形式平衡矩阵：
A=CTdiag（Cx）CTdiag（Cy）CTdiag（Cz）（4）
1.3 力密度
力密度矩阵表示为：
D=CTdiag（q）C（5）
力密度矩阵D中元素按式（6）可以求出：
D（a，b）= -qab， 如果a≠l，∑l=a qal， 如果a=l，求和 0， a与l不相连，（6）
1.4 平衡矩阵奇异值分解
将平衡矩阵奇异值分解：
A=M∑NT（7）
其中Mk=[m1 m2 … mk]是平衡矩阵A分解成的一个左奇异向量，Ns=[n1 n2 … ns]是平衡矩阵A分解成的一个右奇异向量，diag（*）和∑为对角矩阵。
1.5 数值算例
以图1的三杆张拉整体结构为例：在结构的底面三角形建立笛卡儿坐标系，其中上下端面扭转角度θ、杆长ls、水平索长lt为已知条件，利用公式（8）（9）（10）求上下端面外接圆半径r、高度h及最小竖索长lc，求出节点坐标向量x、y、z。
h2=ls 2-（2r2-2r2cos θ）（9）
lc 2=h2+2r2-2r2cos（-θ）（10）
建立连接矩阵：
C=1 -1 0 0 0 00 1 -1 0 0 01 0 -1 0 0 00 0 0 1 -1 00 0 0 0 1 -10 0 0 1 0 -11 0 0 0 0 -10 1 0 -1 0 00 0 1 0 -1 01 0 0 -1 0 00 1 0 0 -1 00 0 1 0 0 -1（11） x、y、z节点坐标向量，利用三棱柱张拉整体结构的对称性，6个节点的平衡相同，节点1在x、y、z的平衡方程表示如下：
（x1-x1′）qs+（x1-x3′）qc+（x1-x2）qt+（x1-x3）qt=0，（y1-y1′）qs+（y1-y3′）qc+（y1-y2）qt+（y1-y3）qt=0，（z1-z1′）qs+（z1-z3′）qc+（z1-z2）qt+（z1-z3）qt=0（12）
假设水平索在x-y平面的力密度为qt=1，通过公式（12）得到杆的力密度qs=q，竖索力密度qc=-qs，根据力密度关系得出力密度向量为：
q=[qc … qs … qc …]T（13）
利用Matlab软件编程计算结果，最终得出的特征值矩阵中有6个为0的特征值表示无意义，一个大于0的特征值表示自应力状态，所以结构处于自平衡状态。三杆张拉整体结构找形结果如图2所示。
2 模块化组合
Snelson的专利“连续张力，不连续压缩结构”中描述了通过简单模块构造高度复杂的张紧结构，这里称为“模块化张拉整体结构”[13]。
2.1 双模块组合
如图3所示，两个模块组合后的重叠部分用类似于马鞍形的电缆代替三角形电缆，并添加了斜索以对结构施加预应力，其中每个模块高度为h，马鞍形电缆重叠高度为H，重叠部分可表示为模块的高度比η=H/h[14]。
Nishimura[14]提出了用于每一模块有m个杆件支撑的双模块张拉整体结构计算重叠率η的方程：
2.2 数值算例
对于每一模块杆数m=3的张拉整体单元，上下平面的外接圆半径相同，r1=r2=r，式（14）可以简化为式（15），其中η与变量θ有关。
利用上述三杆张拉整体单元找形的力密度法，引入重叠率η，用Matlab编程后的双模块结构组合如图3所示，根据找形结果搭建的实物模型如图4所示。
这种方法可以推广到任意N层结构，例如：图5为10层模块化结构的找形结果，图6为其俯视图。从俯视图可以看出这种找形后的结构外轮廓近似圆形，说明这种结构具有稳定性，这种力密度算法适用于模块化组合结构。
2.3 结构特性
这种模块化组合的结构具有以下特性：
（1）这种点与索连接组合的张拉整体结构具有一定的柔韧性和弹性，适用于工程实践中建造大型结构;（2）重叠率对结构稳定性有一定影响，结构会受到从顶层到底层的压力作用，但N层结构可以通过每层单元的左右旋转来抵消;（3）力密度法可以用于模块化组合的找形，找形后的模块化张拉整体结构也具有稳定性。
3 结语
本文通过力密度法对张拉整体单元找形，将找形后的张拉整体单元进行模块化组合设计，以三杆张拉整体结构单元为算例，用Matlab编程得出找形后的构型，验证了这种找形方法不但适用于基础单元的找形，而且适用于模块化组合结构的找形分析，分析这种模块组合后复杂的线型结构的特性，消除了单一结构形态不稳定造成的应用局限性，使这种结构能更好地应用于实践工程中。
[参考文献]
[1] SKELTON ROBERT E，OLIVEIRA MAURICIO C.Tensegrity Systems[M].Berlin：Springer，2009.
