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我们知道,随着参数的不同,同一直线的参数方程也不同.过定点M0(x0,y0)、倾斜角为α的直线l的参数方程为
x=x0+tcosα,
y=y0+tsinα
(t为参数), 我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式,其中t表示直线l上以定点M0为起点,任意一点M(x,y)为终点的有向线段M0M的数量M0M.当点M在点M0的上方时,t>0;当点M在点M0的下方时,t<0;当点M与点M0重合时,t=0.很明显,我们也可以将参数t理解为以M0为原点,直线l向上(右)的方向为正方向的数轴上点M的坐标,其长度单位与原直角坐标系的长度单位相同.
用坐标的观点理解上述直线参数方程中的参数t,在解决有关直线问题时,可以自然地将新旧知识联系起来.
对于上述直线l的参数方程,设l上两点A、B所对应的参数分别为tA、tB,则
1.A、B两点之间的距离为|AB|=|tA-tB|,特别地,A、B两点到点M0的距离分别为|tA|、|tB|.
2.A、B两点连线的中点所对应的参数为tA+tB2,若点M0是线段AB的中点,则tA+tB=0,反之亦然.
3.若l上的点C所对应的参数为tC,C点分AB所成的比为λ,则tC=tA+λtB1+λ.
一、解决有关弦的定比分点,特别是中点问题
【例1】 已知抛物线y2=x上存在关于直线l:y-1=k(x-1)对称的两点,求k的取值范围.
解:设对称的两点为A,B,AB中点为P(x0,y0),
设lAB:x=x0+tcosα,y=y0+tsinα,
其中k=-cotα.
将lAB代入抛物线方程化简整理得t2sin2α+(2y0sinα-cosα)t+y20-x0=0.
设t1,t2为A,B所对应的参数,因为P是AB中点,所以t1+t2=0,
∴cosα-2y0sinαsin2α=0,∴cosα-2y0sinα=0,即y0=cosα2sinα=-k2.
又因为点P在直线l:y-1=k(x-1)上,所以x0=12-1k,即P(12-1k,-k2).
又点P在抛物线内部,所以y20 k24<12-1kk3-2k+4k<0(k+2)(k2-2k+2)k<0k(k+2)(k2-2k+2)<0k(k+2)<0.
所以-2 注:在参数方程中,点P(x0,y0)的选择是关键的一环,本题中选取弦AB中点为P,目的在于t1+t2=0.
【例2】 直线l与圆C:x2+y2=a2(a>0)交于P、Q两点,与双曲线S:x2-y2=a2(a>0)交于M、N两点,且P、Q三等分线段MN,求直线l的方程.
解:因为P、Q三等分线段MN,所以线段PQ与线段MN的中点重合.设PQ中点为G(x0,y0),
设直线l的参数方程是x=x0+tcosα,y=y0+tsinα,
分别代入圆C和双曲线S中化简整理得:
t2+(2x0cosα+2y0sinα)t+x20+y20-a2=0,①
t2cos2α+(2x0cosα-2y0sinα)t+x20-y20-a2=0.②
设t1,t2,t3,t4分别是点P、Q、M、N所对应的参数,则t1,t2是①的根,t3,t4是②的根.
因为t1+t2=0,t3+t4=0,
所以,x0cosα+y0sinα=0,x0cosα-y0sinα=0,
即x0cosα=0,y0sinα=0.
由题意知直线l不能垂直于x轴,所以cosα≠0,故x0=0,y0=0或x0=0,sinα=0.
(1)当x0=0,sinα=0时,这时可以设l:y=b,代入圆C和双曲线S得
|PQ|=2a2-b2,|MN|=2a2+b2,
因為|MN|=3|PQ|,所以b=±255a.
(2)当x0=0,y0=0时,可以设l:y=kx,代入双曲线S得(1-k2)x2=a2(|k|<1),
所以|MN|=21+k21-k2a,此时,PQ是圆C的直径,故|PQ|=2a,∴13|MN|=2a.
