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摘要：住宅是一种异质性商品，它的构成使用价值的各个特征之间有明显的差异，因此特征价格定价模型广泛用于住宅的价值评估。但是由于住宅数据中常常表现出空间问题，使得传统的特征价格模型不再适用，空间效应在不动产领域的存在引起了学者们的广泛关注。对空间分析在住宅价值评估中的应用研究进行了回顾和阐述，首先分析空间效应的来源和影响，讨论了在传统模型中纳入空间效应的重要性，接着阐述如何对这些空间效应进行有效建模和检验，并分析了进一步研究的方向。
关键词：特征价格模型，空间效应，空间联立自回归模型，地理加权回归模型
中图分类号：F293 文献标识码：B
文章编号：1001-9138-(2014)06-0024-35 收稿日期：2014-05-02
1 引言
在过去的30年中，特征价格定价模型（Hedonic Pricing Model）被广泛用于住宅的价值评估。特征价格模型将异质性商品看作一些不能在市场上单独出售的个别商品（eg.属性特征）的加总。住宅具有耐用性（durability）、异质性(heterogeneity)和空间固定性（spatial fixity）等特点，作为一种异质性商品，它的构成使用价值的各个属性之间有明显差异，住宅价格则是这些属性的边际价格或者说隐含价格之和（Lancaster，1966；Rosen，1974）。特征价格模型通常采用回归分析方法，估计各种住宅的属性特征，即建筑属性（structural attributes）、区位属性（accessibility attributes）和邻里属性（neighborhood attributes）对住宅的市场价格的边际贡献（Wihelmsson，2002）。其中，区位和邻里属性包含了主要的位置相关因素（locational factors）。位置因素对房屋价格的影响是非常显著的，Bitter等（2007）认为在特征价格模型中控制位置因素和市场的空间结构，对于解释价格差异和得到准确的系数估计值是非常重要的。Can and Megbolugbe（1997）以及 Callimore et al.（1996）都认为，传统的特征价格模型难以捕捉位置因素，为了准确地反映位置因素对房屋价值的影响，住宅特征价格模型应该考虑空间效应。Orford(2000)也认为，如果要使特征价格模型的估计结果能够准确反映住宅属性的隐含价格，模型的设定必须要能够充分抓住住宅市场中的空间因素。
随之，众多学者开始了对住宅价格领域中的空间特征价格模型（Spatial Hedonic Pricing Model）的研究。空间特征价格模型构建的一个重要方面就是如何在模型中纳入空间效应。如果对模型中的空间因素如果没有进行恰当的识别和设定，会引起一系列的问题。一般而言，引起这些问题的来源有三个（Des Rosiers et al.，2001）：多重共线性（Multicollinearity）、空间相关性（Spatial Dependence）和空间异质性（Spatial Heterogeneity）。在早期的住宅空间特征价格文献中，Dubin(1992，1998)利用地理统计方法（Kring）来估计模型的协方差结构。Can(1990,1996)应用带有变系数的空间滞后模型来捕捉邻里效应。近年来在住宅价值研究领域，越来越多的学者将地理信息系统（Geographical Information System, GIS）和空间统计（Spatial Statistics）方法应用于特征价格模型，使得能在特征价格研究中计算各种邻里和位置变量。这些考虑了空间因素的不动产研究证明，在价格预测和统计推断方面具有大幅度的改善（Dubin，1998；Bowen et al.，2001）。
GIS在住宅评估领域的应用始于美国学者的研究。因为房屋是固定在地理空间上的，所有的住宅信息本质上都是空间信息，所以GIS是非常适合用于住宅市场分析的工具（Belsky et al.，1998）。因此，空间数据是住宅市场分析的特征之一。GIS具有高效整合数据和进行空间分析的优势（Hamid，2002），可以有效地处理空间因素。例如，网络分析（Network Analysis）不仅可以测算距离，还可以用函数计算使用某种交通运输网络的最短行车时间（Des Rosiers et al.2001）。但是，GIS也不是一个用于在住宅市场中考虑空间因素的完美工具（Ismail，2005)。这是因为GIS是一种处理数据的标准工具，在它的一般形式下，它不能用于处理空间自相关。最近的不动产研究都结合运用GIS和空间统计来共同处理空间自相关问题。因此，GIS和空间统计的结合应用有利于对住宅市场进行有效的建模。
以往的文献表明，对于特征价格模型中的空间效应研究一般采用空间计量方法（Anselin，1988），它能够明确地描述住宅市场建模中的空间效应。空间效应一般有两种，即空间相关性和空间异质性。一般来说，由于局部性的供给和需求失衡，住宅市场通常会同时包含空间相关和空间异质性两种效应（Bitter et al.，2007）。Wilhelmsson(2002)指出，20世纪90年代以前在住宅市场的分析中经常忽视空间效应的存在。但是，在过去的二三十年，它们引起了学者们的广泛关注（Anselin，2002）。一些先进的方法被提出，将空间结构非稳定性（spatial structural instability），空间漂移（spatial drift）和空间滞后（spatial lag）等纳入特征回归模型（Leung et al.,2000）。其中比较流行的方法是空间联立自回归模型（Spatial Simultaneous Autoregressive Approach），包括空间滞后模型（Spatial Lag Model，SLM）、空间误差模型（Spatial Error Model，SEM）（Anselin，1988）和空间杜宾模型（Spatial Durbin Model，SDM），以及地理加权回归模型（Geographically Weighted Regression，GWR）（Fortheringham et al.，2002）。