[2] ESTHER R A.Deployable Structures[M].London： Laurence King Publishing， 2015.
[3] GAN B S.Computational Modeling of Tensegrity Structures：Art，Nature，Mechanical and Biological Systems[M].Berlin：Springer，2020.
[4] GUNNAR T.Deployable Tensegrity Structures for Space Application[D].Stockholm：KTH Royal Institute of Technology Department of Mechanics，2002.
[5] ESTRADA G G，BUNGARTZ H J，MOHRDIECK C.Numerical form-finding of Tensegrity Structures[J].Internat-
ional Journal of Solids and Structures，2006，43（22/23）：6855-6868.
[6] ZHANG L Y，LI Y，CAO Y P，et al.Stiffness Matrix Based Form-finding Method of Tensegrity Structures[J].Engineering Structures，2014，58：36-48.
[7] 伍藝，陆金钰，沈圣.粒子群算法在张拉整体结构找形中的应用[C]//第十六届空间结构学术会议论文集，2016：403-409.
[8] XU X，LUO Y Z.Form-finding of Nonregular Tensegri-
ties Using a Genetic Algorithm[J].Mechanics Research Communication，2010，37（1）：85-91. [9] ASHWEAR N，TAMADAPU G，ERIKSSON A.Optimization of Modular Tensegrity Structures for High Stiffness and Frequency Separation Requirements[J].International Journal of Solids and Structures，2016，80：297-309.
[10] 伍艺.张拉整体结构多稳态找形分析及力学性能研究[D].南京：东南大学，2018.
[11] LINKWITZ K.Formfinding by the “Direct Approach” and Pertinent Strategies for the Conceptual Design of Prestressed and Hanging Structures[J].International Journal of Space Structures，1999，14（2）：73-87.
[12] VASSART N，MOTRO R.Multiparametered Formfinding Method：Application to Tensegrity Systems[J].International Journal of Space Structures，1999，
14（2）：147-154.
[13] SNELSON K D.Continuous Tension，Discontinuous Compression Structures：US1449160A[P].1965-02-16.
[14] NISHIMURA Y.Static and Dynamic Analyses of Tensegrity Structures[D].San Diego：University of California，2000.
收稿日期：2021-04-21
作者简介：程丽（1980—），女，河北邯郸人，中國科学院沈阳自动化研究所博士后，沈阳大学副教授，硕士生导师，研究方向：数控技术与机器人技术。
通信作者：张赵威（1990—），男，安徽亳州人，中国科学院沈阳自动化研究所硕士生导师，研究方向：机构学、多体动力学。
关键词：张拉整体结构单元;找形;力密度法;模块化组合
0 引言
“张拉整体”这一概念最初由美国学者Fuller提出[1]，由此概念，张拉整体结构被各国学者广泛研究，并且将张拉整体结构（Tensegrity Structures）定义为：一种处于自平衡状态的特殊索杆结构[2]，索杆的组合使结构处于连续张拉状态并保持稳定。张拉整体结构最早广泛应用于雕塑作品中[3]，近几十年逐渐成为国内外热门话题，学者们将这种结构与拓扑结构联系起来，从而把张拉整体思想逐渐应用到实际工程中，涉及航空航天、建筑、生物、智能机器人等多个领域。
张拉整体结构的形状具有多样性，找形是为了使其几何形式满足自应力准则[4]，确定其几何构型及其预应力，来形成一种自平衡且稳定的体系，它是张拉整体结构设计中的关键。张拉整体结构找形中常见的算法有力密度法、数值方法[5]、改进鱼群算法[6]、粒子群算法[7]、遗传算法[8]等，其中力密度法是一个被广泛认可的重要找形方法。
