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摘 要：如何提高小学低段学生解决问题的能力？仁者见仁，智者见智。本文通过对一道一上教材提供的解决问题思考题的访谈分析，从学生、教师、教材等不同维度分析了错误原因，并进行了教学实践改进。从中提出：借助“画图”和“比较”两种策略对提高学生解决问题能力之裨益。
关键词：典型错题；解决问题；画图；比较
一、典型错例解读
1. 错题来源：人教版数学教材一上第8单元P100
2. 错题与错解呈现
3. 访谈真实记录
课堂上，在让学生完成课堂作业后进行了该典型错题的解答（考虑到学生的答题会影响学生的回答，教师都是先访谈再批改的）。
师：这道题你是怎么想的？为什么是“9 5=14”？
生：因为是求“一共有多少人？”，前面有9人，后面有5人，就是9 5=14人。
师：你认为这样做对吗？
生：对的呀。
此时，从学生的回答和表情中可见，他们认为自己的答题是万无一失的。
4. 错因分析
这是一年级上册数学教材第8单元《20以内的进位加法》中，在学生学习了20以内进位加法的基本方法、能比较熟练地计算20以内的进位加法以及能用加法解决一些简单的实际问题的基础上，教材提供的一道思考题。从学生的错解类型上看，错解非常集中地指向一种类型。测试班级全班47人中，除了有1人直接写出得数“14人”（也是错误的）之外，另有19人的错误如图1所示，错误率高达42.5%。为什么该题的错误类型那么一致且错误率那么高呢？笔者从教材、做错的学生和教师三个维度入手进行了调查分析（文字表述略），归因如下：
（1）学生角度
①学习迁移对解决问题的影响
学习的迁移性往往会对学生解决问题造成一定的影响。本册教材中，求“一共有多少”，几乎无一例外地是用加法解决，而且只要能找到题中提供的信息直接相加即可。一年级孩子的思维水平以具体、形象为主，当他们看到题目中显示的“前面有9人，后面有5人”这两个信息时，头脑中闪过的第一个念头就是必须用上这两个数字，而问题是“一共有多少人”， 受到教材中类似求和问题的迁移，孩子就顺势地想到用“9 5=14”来解决这个问题，这从访谈中也可见一斑。
②信息刺激的强弱对解决问题的影响
学生是非常容易受直接数据条件的影响的，他眼里看到的是什么，就是什么，而对文字隐含的间接信息容易忽视，甚至根本不作考虑。本题中，只关注到9和5，而忽略了“除了前面的人和后面的人之外，还有他自己本人”这一隱含信息。
（2）教师角度
笔者在对同年级组老师进行该题调查时发现，其他班级学生所犯错误基本雷同，并且指向集中，错误率也更高。而本题，在《教师教学用书》中明确指出“需要借助画图，帮助理解题意和解决问题，让学生感受画图策略的重要性”。而在测试时，没有一人用到画图来解决问题。当然，在进行该题测试时，教师并未进行事前干预，只让学生自己解决问题。但在之前第6单元的学习中，学生在解决类似“小丽排第10，小宇排第15，小丽和小宇之间有几人”时，学生已经学习了用画一画的方法来解决问题，这说明教师对于画图策略的指导力度不够。该题让学生自行解决问题，事前未加干预的教学方法也值得商榷。
（3）教材角度
根据调查结果显示，类似于典型错例的隐含隐蔽信息的求和应用问题，只此1题，仅占4%。虽然是作为思考题，但对于学生来说，还是显得很突兀。
二、教学改进实践
1. 唤醒经验，孕伏策略
在进行该题练习前，设计以下题目进行热身：
（1）一排小朋友，女生有8人，男生有5人，一共有多少人？
（2）小朋友排队，前面都是女生，有8人，后面都是男生，有5人，一共有多少人？直接列式，能画一画则更好。
2. 激发需要，感受策略
（1）出示例题：我前面有9人，后面有5人，一共有多少人？
①读题，你找到了哪些数学信息，要我们解决的问题是什么？