2 空间效应的来源和影响
Tobler(1970)在他的地理学第一定理中是这么阐述的：一切事物都是相互联系的，但是相比距离较远的事物，相邻事物之间的相关性更高。这一定理意味着存在正向的空间自相关。这给统计方法带来了挑战，因为空间观测值在统计上是不相互独立的。例如，相互邻近住宅的数据中常常表现出一定空间效应（特征）的问题，这使得住宅特征价格模型不再符合常态分布假设，若在这些空间数据中继续应用OLS估计会引起严重的问题，使得模型估计能力下降，估计结果失去意义（Anselin，1988；Dubin，1998）。 Anselin(1988)将空间效应分为两种主要类型，空间相关性和空间异质性。这两种效应在实证中都是不易被辨识的。他将空间相关性描述为空间上某一位置上的观测与其相邻位置上的观测之间的函数关系。而空间异质性则是由空间异方差或空间变化的参数引起的缺乏均质性的空间效应。
2.1 空间相关性
空间相关性反映了现实中存在的空间交互作用（Spatial Interaction Effects），指观测值之间缺乏独立性，它与序列相关性（Serial Dependence）有类似之处（De Graaff et al.，2001）。住宅价格研究中存在空间相关性的原因主要有三个方面（Wihelmsson，2002），即溢出效应的存在、住宅价格评估过程和模型的错误构建或测量误差。下文将从这三个方面进行讨论。
大部分邻近住宅的建造时间相近，因此会有着相似的建筑特征、建筑材料和建筑年龄（Gillen et al.，2001）。而且，Basu and Thibodeau（1998）指出，在同一地区内的邻近住宅共同享有着相同的邻里设施（例如，享有相同的公共学校、公共交通和购物中心等），所以这些相邻住宅的价格间会产生空间交互作用。根据特征价格理论，消费者对住宅的需求源自于对住宅属性的需求，所以在购买时会把住宅的各种属性共同加以考量。当住宅坐落于同一地区时，这些属性也跟随坐落于同一地区，所以邻近住宅会存在着高度的相似性。即使住宅本身属性未必完全相似，但是由于这些邻近的住宅坐落于相同的区位，面对着相同的邻里环境，享有相同的公共设施，使得这些邻近的住宅的位置相关属性变量存在着高度的相似性，也基于这一原因，所以这些邻近的住宅具有相似的价格。这也进一步说明了，在对住宅市场进行建模时，必须要在模型中纳入能捕捉邻里效应的特征变量。
Anselin（2003）认为，在住宅价格评估过程中，由于无法确定住宅各种属性的隐含价值，房产中介或交易双方会倾向参考邻近相似住宅的售价来定价，因此一个住宅的价格往往会对周边区域其他住宅的价格产生影响。这些邻近住宅价格的空间相关性关系使得传统的估价模型产生了空间自我相关的问题。因此，在对某一位置的住宅的价值评估过程中，其他地点的住宅价值对它的影响可能会导致市场惯性（market inertia）的存在。
除了溢出效应的存在和价格评估过程中的一些因素，模型的错误构建也是空间相关性的来源之一。遗漏重要变量会导致模型的错误构建，传统特征价格模型在估计中很难包含所有的区位和邻里特征变量，例如，模型测量的不动产某些特征（例如，距离中心商业区的距离）具有空间特性，但是原有模型并没有明确考虑住宅价格数据的空间维度。另外，模型函数形式选取不当也是模型错误构建的一种。线性模型通常难以捕捉特定属性特征对住宅价格的非线性影响。因为当被估住宅较为复杂时，在选取变量和模型结构时并没有特定的特征价格理论可以利用，所以模型设定错误是经常存在的（Suriatini，2005）。
空间相关不仅意味着空间上的观测值缺乏独立性，而且意味着潜在于这种空间相关中的数据结构，也就是说空间相关的强度及模式由绝对位置（格局）和相对位置（距离）共同决定，会对传统的特征价格模型产生严重的影响。
2.2 空间异质性
空间影响对模型所产生的另一个问题便是空间异质性问题，它是指地理空间上的区域缺乏均质性。空间异质性可能以空间异方差性或者空间变化的参数的形式出现，即，它是指空间上的关系的一种变化（Le Sage，1998）。在住宅市场中，空间异质性问题是指房屋特征的边际价格在研究区域中是固定的还是会在空间上变化（Bitter et al.，2007）。当相同的一组住宅特征在研究区域的不同部分产生了不同的边际价格，我们就说住宅市场出现了空间异质性。因此，研究区域内的住宅特征边际价格是可变的（Eth Zhrich，2010）。形成空间异质性的其中一个原因是，不同类型的家庭拥有不同的需求和偏好，并且在研究区域中并不是均值分布的。这可能会扭曲他们对住宅特定的结构属性和设施的需求，导致形成一些拥有独特组合的细分市场（Theriault et al.，2003）。另外，因为住宅所在的地理环境、空间区位这些属性条件是有所不同的，虽然从空间自相关的相关文献中得知邻近住宅的价格以及住宅属性组合间有着高度的相似形，但并没有任何住宅间存在着完全一样的属性条件，因为散布在二维空间上的空间资料并不是单纯的直线扩张，所以住宅价格在空间上的分布必然具有非均质的特性。但传统的特征价格模型将影响因子视为静态，假设研究区内的影响因素对住宅价格为均质影响，把误差项假设成变异相等，这种假设无法确切反映住宅价格这种空间资料所具有的空间不稳定特性，变异的不稳定使得模型产生空间异质性的问题。
当空间异质性与空间相关性同时存在时，经典的计量经济学估计方法不再有效，而且在这种情况下，问题变得异常复杂，无法将这两个问题分离处理。De Graaff et al （2001）列出了三个需要把空间依赖性（相关性）和空间异质性共同处理的原因：首先，从观测上可能无法区分空间异质性和空间相关性；其次，空间相关性会引起一种特殊形式的空间异质性；最后，从实证上可能很难将这两个效应区分开来。