所以1+k21-k2=3,所以k2=45,即k=±255.
综上所述,直线l的方程是:y=±255a或y=±255x.
注:本题是用点差法或韦达定理进行求解,但比较容易遗漏平行于x轴时的情形.
二、求直线截圆锥曲线所得的弦长或求直线l上的定点M0到直线l与已知曲线的交点的距
离
【例3】 已知抛物线C:y2=x,长为l的线段AB的两个端点在抛物线C上运动,求线段AB中点P到y轴距离的最小值.
解:设点P(x0,y0),设AB所在的直线lAB:x=x0+tcosα,y=y0+tsinα,,
代入抛物线C化简整理得t2sin2α+(2y0sinα-cosα)t+y20-x0=0.
设t1,t2为A,B所对应的参数,则t1+t2=0,即2y0sinα-cosα=0,即y0=12cotα
所以|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=2x0-y20|sinα|=l,
所以x0=y20+14l2sin2α=14(cot2α+l2sin2α)=14(cot2α+1+l2cot2α+1)-14.
当0 所以点P到y轴距离的最小值是l24(0 【例4】 已知在抛物线y=x2上有一个正方形的三个顶点A、B、C,求这个正方形面积的最小值.
解:由对称性,不妨设B、C在y轴右侧,即BC的倾斜角α∈[π4,π2).
设B(x0,y0),
设lAB:x=x0-tsinα,y=y0+tcosα,
lBC:x=x0+tcosα,y=y0+tsinα.
把lBC代入抛物线方程中化简整理得t2cos2α+(2x0cosα-sinα)t+x20-y0=0.
因为点B在抛物线上,所以x20=y0,设t1是点A所对应的参数,则t1=sinα-2x0cosαcos2α.
设t2是B所对应的参数,同理可得t2=cosα+2x0sinαsin2α.
由于ABCD是正方形,所以|AB|=|BC|,又t1,t2都大于0,所以t1=t2,
即sinα-2x0cosαcos2α=cosα+2x0sinαsin2α,
所以x0=sin3α-cos3α2sinαcosα(sinα+cosα),
所以|BC|=t2=1sinαcosα(sinα+cosα).
令t=sinα+cosα∈(1,2],
此时|BC|=2t3-t,又因为t3-t在(1,2]上是增函数,∴|BC|≥222-2=2,
所以SABCD的最小值为2.
注:本题选定B作为定点很关键,就可以利用正方形这个条件得到AB的倾斜角比BC的倾斜角大π2,从而使得在解题中就只有一个未知量倾斜角α,明显比用传统方法简单.
三、与距离有关的轨迹问题
【例5】 已知椭圆C:x216+y29=1和直线l:x16+y9=1.从原点O出发的射线分别交第一象限内的椭圆C和直线l于点P、Q,点R在射线上,且满足|OP|2=|OQ|•|OR|,当射线运动时,求点R的轨迹方程.
解:设射线的倾斜角为α,设R(x,y),射线所在的直线的参数方程为x=tcosα,y=tsinα.将参数方程分别代入椭圆C和直线l,化简整理得t2(cos2α16+sin2α9)=1及t(cosα16+sinα9)=1,
设t1,t2,t分别是点P、Q、R所对应的参数,由参数的几何意义可知,t1,t2,t都大于0,
所以t1=|OP|,t2=|OQ|,t=|OR|,由条件得t21=t2•t,
又t21(cos2α16+sin2α9)=1,t2(cosα16+sinα9)=1,
所以t21t2(x216+y29)=1,
t2t(x16+y9)=1,
将t21=t2•t代入可得x216+y29=x16+y9.
又由于交点都在第一象限,故点R的轨迹方程是x216+y29=x16+y9(x>0,y>0).
【例6】 已知抛物线C:y2=4x,点A(a,0),B(b,0)(a>b>0)是两个定点,过A、B分别作直线l,m,使得l,m分别与抛物线C交于不同的四点M、N、G、H,若这四点共圆,求l与m的交点P的轨迹方程.