②“我”是谁？
（2）画图分析：
①小军前面有9人，后面有5人分别表示什么意思？
②小军前面的9人包不包括他自己？后面的5人呢？
（3）引导画图：
①根据刚才的分析，怎样列式解决？光是9 5行不行？为什么还要加1？这个“1”表示什么？
②用图画表示这个算式，该怎么表示？
③不写算式，你怎么考虑用图画？（前面9人，○○○○○○○○○，后面5人，○○○○○，再加上小军自己，□。即○○○○○○○○○□○○○○○）也可以看着图数一数，一共是15人。
学生从画图中得到了对算式的验证。
3. 灵活运用，提升策略
（1）出示延伸题：从前面数，小军排第9位，从后面数，他排第5位，一共有多少人？
（2）分析比较：从前面数，小军排第9位，从后面数，他排第5位，其实就是“小军前面有8人，后面有4人”，那就和典型错题一样了。画图为：○○○○○○○○□○○○○。
三、改进实践诠释
1. 进一步唤醒了孩子的画图意识
画图能力的高低，直接影响到孩子解决问题能力的强弱，因此作为教师，务必要把画图的策略作为解决问题的一个重要手段，要让学生把画图内化为自己的认知，并积极赋予行动。通过以上教学改进，学生从一开始的不想画图、想不到画图，到之后的通过读题、找相关信息和问题，再把文字信息转化成图画信息，用图画来进一步试着解释说明文字，这其实就是一个从“外化”到“内化”的过程，也是一个充分暴露数学学习思维的过程，更是一个提升画图策略、能力培养的过程。在这个过程中，孩子们在比比画画中感受了画图的方法，把探究新知的过程充分暴露出来，在思维的撞击中完善了画图意识，进一步理清了复杂信息之间的关系，可以说，孩子们的画图意识逐渐被唤醒，这就达到了数学学习的最佳效果。正如搭班的语文老师说：“这道题如果不画图，别说一年级的孩子，就是成人，也不一定马上就能解答出来，有图真好！” 2. 进一步培养了孩子比较策略应用的能力
在数学教学过程中，渗透比较的思想方法，探究数学问题，不仅能帮助学生辨清是非、去偽存真，揭示知识的本质，构建知识形成概念，更能帮助学生发展思维、提高能力。教师在进行教学时，尤其是遇到学生错误率较高的题时，应整体把握教材，深入挖掘例题和练习的内涵，让学生在整合和变化中充分与原认知基础进行比较和顺应，明白解决问题不仅仅是简单地模仿，而且还需要整体分析、充分理解题意，才能达到有效思维的目的。上述教学改进，在例题教学的基础上，与延伸题进行比较、分析，对两道题的理解均有很大裨益。当然，比较的方法很多，除了可以如上述比较外，这两题也可以以题组呈现的方式进行比较，把教学改进重点放在对比解读题组间信息的区别和联系上，力图使学生在比较中自觉揭示各部分之间的关系。效果也很好。
四、改进成效分析
1.学生的错误率与首次测试相比，明显减少，错误人数仅为6人，错误率占12.8%。
2. 与同年级的非实验班相比，正确率更加可观。选取一个非实验班为例，错误人数12人，错误率达25%。
3. 正确的学生中，有将近一半的学生用了画图的策略，或者边画图边列算式，如图2所示。
4. 对错误学生的访谈表明，就算是做错的学生，通过教师的略微引导，自己也能很快找到错误的地方。
师：这道题你是怎么想的？为什么是“9 5=14”？
生：因为前面有9人，后面有5人，就是9 5=14人。
师：真的是14人吗？如果老师告诉你，14人是错误的，你知道正确的应该是几人吗？
生（稍作思考）：呀，是15人。
师：那现在知道自己错了，是错在哪里呢？
生：没有加自己。
师：那正确的该怎么算？
生：老师，我可以画图吗？（得到允许后，画完图，并列式9 6=15人）
师：9表示前面有9人，老师不明白“6”表示什么。
生：他自己和后面的5人。
由此可见，学生的思维层次更高了。