Anselin（1998）认为，在不动产数据中普遍存在的空间问题需要应用适当的空间统计和空间计量技术进行有效估计和推断，以及最优预测（Pace and LeSage，2003）。Des Rosiers and Theriault（1992）认为只有在地理信息系统GIS的帮助下才能有效地确认和解释特征价格模型中的空间问题。Figueroa（1999）指出，要共同利用GIS和空间统计分析估计特征价格模型。其他学者也普遍认为，空间统计方法可以为GIS技术提供补充，GIS可以表明空间相关性是否存在，而空间统计方法例如Moran’s I指数可以正式地检测出空间自相关的程度。
3 对住宅市场中空间效应的建模
3.1 传统特征价格模型
传统的特征价格模型将住宅的每一属性特征进行赋值作为自变量，将住宅的价格作为因变量进行回归分析。住宅是具有耐用性，结构刚性和空间固定性等特点的商品。住宅价格的影响因素十分复杂，国内外已经有大量的在住宅价值评估领域运用特征价格模型的实证研究，在这些研究中，学者们选取了各种各样的房屋属性进行分析。但是一般来说，房屋的属性特征可以分为以下三类：（1）建筑结构（S），它是对房屋本身的描述。例如建筑面积、建筑年龄、楼层、房间数目、装修程度等。（2）区位特征（A），它取决于研究样本的特定位置。例如到城市CBD或购物中心的距离、交通便利程度等。（3）邻里环境（N），主要是指邻近区域的质量。例如小区环境质量、服务设施规模与距离、教育配套、物业管理质量、自然景观等。这些属性包含了房屋的定性和定量特征。因此，住宅的市场价格（P）可以表述为如下形式（Ching and Chan）：
（1）
传统特征价格模型一般运用最小二乘法（OLS）估计各属性的隐含价格。OLS估计假设误差项独立且同分布；样本之间彼此独立，住宅价格在空间上没有交互作用，彼此之间不会受到影响；自变量之间相互独立且外生。可以用如下形式表述：
（2）
其中，Y是住宅的价格向量，代表了住宅的市场价格；X=(X1,X2,…，Xn)是住宅属性组合向量；β=（β1，β2…，βn）是属性系数向量，表示属性对房屋市场价格的影响。ε是误差项向量。对上式中的任一属性求偏导，就可以得到该属性的边际隐含价格。该价格体现为多元回归模型的解释变量系数。每个购房者对房屋的各属性的主观估值都是不同的。房屋的市场价格就是该房屋所包含的所有属性的隐含价格之和。因此，特征价格模型可以用于表述住宅属性和住宅市场价格的关系，并且它能分别检验和分析每个属性对住宅价格的影响。
3.2 空间特征价格回归模型
根据Pace et al.（1998），可以通过考虑所有的重要因素和非线性特性，并在特征价格模型中正确地列出所有的自变量来处理空间问题（Dutilleul et al.，1993）。但是纳入太多变量会影响模型的自由度，进而影响模型解释能力。Dubin(2003)提出两种对空间效应进行建模的方法，即空间联立自回归模型（Spatial Simultaneous Autoregressive Approach）和地理加权回归模型（Geographically Weighted Regression，GWR）。
3.2.1 空间联立自回归模型（Spatial Simultaneous Autoregressive Approach，SSAA）
Whittle（1954）最早开始建构空间联立自回归模型，接着开始受到广泛应用。根据Patton（2002），这种方法是利用一个矩阵，W，即通常所说的空间权重矩阵（spatial weights matrix）来捕捉所有观察值之间的空间关系（Ismail，2006）。它描述了空间单元之间的邻接关系，或者说，它描述了邻近观测值（空间意义上的）对模型平均过程的影响程度。因此，空间权重矩阵是通过对邻接程度的衡量生成的，它可以分为两种类型，简单邻接（the simple contiguity）和距离邻接（the distance contiguity）（Bowen et al.，2001）。Patton（2002）指出，简单邻接是指当两个空间单元拥有共同的边界时的情形，它们在一个一阶二元邻接矩阵中被赋值“1”。距离邻接可以是距离衰减矩阵，也可以是距离二元矩阵（Ismail，2006）。距离衰减矩阵在房屋特征价格模型中的应用最为广泛，即每个房屋对一个特定房屋的重要性随着距离递减。它与简单邻接矩阵定义相同，即共享边界的相邻物业之间的权重矩阵为1，但由于这种只有0和1的空间关系矩阵无法测量样本间的影响程度，一些比较复杂的空间权重矩阵也开始产生，例如，Cliff and Ord(1973，1981）；Anselin（1988，1999）建议以2个空间单元间距离的倒数即距离的负指数建立空间加权矩阵，这种空间权重矩阵也称为Cliff-Ord权重矩阵。
根据自回归过程发生的区域，空间联立自回归模型可以分为三种类型（Kissling and Carl，2008）：第一种是加上一个空间滞后变量的空间滞后模型（Spatial Lag Model，SLM）；第二种是处理误差项问题的空间误差模型（Spatial Error Model，SEM）；第三种是当空间相关作用既在因变量中出现，又存在于误差项中时，需要使用空间杜宾模型（Spatial Durbin Model，SDM）。Anselin（1999）提出，如果在模型已经证实有空间自相关的前提下，是比较适合的空间模型；如果主要目的是修正误差项呈现的空间自相关问题，则适合使用空间误差模型。
空间滞后模型主要是探讨各变量在一地区是否有扩散现象（溢出效应）。根据这个模型，因变量（住宅价格）具有空间自相关，这意味着住宅价格不仅依赖于其属性特征，也与周边住宅价格相关。住宅价格的空间相关性往往可以通过在特征价格模型中直接纳入一个空间滞后因变量来进行建模，即周边地区住宅的价格成为一个解释变量被纳入模型。