解:设直线l、m的交点为P(x0,y0),它们的倾斜角分别为α,β,则
l:x=x0+tcosα,y=y0+tsinα;
m:x=x0+tcosβ,y=y0+tsinβ.
分别代入抛物线C中化简得
t2sin2α+(2y0sinα-4cosα)t+y20-4x0=0.①
t2sin2β+(2y0sinβ-4cosβ)t+y20-4x0=0.②
设t1,t2,t3,t4分别是M、N、G、H所对应的参数(t1,t2是①的根,t3,t4是②的根),因為四个交点共圆,所以|PM|•|PN|=|PG|•|PH|,即|t1t2|=|t3t4|.
即|y20-4x0|sin2α=|y20-4x0|sin2β,因为点P不在抛物线上,所以y20-4x0≠0,故sinα=sinβ,
又l,m相交,所以α+β=π.
所以点P的轨迹方程是x=a+b2(y≠0且y≠±2(a+b)).
注:四点共圆的条件在解析几何中是一个不太常见的条件,比较常见的处理方法是相交弦定理.
从以上几个例题中可以看出,直线的参数方程比较适用于直线与圆锥曲线的位置关系中有关弦长、弦中点等问
题,而且往往能简化运算,其关键在于点P(x0,y0)的选择.
四、两点说明
1.若直线l的参数方程为一般形式x=x0+at,y=y0+bt
(t为参数),可把它化为标准形式x=x0+t′cosα,y=y0+t′sinα(t′为参数).
其中α是直线l的倾斜角tanα=ba,此时参数t′才有如前所说的几何意义.
2.有些问题可考虑用参数方程来解,也可考虑用普通方程来解,应以简便为原则,选用参数方程时也未必非用标准形式不可.
我们知道,当直线l经过点P(x0,y0),且倾斜角为α时,直线l的参数方程是:
x=x0+tcosα,y=y0+tsinα
(其中t是参数)
,参数t的几何意义是有向线段PQ的数量,其中Q(x,y).当t添加上绝对值后就变成了线段PQ的长度,所以直线的参数方程在解决与弦长有关的题目时具有很大的作用.
(责任编辑 金 铃)
x=x0+tcosα,
y=y0+tsinα
(t为参数), 我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式,其中t表示直线l上以定点M0为起点,任意一点M(x,y)为终点的有向线段M0M的数量M0M.当点M在点M0的上方时,t>0;当点M在点M0的下方时,t<0;当点M与点M0重合时,t=0.很明显,我们也可以将参数t理解为以M0为原点,直线l向上(右)的方向为正方向的数轴上点M的坐标,其长度单位与原直角坐标系的长度单位相同.
用坐标的观点理解上述直线参数方程中的参数t,在解决有关直线问题时,可以自然地将新旧知识联系起来.
对于上述直线l的参数方程,设l上两点A、B所对应的参数分别为tA、tB,则
1.A、B两点之间的距离为|AB|=|tA-tB|,特别地,A、B两点到点M0的距离分别为|tA|、|tB|.
2.A、B两点连线的中点所对应的参数为tA+tB2,若点M0是线段AB的中点,则tA+tB=0,反之亦然.
3.若l上的点C所对应的参数为tC,C点分AB所成的比为λ,则tC=tA+λtB1+λ.
一、解决有关弦的定比分点,特别是中点问题
【例1】 已知抛物线y2=x上存在关于直线l:y-1=k(x-1)对称的两点,求k的取值范围.
解:设对称的两点为A,B,AB中点为P(x0,y0),
设lAB:x=x0+tcosα,y=y0+tsinα,
其中k=-cotα.
将lAB代入抛物线方程化简整理得t2sin2α+(2y0sinα-cosα)t+y20-x0=0.