5. 由于一年级错题库中还有另一题跟本题有所联系，但更难，作为一种资料的积累，笔者也一并作为一个测试。可喜的是，学生的错误率比典型错例第一次测试时要低。全班47人，14人错误，错误率为29.2%。
附另一典型错题：一排小朋友共11人，聪聪的右边有4人，聪聪的左边有几人？
关键词：典型错题；解决问题；画图；比较
一、典型错例解读
1. 错题来源：人教版数学教材一上第8单元P100
2. 错题与错解呈现
3. 访谈真实记录
课堂上，在让学生完成课堂作业后进行了该典型错题的解答（考虑到学生的答题会影响学生的回答，教师都是先访谈再批改的）。
师：这道题你是怎么想的？为什么是“9 5=14”？
生：因为是求“一共有多少人？”，前面有9人，后面有5人，就是9 5=14人。
师：你认为这样做对吗？
生：对的呀。
此时，从学生的回答和表情中可见，他们认为自己的答题是万无一失的。
4. 错因分析
这是一年级上册数学教材第8单元《20以内的进位加法》中，在学生学习了20以内进位加法的基本方法、能比较熟练地计算20以内的进位加法以及能用加法解决一些简单的实际问题的基础上，教材提供的一道思考题。从学生的错解类型上看，错解非常集中地指向一种类型。测试班级全班47人中，除了有1人直接写出得数“14人”（也是错误的）之外，另有19人的错误如图1所示，错误率高达42.5%。为什么该题的错误类型那么一致且错误率那么高呢？笔者从教材、做错的学生和教师三个维度入手进行了调查分析（文字表述略），归因如下：
（1）学生角度
①学习迁移对解决问题的影响
学习的迁移性往往会对学生解决问题造成一定的影响。本册教材中，求“一共有多少”，几乎无一例外地是用加法解决，而且只要能找到题中提供的信息直接相加即可。一年级孩子的思维水平以具体、形象为主，当他们看到题目中显示的“前面有9人，后面有5人”这两个信息时，头脑中闪过的第一个念头就是必须用上这两个数字，而问题是“一共有多少人”， 受到教材中类似求和问题的迁移，孩子就顺势地想到用“9 5=14”来解决这个问题，这从访谈中也可见一斑。
②信息刺激的强弱对解决问题的影响
学生是非常容易受直接数据条件的影响的，他眼里看到的是什么，就是什么，而对文字隐含的间接信息容易忽视，甚至根本不作考虑。本题中，只关注到9和5，而忽略了“除了前面的人和后面的人之外，还有他自己本人”这一隱含信息。
（2）教师角度
笔者在对同年级组老师进行该题调查时发现，其他班级学生所犯错误基本雷同，并且指向集中，错误率也更高。而本题，在《教师教学用书》中明确指出“需要借助画图，帮助理解题意和解决问题，让学生感受画图策略的重要性”。而在测试时，没有一人用到画图来解决问题。当然，在进行该题测试时，教师并未进行事前干预，只让学生自己解决问题。但在之前第6单元的学习中，学生在解决类似“小丽排第10，小宇排第15，小丽和小宇之间有几人”时，学生已经学习了用画一画的方法来解决问题，这说明教师对于画图策略的指导力度不够。该题让学生自行解决问题，事前未加干预的教学方法也值得商榷。
（3）教材角度
根据调查结果显示，类似于典型错例的隐含隐蔽信息的求和应用问题，只此1题，仅占4%。虽然是作为思考题，但对于学生来说，还是显得很突兀。
二、教学改进实践
1. 唤醒经验，孕伏策略
在进行该题练习前，设计以下题目进行热身：
（1）一排小朋友，女生有8人，男生有5人，一共有多少人？
（2）小朋友排队，前面都是女生，有8人，后面都是男生，有5人，一共有多少人？直接列式，能画一画则更好。
2. 激发需要，感受策略
（1）出示例题：我前面有9人，后面有5人，一共有多少人？
①读题，你找到了哪些数学信息，要我们解决的问题是什么？
②“我”是谁？
（2）画图分析：
①小军前面有9人，后面有5人分别表示什么意思？
②小军前面的9人包不包括他自己？后面的5人呢？
（3）引导画图：