因此，空间滞后模型采取以下形式：
（3）
其中，Y是住宅价格的一个n×1维向量，W是通过给每一个住宅设定一个邻里特征将样本中的某一住宅价格与其他住宅的价格联系起来的n×n空间权重矩阵，X是解释变量（包括不动产的建筑特征，区位特征和邻里特征）的n×k矩阵，β是估计参数的一个k×1维向量，ε是n×1的误差向量。ρ是空间相关性系数，若ρ显著的不为0，则表明不动产均价之间的确存在实质性的空间相关性，ρ用于表征不同的样本单元之间是否存在显著的空间相关性，而这种相关性主要是指在给定的“空间邻接性”定义下，其他相邻的单元是否对本单元存在一种平均的外部性，ρ的大小则度量了不动产价格之间空间扩散或空间溢出的相互作用程度。这里需要说明的是，参数的估计结果只是说明一种“平均”的外部性效应，至于不同个体之间肯定会存在差异，而这种差异在模型中并不能够表现出来(项歌德，2011)。
Bell and Bockstael(2000)指出，空间滞后模型适用于住宅的价格与其周边住宅的卖价有直接关系的情形。此外，这种关系是单向的，即，第一个卖出的住宅价格会影响后来的住宅卖价，但反之不成立。我们可以把空间滞后模型重新写作。
存在于扰动误差项之中的空间依赖作用，度量了邻近地区关于因变量的误差冲击对本地区观察值的影响程度。空间误差模型与空间滞后模型的主要区别在于，不同单元之间的空间相关性并不表现在被解释变量的空间滞后项上，而是表现在模型误差项上。上文从理论上的角度阐述了不动产价格空间相关性的动机。但是，在实际中，应用一个空间计量模型的动机往往来自于可获得的空间数据的特征。回归误差的空间相关性有两个来源：遗漏空间相关的变量和测量误差或方程形式的错误设定。例如，一个不动产的邻里特征会影响它的销售价格，并且邻近不动产也会被同样的邻里因素影响。因为很难考虑到所有的相关的邻里特征，那么所有被遗漏的变量的效应就会进入误差项，如果这些被遗漏变量是空间相关的，那么误差项就会空间相关。当空间观察单位与经济行为的空间程度不符，就会发生测量误差。例如，对于犯罪率和不动产的社会经济特征这种无法观测的邻里特征变量经常使用错误的变量进行代表。
空间误差模型采用如下形式：
其中，λ是空间参数，若λ显著地不为0，则说明在建模过程中可能会出现诸如数据测量误差，变量选择不合适，空间权重矩阵W不能恰当表达空间关系等导致误差项之间出现空间自相关的情况。它说明一个不动产的误差取决于邻里观测值的平均误差以及它的异质成分，。当时，不是单位矩阵。因此，在本系统中每个不动产的误差与其他不动产的误差相关，体现为误差的整体相关性。此时空间权重矩阵W是有关对不可观测变量（误差项u）的冲击，而非对模型解释变量（X）的冲击。因此，在任何位置的房屋价格不仅是该位置房屋特征属性的函数，而且还是在邻近位置的遗漏变量的函数（Lochl，2010）。
Patton and McErleans（2003）指出，忽视空间滞后相关性所引起的后果会比忽视空间误差相关性更严重，因为前者和理论问题相关，而后者只是因为统计问题。
当空间相关作用既在因变量中出现，又存在于误差项中，Kissling and Carl（2008）建议采用空间杜宾模型，它包含一个空间滞后因变量和一个空间滞后自变量，同时具有“内在的空间自相关（inherent spatial autocorrelation）”和“诱导空间依赖性（induced spatial dependence）”（Lochl, 2010）。空间杜宾模型可以写成如下形式：
根据Valente et al.（2005），以上这些模型的优势之一就是对均值的基于邻里效应的平滑以及计算的简便。鉴于空间回归模型由于自变量的内生性，对于上述三种模型的估计如果仍采用OLS，系数估计值会有偏或者无效，需要通过IV、ML或GLS、GMM等其他方法来进行估计。Anselin（1988）建议采用极大似然法估计空间滞后模型（SLM）和空间误差模型（SEM）的参数。
3.2.2 地理加权回归模型（Geographically Weighted Regression，GWR）
GWR模型是明确允许参数估计值在空间上变化的局部建模方法（Brunsdon et al.1996）。它利用一系列距离相关权重，通过将空间结构和地理信息嵌入线性回归模型中，以此来探测空间关系的非平稳性，拓展了普通的线性回归模型。它允许局部而不是全局的参数估计，通过附加表达空间对象本身相关性和异质性的变化参数，反映样本对回归方程贡献在空间上的分异，使回归结果更加可信。Fotheringham et al.（2002）指出，GWR利用数据的交叠样本对空间上的每一个数据点进行线性回归估计。GWR模型允许参数在空间上进行变动，能够更好地估计在空间上时刻变动着的变量关系（Lochl，2010）。
在GWR模型中，回归系数的估计不是利用一个全局模型来统一描述住宅市场特征，而是利用相互临近区域的信息进行局部回归系数的估计，随着空间地理位置的改变，局部回归系数会随之而改变。即特定区位ⅰ的回归系数不再是利用全域（Global）信息获得的假定常数βio，而是利用邻近观测值的子样本数据信息进行局域（Local）回归估计而得的、随着空间上局部地理位置变化而变化的变数βik（吴玉鸣等，2006）。
式中，Pi是住宅价格的第i个观察值，βio是对第i个局域回归进行估计得到的常数项，βik是第i个局域回归中的空间解释变量k的回归系数，εi是第i个局域回归的随机误差,满足零均值、同方差、相互独立等球形扰动假定。这与OLS回归不同的是，对于每一个数据点都有不同的常数项和回归系数。对βi的估计可以写成如下形式：
其中，βi是观测值i的估计系数矩阵，X是解释变量的Ν×Κ矩阵，Ρ是住宅的价格矩阵，Wi是一个由观测值的空间（经纬度）坐标决定的对角线矩阵。Bitter（2007）等利用一个高斯函数来计算Wi：