设t1,t2为A,B所对应的参数,因为P是AB中点,所以t1+t2=0,
∴cosα-2y0sinαsin2α=0,∴cosα-2y0sinα=0,即y0=cosα2sinα=-k2.
又因为点P在直线l:y-1=k(x-1)上,所以x0=12-1k,即P(12-1k,-k2).
又点P在抛物线内部,所以y20
所以-2
【例2】 直线l与圆C:x2+y2=a2(a>0)交于P、Q两点,与双曲线S:x2-y2=a2(a>0)交于M、N两点,且P、Q三等分线段MN,求直线l的方程.
解:因为P、Q三等分线段MN,所以线段PQ与线段MN的中点重合.设PQ中点为G(x0,y0),
设直线l的参数方程是x=x0+tcosα,y=y0+tsinα,
分别代入圆C和双曲线S中化简整理得:
t2+(2x0cosα+2y0sinα)t+x20+y20-a2=0,①
t2cos2α+(2x0cosα-2y0sinα)t+x20-y20-a2=0.②
设t1,t2,t3,t4分别是点P、Q、M、N所对应的参数,则t1,t2是①的根,t3,t4是②的根.
因为t1+t2=0,t3+t4=0,
所以,x0cosα+y0sinα=0,x0cosα-y0sinα=0,
即x0cosα=0,y0sinα=0.
由题意知直线l不能垂直于x轴,所以cosα≠0,故x0=0,y0=0或x0=0,sinα=0.
(1)当x0=0,sinα=0时,这时可以设l:y=b,代入圆C和双曲线S得
|PQ|=2a2-b2,|MN|=2a2+b2,
因為|MN|=3|PQ|,所以b=±255a.
(2)当x0=0,y0=0时,可以设l:y=kx,代入双曲线S得(1-k2)x2=a2(|k|<1),
所以|MN|=21+k21-k2a,此时,PQ是圆C的直径,故|PQ|=2a,∴13|MN|=2a.
所以1+k21-k2=3,所以k2=45,即k=±255.
综上所述,直线l的方程是:y=±255a或y=±255x.
注:本题是用点差法或韦达定理进行求解,但比较容易遗漏平行于x轴时的情形.
二、求直线截圆锥曲线所得的弦长或求直线l上的定点M0到直线l与已知曲线的交点的距
离
【例3】 已知抛物线C:y2=x,长为l的线段AB的两个端点在抛物线C上运动,求线段AB中点P到y轴距离的最小值.
解:设点P(x0,y0),设AB所在的直线lAB:x=x0+tcosα,y=y0+tsinα,,
代入抛物线C化简整理得t2sin2α+(2y0sinα-cosα)t+y20-x0=0.
设t1,t2为A,B所对应的参数,则t1+t2=0,即2y0sinα-cosα=0,即y0=12cotα
所以|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=2x0-y20|sinα|=l,
所以x0=y20+14l2sin2α=14(cot2α+l2sin2α)=14(cot2α+1+l2cot2α+1)-14.
当0
解:由对称性,不妨设B、C在y轴右侧,即BC的倾斜角α∈[π4,π2).
设B(x0,y0),
设lAB:x=x0-tsinα,y=y0+tcosα,
lBC:x=x0+tcosα,y=y0+tsinα.
把lBC代入抛物线方程中化简整理得t2cos2α+(2x0cosα-sinα)t+x20-y0=0.
因为点B在抛物线上,所以x20=y0,设t1是点A所对应的参数,则t1=sinα-2x0cosαcos2α.
设t2是B所对应的参数,同理可得t2=cosα+2x0sinαsin2α.
由于ABCD是正方形,所以|AB|=|BC|,又t1,t2都大于0,所以t1=t2,
即sinα-2x0cosαcos2α=cosα+2x0sinαsin2α,
所以x0=sin3α-cos3α2sinαcosα(sinα+cosα),
所以|BC|=t2=1sinαcosα(sinα+cosα).