通过连接组合张拉整体单元形成的模块化张拉整体结构是建立模块化张拉整体结构的主要方法。Snelson在1968年建立了通过沿着轴线连接的张拉整体结构[9];Fuller提出了最初的线型张拉整体结构并构造出了理想状态的线型张拉整体[10]，所以这种线型的连接是模块化组合的最普遍方法。
本文以张拉整体单元为研究对象，用数值方法求出節点坐标，通过力密度法找到结构的平衡构型，以三杆张拉整体结构单元为算例，先对三杆张拉整体结构找形，再引入重叠率方程对找形后的单元模型进行模块化组合。利用工具软件Matlab编程绘出组合后的图形，并对最终形成的模块化结构的特性进行分析。
1 张拉整体单元找形
力密度法最早由Linkwitz和Schek于1971年提出[11]，由Vassart和Motro[12]于1999年首次用于张拉整体结构的找形分析;利用力密度法找形时需要设定的基本参数有结构的拓扑构型（即求连接矩阵）、边界约束条件、平衡状态内力等，计算结构的力密度和各个杆件的力密度值，从而确定结构构型中的预应力。
1.1 建立结构的拓扑构型
张紧结构预应力的稳定性取决于连通性，这里用连接矩阵表示其结构构型。
张拉整体结构中一个成员l的两端节点由a指向b，在a-b节点的连通性矩阵Cl可定义如下：
Cl（a，b）= 1， l的连接起点a，-1，l的连接终点b， 0， 无连接关系 （1）
基于公式（1），节点间的连接关系用连接矩阵表示为：
1.2 以节点坐标建立平衡矩阵
结构中每个节点处的平衡方程由力密度和连接到节点的绳索表示，节点和连接节点之间的节点的坐标差与力密度有关，力密度与外部载荷处于平衡状态，结构处于平衡状态时，可以表示为：
Aq=f（3）
式中：A为结构系统中杆的平衡矩阵;q为杆的力密度向量;f为作用在节点上的外部载荷。
可以构造出如下形式平衡矩阵：
A=CTdiag（Cx）CTdiag（Cy）CTdiag（Cz）（4）
1.3 力密度
力密度矩阵表示为：
D=CTdiag（q）C（5）
力密度矩阵D中元素按式（6）可以求出：
D（a，b）= -qab， 如果a≠l，∑l=a qal， 如果a=l，求和 0， a与l不相连，（6）
1.4 平衡矩阵奇异值分解
将平衡矩阵奇异值分解：
A=M∑NT（7）
其中Mk=[m1 m2 … mk]是平衡矩阵A分解成的一个左奇异向量，Ns=[n1 n2 … ns]是平衡矩阵A分解成的一个右奇异向量，diag（*）和∑为对角矩阵。
1.5 数值算例
以图1的三杆张拉整体结构为例：在结构的底面三角形建立笛卡儿坐标系，其中上下端面扭转角度θ、杆长ls、水平索长lt为已知条件，利用公式（8）（9）（10）求上下端面外接圆半径r、高度h及最小竖索长lc，求出节点坐标向量x、y、z。
h2=ls 2-（2r2-2r2cos θ）（9）
lc 2=h2+2r2-2r2cos（-θ）（10）
建立连接矩阵：
C=1 -1 0 0 0 00 1 -1 0 0 01 0 -1 0 0 00 0 0 1 -1 00 0 0 0 1 -10 0 0 1 0 -11 0 0 0 0 -10 1 0 -1 0 00 0 1 0 -1 01 0 0 -1 0 00 1 0 0 -1 00 0 1 0 0 -1（11） x、y、z节点坐标向量，利用三棱柱张拉整体结构的对称性，6个节点的平衡相同，节点1在x、y、z的平衡方程表示如下：
（x1-x1′）qs+（x1-x3′）qc+（x1-x2）qt+（x1-x3）qt=0，（y1-y1′）qs+（y1-y3′）qc+（y1-y2）qt+（y1-y3）qt=0，（z1-z1′）qs+（z1-z3′）qc+（z1-z2）qt+（z1-z3）qt=0（12）
假设水平索在x-y平面的力密度为qt=1，通过公式（12）得到杆的力密度qs=q，竖索力密度qc=-qs，根据力密度关系得出力密度向量为：
q=[qc … qs … qc …]T（13）
利用Matlab软件编程计算结果，最终得出的特征值矩阵中有6个为0的特征值表示无意义，一个大于0的特征值表示自应力状态，所以结构处于自平衡状态。三杆张拉整体结构找形结果如图2所示。
2 模块化组合
Snelson的专利“连续张力，不连续压缩结构”中描述了通过简单模块构造高度复杂的张紧结构，这里称为“模块化张拉整体结构”[13]。
2.1 双模块组合
如图3所示，两个模块组合后的重叠部分用类似于马鞍形的电缆代替三角形电缆，并添加了斜索以对结构施加预应力，其中每个模块高度为h，马鞍形电缆重叠高度为H，重叠部分可表示为模块的高度比η=H/h[14]。
Nishimura[14]提出了用于每一模块有m个杆件支撑的双模块张拉整体结构计算重叠率η的方程：
2.2 数值算例
对于每一模块杆数m=3的张拉整体单元，上下平面的外接圆半径相同，r1=r2=r，式（14）可以简化为式（15），其中η与变量θ有关。
利用上述三杆张拉整体单元找形的力密度法，引入重叠率η，用Matlab编程后的双模块结构组合如图3所示，根据找形结果搭建的实物模型如图4所示。
这种方法可以推广到任意N层结构，例如：图5为10层模块化结构的找形结果，图6为其俯视图。从俯视图可以看出这种找形后的结构外轮廓近似圆形，说明这种结构具有稳定性，这种力密度算法适用于模块化组合结构。
2.3 结构特性
这种模块化组合的结构具有以下特性：