其中，d代表回归点和观测点之间的欧几里得距离，h代表带宽。GWR的结果对带宽的选择非常敏感，这是因为如果指定一个带宽并只允许最小的距离衰减会产生和全局模型类似的结果。相反，如果带宽很窄，只有邻近区域内的点会被考虑，这将会导致估计值产生高方差（Fotheringham et al.2000）。
4 空间相关性的检验
空间相关性分析包括分析区域内某一变量的观察值跟邻里单元内同一变量的数值的空间相关程度。Anselin and Bera(1998)认为空间自我相关的检验是十分重要的，有一系列描述性统计方法可以用于检验空间相关性，例如Moran’s I，Geary’s C，the joint count和Gi（d），还有一系列检测空间自相关的规范检验，例如拉格朗日乘数（Lagrange Multiplier，LM），似然比（Likelihood Ratio，LR）和Wald检验（Suriatini，2005）。其中，最常被使用的方法是Moran’s I和拉格朗日乘数。
Moran’s I检验方法是Moran（1948，1950)以统计学的理论发展出来，并且受到广泛使用。全域型的Moran’s I的公式如下所示：
当观察变量为不动产时，上述公式中的n为不动产样本数，Xi为i空间单元的不动产价格，Xj为以i空间单元为中心某一特定界限范围内其他空间单元的不动产价格，Wij为经过列标准化的空间权重矩阵，由Cliff and Ord（1973）提供了最早期的Wij的定义与形式，接着Griffith（1995）；Brett and Pinkse（1997）；Bavaud（1998）也对空间权重矩阵有着不同的定义。
Bell and Bockstae（2000）指出，拉格朗日乘数检验可以分为两种类型，拉格朗日乘数—误差检验（Lagrange Muhiplier-Error Test，LMERR）和拉格朗日乘数一滞后检验（Lagrange Multiplier-Lag Test，LMLAG），前者用于检验空间误差相关性，后者用于检验空间滞后相关性。根据吴玉鸣和何建坤（2008），由于事先无法根据先验经验推断在模型中是否存在空间依赖性，有必要构建一种判别准则，以决定哪种空间模型更加符合客观实际。但Bell and Bockstae（2000）提出，区分空间相关性的两种来源是非常困难的，而且即使只有一种形式的空间相关性存在，两种拉格朗日乘数检验可能都是显著的。他们进一步指出，如果两种检验都是显著的并且估值很高，那么最高的那个估值代表了相关性的正确形式。
5 结论
本文描述了住宅市场特征价格模型中的空间效应问题。Anselin（1988）将空间效应分为两种主要类型，空间相关性和空间异质性。引起空间相关性的原因主要有三个方面，即溢出效应的存在，住宅价格评估过程，和模型的错误构建或测量误差。形成空间异质性的原因可能是不同类型家庭对住宅特定结构属性和设施需求的扭曲，以及住宅价格在空间上的分布的非均质特性。为了处理空间效应，Dubin（2003）提出两种对空间效应进行建模的方法，即空间联立自回归模型和地理加权回归模型。前者是利用一个空间权重矩阵来捕捉所有观察值之间的空间关系，根据自回归过程发生的区域，可以分为三种类型：空间滞后模型，空间误差模型和空间杜宾模型。后者是允许参数估计值在空间上变化的局部建模方法。两个模型都能改善固定系数模型的回归结果。另外，Moran’s I和拉格朗日乘数法是目前两种非常流行的检验空间相关性的方法。
已经有许多针对美国和其他一些国家的住宅市场数据的有关上述讨论的实证研究，尤其是对空间联立自回归和地理加权回归模型的对比分析。有研究证明，地理加权回归模型在模型解释能力和预测准确性方面做得更好，它的估计结果表明系数估计值的实际空间格局比联立自回归模型中假设的要更为复杂（Bitter等，2006）。然而，还缺乏针对中国住宅市场数据的空间特征价格模型的比较研究，因此，未来的研究可以探寻两种考虑空间效应的模型在中国的住宅市场数据中是否能获得与其他国家不动产研究的类似证据。
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作者简介：
纪益成，厦门大学财政系教授、博士生导师，资产评估学科带头人，厦门大学评估研究中心主任。
胡卓娟，厦门大学财政系博士研究生，美国密歇根大学安娜堡分校联合培养博士生。
Spatial Analysis in Housing Valuation Studies：
A Literature Review
Ji Yicheng，Hu Zhuojuan
Abstract：Housing is a heterogeneous commodity，which has a multiplicity of different characteristics.Hedonic pricing model is widely used in housing valuation.However，because of the spatial issues，the traditional model is no longer applicable.This paper reviews the literature on spatial analysis and housing valuation studies.It describes the sources and effects of spatial issues.The importance of considering spatial effects and methods of dealing with the phenomenon as well as ways of model testing are outlined.And the paper concludes by analyzing the direction of future research.