①根据刚才的分析，怎样列式解决？光是9 5行不行？为什么还要加1？这个“1”表示什么？
②用图画表示这个算式，该怎么表示？
③不写算式，你怎么考虑用图画？（前面9人，○○○○○○○○○，后面5人，○○○○○，再加上小军自己，□。即○○○○○○○○○□○○○○○）也可以看着图数一数，一共是15人。
学生从画图中得到了对算式的验证。
3. 灵活运用，提升策略
（1）出示延伸题：从前面数，小军排第9位，从后面数，他排第5位，一共有多少人？
（2）分析比较：从前面数，小军排第9位，从后面数，他排第5位，其实就是“小军前面有8人，后面有4人”，那就和典型错题一样了。画图为：○○○○○○○○□○○○○。
三、改进实践诠释
1. 进一步唤醒了孩子的画图意识
画图能力的高低，直接影响到孩子解决问题能力的强弱，因此作为教师，务必要把画图的策略作为解决问题的一个重要手段，要让学生把画图内化为自己的认知，并积极赋予行动。通过以上教学改进，学生从一开始的不想画图、想不到画图，到之后的通过读题、找相关信息和问题，再把文字信息转化成图画信息，用图画来进一步试着解释说明文字，这其实就是一个从“外化”到“内化”的过程，也是一个充分暴露数学学习思维的过程，更是一个提升画图策略、能力培养的过程。在这个过程中，孩子们在比比画画中感受了画图的方法，把探究新知的过程充分暴露出来，在思维的撞击中完善了画图意识，进一步理清了复杂信息之间的关系，可以说，孩子们的画图意识逐渐被唤醒，这就达到了数学学习的最佳效果。正如搭班的语文老师说：“这道题如果不画图，别说一年级的孩子，就是成人，也不一定马上就能解答出来，有图真好！” 2. 进一步培养了孩子比较策略应用的能力
在数学教学过程中，渗透比较的思想方法，探究数学问题，不仅能帮助学生辨清是非、去偽存真，揭示知识的本质，构建知识形成概念，更能帮助学生发展思维、提高能力。教师在进行教学时，尤其是遇到学生错误率较高的题时，应整体把握教材，深入挖掘例题和练习的内涵，让学生在整合和变化中充分与原认知基础进行比较和顺应，明白解决问题不仅仅是简单地模仿，而且还需要整体分析、充分理解题意，才能达到有效思维的目的。上述教学改进，在例题教学的基础上，与延伸题进行比较、分析，对两道题的理解均有很大裨益。当然，比较的方法很多，除了可以如上述比较外，这两题也可以以题组呈现的方式进行比较，把教学改进重点放在对比解读题组间信息的区别和联系上，力图使学生在比较中自觉揭示各部分之间的关系。效果也很好。
四、改进成效分析
1.学生的错误率与首次测试相比，明显减少，错误人数仅为6人，错误率占12.8%。
2. 与同年级的非实验班相比，正确率更加可观。选取一个非实验班为例，错误人数12人，错误率达25%。
3. 正确的学生中，有将近一半的学生用了画图的策略，或者边画图边列算式，如图2所示。
4. 对错误学生的访谈表明，就算是做错的学生，通过教师的略微引导，自己也能很快找到错误的地方。
师：这道题你是怎么想的？为什么是“9 5=14”？
生：因为前面有9人，后面有5人，就是9 5=14人。
师：真的是14人吗？如果老师告诉你，14人是错误的，你知道正确的应该是几人吗？
生（稍作思考）：呀，是15人。
师：那现在知道自己错了，是错在哪里呢？
生：没有加自己。
师：那正确的该怎么算？
生：老师，我可以画图吗？（得到允许后，画完图，并列式9 6=15人）
师：9表示前面有9人，老师不明白“6”表示什么。
生：他自己和后面的5人。
由此可见，学生的思维层次更高了。
5. 由于一年级错题库中还有另一题跟本题有所联系，但更难，作为一种资料的积累，笔者也一并作为一个测试。可喜的是，学生的错误率比典型错例第一次测试时要低。全班47人，14人错误，错误率为29.2%。
附另一典型错题：一排小朋友共11人，聪聪的右边有4人，聪聪的左边有几人？