（1）这种点与索连接组合的张拉整体结构具有一定的柔韧性和弹性，适用于工程实践中建造大型结构;（2）重叠率对结构稳定性有一定影响，结构会受到从顶层到底层的压力作用，但N层结构可以通过每层单元的左右旋转来抵消;（3）力密度法可以用于模块化组合的找形，找形后的模块化张拉整体结构也具有稳定性。
3 结语
本文通过力密度法对张拉整体单元找形，将找形后的张拉整体单元进行模块化组合设计，以三杆张拉整体结构单元为算例，用Matlab编程得出找形后的构型，验证了这种找形方法不但适用于基础单元的找形，而且适用于模块化组合结构的找形分析，分析这种模块组合后复杂的线型结构的特性，消除了单一结构形态不稳定造成的应用局限性，使这种结构能更好地应用于实践工程中。
[参考文献]
[1] SKELTON ROBERT E，OLIVEIRA MAURICIO C.Tensegrity Systems[M].Berlin：Springer，2009.
[2] ESTHER R A.Deployable Structures[M].London： Laurence King Publishing， 2015.
[3] GAN B S.Computational Modeling of Tensegrity Structures：Art，Nature，Mechanical and Biological Systems[M].Berlin：Springer，2020.
[4] GUNNAR T.Deployable Tensegrity Structures for Space Application[D].Stockholm：KTH Royal Institute of Technology Department of Mechanics，2002.
[5] ESTRADA G G，BUNGARTZ H J，MOHRDIECK C.Numerical form-finding of Tensegrity Structures[J].Internat-
ional Journal of Solids and Structures，2006，43（22/23）：6855-6868.
[6] ZHANG L Y，LI Y，CAO Y P，et al.Stiffness Matrix Based Form-finding Method of Tensegrity Structures[J].Engineering Structures，2014，58：36-48.
[7] 伍藝，陆金钰，沈圣.粒子群算法在张拉整体结构找形中的应用[C]//第十六届空间结构学术会议论文集，2016：403-409.
[8] XU X，LUO Y Z.Form-finding of Nonregular Tensegri-
ties Using a Genetic Algorithm[J].Mechanics Research Communication，2010，37（1）：85-91. [9] ASHWEAR N，TAMADAPU G，ERIKSSON A.Optimization of Modular Tensegrity Structures for High Stiffness and Frequency Separation Requirements[J].International Journal of Solids and Structures，2016，80：297-309.
[10] 伍艺.张拉整体结构多稳态找形分析及力学性能研究[D].南京：东南大学，2018.
[11] LINKWITZ K.Formfinding by the “Direct Approach” and Pertinent Strategies for the Conceptual Design of Prestressed and Hanging Structures[J].International Journal of Space Structures，1999，14（2）：73-87.
[12] VASSART N，MOTRO R.Multiparametered Formfinding Method：Application to Tensegrity Systems[J].International Journal of Space Structures，1999，
14（2）：147-154.
[13] SNELSON K D.Continuous Tension，Discontinuous Compression Structures：US1449160A[P].1965-02-16.
[14] NISHIMURA Y.Static and Dynamic Analyses of Tensegrity Structures[D].San Diego：University of California，2000.
收稿日期：2021-04-21
作者简介：程丽（1980—），女，河北邯郸人，中國科学院沈阳自动化研究所博士后，沈阳大学副教授，硕士生导师，研究方向：数控技术与机器人技术。
通信作者：张赵威（1990—），男，安徽亳州人，中国科学院沈阳自动化研究所硕士生导师，研究方向：机构学、多体动力学。