Keywords：Hedonic pricing model，Spatial effect，Spatial simultaneous autoregressive approach，Geographically weighted regression
李求军/责任编辑
关键词：特征价格模型，空间效应，空间联立自回归模型，地理加权回归模型
中图分类号：F293 文献标识码：B
文章编号：1001-9138-(2014)06-0024-35 收稿日期：2014-05-02
1 引言
在过去的30年中，特征价格定价模型（Hedonic Pricing Model）被广泛用于住宅的价值评估。特征价格模型将异质性商品看作一些不能在市场上单独出售的个别商品（eg.属性特征）的加总。住宅具有耐用性（durability）、异质性(heterogeneity)和空间固定性（spatial fixity）等特点，作为一种异质性商品，它的构成使用价值的各个属性之间有明显差异，住宅价格则是这些属性的边际价格或者说隐含价格之和（Lancaster，1966；Rosen，1974）。特征价格模型通常采用回归分析方法，估计各种住宅的属性特征，即建筑属性（structural attributes）、区位属性（accessibility attributes）和邻里属性（neighborhood attributes）对住宅的市场价格的边际贡献（Wihelmsson，2002）。其中，区位和邻里属性包含了主要的位置相关因素（locational factors）。位置因素对房屋价格的影响是非常显著的，Bitter等（2007）认为在特征价格模型中控制位置因素和市场的空间结构，对于解释价格差异和得到准确的系数估计值是非常重要的。Can and Megbolugbe（1997）以及 Callimore et al.（1996）都认为，传统的特征价格模型难以捕捉位置因素，为了准确地反映位置因素对房屋价值的影响，住宅特征价格模型应该考虑空间效应。Orford(2000)也认为，如果要使特征价格模型的估计结果能够准确反映住宅属性的隐含价格，模型的设定必须要能够充分抓住住宅市场中的空间因素。
随之，众多学者开始了对住宅价格领域中的空间特征价格模型（Spatial Hedonic Pricing Model）的研究。空间特征价格模型构建的一个重要方面就是如何在模型中纳入空间效应。如果对模型中的空间因素如果没有进行恰当的识别和设定，会引起一系列的问题。一般而言，引起这些问题的来源有三个（Des Rosiers et al.，2001）：多重共线性（Multicollinearity）、空间相关性（Spatial Dependence）和空间异质性（Spatial Heterogeneity）。在早期的住宅空间特征价格文献中，Dubin(1992，1998)利用地理统计方法（Kring）来估计模型的协方差结构。Can(1990,1996)应用带有变系数的空间滞后模型来捕捉邻里效应。近年来在住宅价值研究领域，越来越多的学者将地理信息系统（Geographical Information System, GIS）和空间统计（Spatial Statistics）方法应用于特征价格模型，使得能在特征价格研究中计算各种邻里和位置变量。这些考虑了空间因素的不动产研究证明，在价格预测和统计推断方面具有大幅度的改善（Dubin，1998；Bowen et al.，2001）。
GIS在住宅评估领域的应用始于美国学者的研究。因为房屋是固定在地理空间上的，所有的住宅信息本质上都是空间信息，所以GIS是非常适合用于住宅市场分析的工具（Belsky et al.，1998）。因此，空间数据是住宅市场分析的特征之一。GIS具有高效整合数据和进行空间分析的优势（Hamid，2002），可以有效地处理空间因素。例如，网络分析（Network Analysis）不仅可以测算距离，还可以用函数计算使用某种交通运输网络的最短行车时间（Des Rosiers et al.2001）。但是，GIS也不是一个用于在住宅市场中考虑空间因素的完美工具（Ismail，2005)。这是因为GIS是一种处理数据的标准工具，在它的一般形式下，它不能用于处理空间自相关。最近的不动产研究都结合运用GIS和空间统计来共同处理空间自相关问题。因此，GIS和空间统计的结合应用有利于对住宅市场进行有效的建模。
以往的文献表明，对于特征价格模型中的空间效应研究一般采用空间计量方法（Anselin，1988），它能够明确地描述住宅市场建模中的空间效应。空间效应一般有两种，即空间相关性和空间异质性。一般来说，由于局部性的供给和需求失衡，住宅市场通常会同时包含空间相关和空间异质性两种效应（Bitter et al.，2007）。Wilhelmsson(2002)指出，20世纪90年代以前在住宅市场的分析中经常忽视空间效应的存在。但是，在过去的二三十年，它们引起了学者们的广泛关注（Anselin，2002）。一些先进的方法被提出，将空间结构非稳定性（spatial structural instability），空间漂移（spatial drift）和空间滞后（spatial lag）等纳入特征回归模型（Leung et al.,2000）。其中比较流行的方法是空间联立自回归模型（Spatial Simultaneous Autoregressive Approach），包括空间滞后模型（Spatial Lag Model，SLM）、空间误差模型（Spatial Error Model，SEM）（Anselin，1988）和空间杜宾模型（Spatial Durbin Model，SDM），以及地理加权回归模型（Geographically Weighted Regression，GWR）（Fortheringham et al.，2002）。
2 空间效应的来源和影响