令t=sinα+cosα∈(1,2],
此时|BC|=2t3-t,又因为t3-t在(1,2]上是增函数,∴|BC|≥222-2=2,
所以SABCD的最小值为2.
注:本题选定B作为定点很关键,就可以利用正方形这个条件得到AB的倾斜角比BC的倾斜角大π2,从而使得在解题中就只有一个未知量倾斜角α,明显比用传统方法简单.
三、与距离有关的轨迹问题
【例5】 已知椭圆C:x216+y29=1和直线l:x16+y9=1.从原点O出发的射线分别交第一象限内的椭圆C和直线l于点P、Q,点R在射线上,且满足|OP|2=|OQ|•|OR|,当射线运动时,求点R的轨迹方程.
解:设射线的倾斜角为α,设R(x,y),射线所在的直线的参数方程为x=tcosα,y=tsinα.将参数方程分别代入椭圆C和直线l,化简整理得t2(cos2α16+sin2α9)=1及t(cosα16+sinα9)=1,
设t1,t2,t分别是点P、Q、R所对应的参数,由参数的几何意义可知,t1,t2,t都大于0,
所以t1=|OP|,t2=|OQ|,t=|OR|,由条件得t21=t2•t,
又t21(cos2α16+sin2α9)=1,t2(cosα16+sinα9)=1,
所以t21t2(x216+y29)=1,
t2t(x16+y9)=1,
将t21=t2•t代入可得x216+y29=x16+y9.
又由于交点都在第一象限,故点R的轨迹方程是x216+y29=x16+y9(x>0,y>0).
【例6】 已知抛物线C:y2=4x,点A(a,0),B(b,0)(a>b>0)是两个定点,过A、B分别作直线l,m,使得l,m分别与抛物线C交于不同的四点M、N、G、H,若这四点共圆,求l与m的交点P的轨迹方程.
解:设直线l、m的交点为P(x0,y0),它们的倾斜角分别为α,β,则
l:x=x0+tcosα,y=y0+tsinα;
m:x=x0+tcosβ,y=y0+tsinβ.
分别代入抛物线C中化简得
t2sin2α+(2y0sinα-4cosα)t+y20-4x0=0.①
t2sin2β+(2y0sinβ-4cosβ)t+y20-4x0=0.②
设t1,t2,t3,t4分别是M、N、G、H所对应的参数(t1,t2是①的根,t3,t4是②的根),因為四个交点共圆,所以|PM|•|PN|=|PG|•|PH|,即|t1t2|=|t3t4|.
即|y20-4x0|sin2α=|y20-4x0|sin2β,因为点P不在抛物线上,所以y20-4x0≠0,故sinα=sinβ,
又l,m相交,所以α+β=π.
所以点P的轨迹方程是x=a+b2(y≠0且y≠±2(a+b)).
注:四点共圆的条件在解析几何中是一个不太常见的条件,比较常见的处理方法是相交弦定理.
从以上几个例题中可以看出,直线的参数方程比较适用于直线与圆锥曲线的位置关系中有关弦长、弦中点等问
题,而且往往能简化运算,其关键在于点P(x0,y0)的选择.
四、两点说明
1.若直线l的参数方程为一般形式x=x0+at,y=y0+bt
(t为参数),可把它化为标准形式x=x0+t′cosα,y=y0+t′sinα(t′为参数).
其中α是直线l的倾斜角tanα=ba,此时参数t′才有如前所说的几何意义.
2.有些问题可考虑用参数方程来解,也可考虑用普通方程来解,应以简便为原则,选用参数方程时也未必非用标准形式不可.
我们知道,当直线l经过点P(x0,y0),且倾斜角为α时,直线l的参数方程是:
x=x0+tcosα,y=y0+tsinα
(其中t是参数)
,参数t的几何意义是有向线段PQ的数量,其中Q(x,y).当t添加上绝对值后就变成了线段PQ的长度,所以直线的参数方程在解决与弦长有关的题目时具有很大的作用.
(责任编辑 金 铃)