Tobler(1970)在他的地理学第一定理中是这么阐述的：一切事物都是相互联系的，但是相比距离较远的事物，相邻事物之间的相关性更高。这一定理意味着存在正向的空间自相关。这给统计方法带来了挑战，因为空间观测值在统计上是不相互独立的。例如，相互邻近住宅的数据中常常表现出一定空间效应（特征）的问题，这使得住宅特征价格模型不再符合常态分布假设，若在这些空间数据中继续应用OLS估计会引起严重的问题，使得模型估计能力下降，估计结果失去意义（Anselin，1988；Dubin，1998）。 Anselin(1988)将空间效应分为两种主要类型，空间相关性和空间异质性。这两种效应在实证中都是不易被辨识的。他将空间相关性描述为空间上某一位置上的观测与其相邻位置上的观测之间的函数关系。而空间异质性则是由空间异方差或空间变化的参数引起的缺乏均质性的空间效应。
2.1 空间相关性
空间相关性反映了现实中存在的空间交互作用（Spatial Interaction Effects），指观测值之间缺乏独立性，它与序列相关性（Serial Dependence）有类似之处（De Graaff et al.，2001）。住宅价格研究中存在空间相关性的原因主要有三个方面（Wihelmsson，2002），即溢出效应的存在、住宅价格评估过程和模型的错误构建或测量误差。下文将从这三个方面进行讨论。
大部分邻近住宅的建造时间相近，因此会有着相似的建筑特征、建筑材料和建筑年龄（Gillen et al.，2001）。而且，Basu and Thibodeau（1998）指出，在同一地区内的邻近住宅共同享有着相同的邻里设施（例如，享有相同的公共学校、公共交通和购物中心等），所以这些相邻住宅的价格间会产生空间交互作用。根据特征价格理论，消费者对住宅的需求源自于对住宅属性的需求，所以在购买时会把住宅的各种属性共同加以考量。当住宅坐落于同一地区时，这些属性也跟随坐落于同一地区，所以邻近住宅会存在着高度的相似性。即使住宅本身属性未必完全相似，但是由于这些邻近的住宅坐落于相同的区位，面对着相同的邻里环境，享有相同的公共设施，使得这些邻近的住宅的位置相关属性变量存在着高度的相似性，也基于这一原因，所以这些邻近的住宅具有相似的价格。这也进一步说明了，在对住宅市场进行建模时，必须要在模型中纳入能捕捉邻里效应的特征变量。
Anselin（2003）认为，在住宅价格评估过程中，由于无法确定住宅各种属性的隐含价值，房产中介或交易双方会倾向参考邻近相似住宅的售价来定价，因此一个住宅的价格往往会对周边区域其他住宅的价格产生影响。这些邻近住宅价格的空间相关性关系使得传统的估价模型产生了空间自我相关的问题。因此，在对某一位置的住宅的价值评估过程中，其他地点的住宅价值对它的影响可能会导致市场惯性（market inertia）的存在。
除了溢出效应的存在和价格评估过程中的一些因素，模型的错误构建也是空间相关性的来源之一。遗漏重要变量会导致模型的错误构建，传统特征价格模型在估计中很难包含所有的区位和邻里特征变量，例如，模型测量的不动产某些特征（例如，距离中心商业区的距离）具有空间特性，但是原有模型并没有明确考虑住宅价格数据的空间维度。另外，模型函数形式选取不当也是模型错误构建的一种。线性模型通常难以捕捉特定属性特征对住宅价格的非线性影响。因为当被估住宅较为复杂时，在选取变量和模型结构时并没有特定的特征价格理论可以利用，所以模型设定错误是经常存在的（Suriatini，2005）。
空间相关不仅意味着空间上的观测值缺乏独立性，而且意味着潜在于这种空间相关中的数据结构，也就是说空间相关的强度及模式由绝对位置（格局）和相对位置（距离）共同决定，会对传统的特征价格模型产生严重的影响。
2.2 空间异质性
空间影响对模型所产生的另一个问题便是空间异质性问题，它是指地理空间上的区域缺乏均质性。空间异质性可能以空间异方差性或者空间变化的参数的形式出现，即，它是指空间上的关系的一种变化（Le Sage，1998）。在住宅市场中，空间异质性问题是指房屋特征的边际价格在研究区域中是固定的还是会在空间上变化（Bitter et al.，2007）。当相同的一组住宅特征在研究区域的不同部分产生了不同的边际价格，我们就说住宅市场出现了空间异质性。因此，研究区域内的住宅特征边际价格是可变的（Eth Zhrich，2010）。形成空间异质性的其中一个原因是，不同类型的家庭拥有不同的需求和偏好，并且在研究区域中并不是均值分布的。这可能会扭曲他们对住宅特定的结构属性和设施的需求，导致形成一些拥有独特组合的细分市场（Theriault et al.，2003）。另外，因为住宅所在的地理环境、空间区位这些属性条件是有所不同的，虽然从空间自相关的相关文献中得知邻近住宅的价格以及住宅属性组合间有着高度的相似形，但并没有任何住宅间存在着完全一样的属性条件，因为散布在二维空间上的空间资料并不是单纯的直线扩张，所以住宅价格在空间上的分布必然具有非均质的特性。但传统的特征价格模型将影响因子视为静态，假设研究区内的影响因素对住宅价格为均质影响，把误差项假设成变异相等，这种假设无法确切反映住宅价格这种空间资料所具有的空间不稳定特性，变异的不稳定使得模型产生空间异质性的问题。
当空间异质性与空间相关性同时存在时，经典的计量经济学估计方法不再有效，而且在这种情况下，问题变得异常复杂，无法将这两个问题分离处理。De Graaff et al （2001）列出了三个需要把空间依赖性（相关性）和空间异质性共同处理的原因：首先，从观测上可能无法区分空间异质性和空间相关性；其次，空间相关性会引起一种特殊形式的空间异质性；最后，从实证上可能很难将这两个效应区分开来。
Anselin（1998）认为，在不动产数据中普遍存在的空间问题需要应用适当的空间统计和空间计量技术进行有效估计和推断，以及最优预测（Pace and LeSage，2003）。Des Rosiers and Theriault（1992）认为只有在地理信息系统GIS的帮助下才能有效地确认和解释特征价格模型中的空间问题。Figueroa（1999）指出，要共同利用GIS和空间统计分析估计特征价格模型。其他学者也普遍认为，空间统计方法可以为GIS技术提供补充，GIS可以表明空间相关性是否存在，而空间统计方法例如Moran’s I指数可以正式地检测出空间自相关的程度。
3 对住宅市场中空间效应的建模
3.1 传统特征价格模型
传统的特征价格模型将住宅的每一属性特征进行赋值作为自变量，将住宅的价格作为因变量进行回归分析。住宅是具有耐用性，结构刚性和空间固定性等特点的商品。住宅价格的影响因素十分复杂，国内外已经有大量的在住宅价值评估领域运用特征价格模型的实证研究，在这些研究中，学者们选取了各种各样的房屋属性进行分析。但是一般来说，房屋的属性特征可以分为以下三类：（1）建筑结构（S），它是对房屋本身的描述。例如建筑面积、建筑年龄、楼层、房间数目、装修程度等。（2）区位特征（A），它取决于研究样本的特定位置。例如到城市CBD或购物中心的距离、交通便利程度等。（3）邻里环境（N），主要是指邻近区域的质量。例如小区环境质量、服务设施规模与距离、教育配套、物业管理质量、自然景观等。这些属性包含了房屋的定性和定量特征。因此，住宅的市场价格（P）可以表述为如下形式（Ching and Chan）：
（1）
传统特征价格模型一般运用最小二乘法（OLS）估计各属性的隐含价格。OLS估计假设误差项独立且同分布；样本之间彼此独立，住宅价格在空间上没有交互作用，彼此之间不会受到影响；自变量之间相互独立且外生。可以用如下形式表述：
（2）
其中，Y是住宅的价格向量，代表了住宅的市场价格；X=(X1,X2,…，Xn)是住宅属性组合向量；β=（β1，β2…，βn）是属性系数向量，表示属性对房屋市场价格的影响。ε是误差项向量。对上式中的任一属性求偏导，就可以得到该属性的边际隐含价格。该价格体现为多元回归模型的解释变量系数。每个购房者对房屋的各属性的主观估值都是不同的。房屋的市场价格就是该房屋所包含的所有属性的隐含价格之和。因此，特征价格模型可以用于表述住宅属性和住宅市场价格的关系，并且它能分别检验和分析每个属性对住宅价格的影响。
3.2 空间特征价格回归模型
根据Pace et al.（1998），可以通过考虑所有的重要因素和非线性特性，并在特征价格模型中正确地列出所有的自变量来处理空间问题（Dutilleul et al.，1993）。但是纳入太多变量会影响模型的自由度，进而影响模型解释能力。Dubin(2003)提出两种对空间效应进行建模的方法，即空间联立自回归模型（Spatial Simultaneous Autoregressive Approach）和地理加权回归模型（Geographically Weighted Regression，GWR）。
3.2.1 空间联立自回归模型（Spatial Simultaneous Autoregressive Approach，SSAA）
Whittle（1954）最早开始建构空间联立自回归模型，接着开始受到广泛应用。根据Patton（2002），这种方法是利用一个矩阵，W，即通常所说的空间权重矩阵（spatial weights matrix）来捕捉所有观察值之间的空间关系（Ismail，2006）。它描述了空间单元之间的邻接关系，或者说，它描述了邻近观测值（空间意义上的）对模型平均过程的影响程度。因此，空间权重矩阵是通过对邻接程度的衡量生成的，它可以分为两种类型，简单邻接（the simple contiguity）和距离邻接（the distance contiguity）（Bowen et al.，2001）。Patton（2002）指出，简单邻接是指当两个空间单元拥有共同的边界时的情形，它们在一个一阶二元邻接矩阵中被赋值“1”。距离邻接可以是距离衰减矩阵，也可以是距离二元矩阵（Ismail，2006）。距离衰减矩阵在房屋特征价格模型中的应用最为广泛，即每个房屋对一个特定房屋的重要性随着距离递减。它与简单邻接矩阵定义相同，即共享边界的相邻物业之间的权重矩阵为1，但由于这种只有0和1的空间关系矩阵无法测量样本间的影响程度，一些比较复杂的空间权重矩阵也开始产生，例如，Cliff and Ord(1973，1981）；Anselin（1988，1999）建议以2个空间单元间距离的倒数即距离的负指数建立空间加权矩阵，这种空间权重矩阵也称为Cliff-Ord权重矩阵。
根据自回归过程发生的区域，空间联立自回归模型可以分为三种类型（Kissling and Carl，2008）：第一种是加上一个空间滞后变量的空间滞后模型（Spatial Lag Model，SLM）；第二种是处理误差项问题的空间误差模型（Spatial Error Model，SEM）；第三种是当空间相关作用既在因变量中出现，又存在于误差项中时，需要使用空间杜宾模型（Spatial Durbin Model，SDM）。Anselin（1999）提出，如果在模型已经证实有空间自相关的前提下，是比较适合的空间模型；如果主要目的是修正误差项呈现的空间自相关问题，则适合使用空间误差模型。
空间滞后模型主要是探讨各变量在一地区是否有扩散现象（溢出效应）。根据这个模型，因变量（住宅价格）具有空间自相关，这意味着住宅价格不仅依赖于其属性特征，也与周边住宅价格相关。住宅价格的空间相关性往往可以通过在特征价格模型中直接纳入一个空间滞后因变量来进行建模，即周边地区住宅的价格成为一个解释变量被纳入模型。
因此，空间滞后模型采取以下形式：
（3）
其中，Y是住宅价格的一个n×1维向量，W是通过给每一个住宅设定一个邻里特征将样本中的某一住宅价格与其他住宅的价格联系起来的n×n空间权重矩阵，X是解释变量（包括不动产的建筑特征，区位特征和邻里特征）的n×k矩阵，β是估计参数的一个k×1维向量，ε是n×1的误差向量。ρ是空间相关性系数，若ρ显著的不为0，则表明不动产均价之间的确存在实质性的空间相关性，ρ用于表征不同的样本单元之间是否存在显著的空间相关性，而这种相关性主要是指在给定的“空间邻接性”定义下，其他相邻的单元是否对本单元存在一种平均的外部性，ρ的大小则度量了不动产价格之间空间扩散或空间溢出的相互作用程度。这里需要说明的是，参数的估计结果只是说明一种“平均”的外部性效应，至于不同个体之间肯定会存在差异，而这种差异在模型中并不能够表现出来(项歌德，2011)。
Bell and Bockstael(2000)指出，空间滞后模型适用于住宅的价格与其周边住宅的卖价有直接关系的情形。此外，这种关系是单向的，即，第一个卖出的住宅价格会影响后来的住宅卖价，但反之不成立。我们可以把空间滞后模型重新写作。
存在于扰动误差项之中的空间依赖作用，度量了邻近地区关于因变量的误差冲击对本地区观察值的影响程度。空间误差模型与空间滞后模型的主要区别在于，不同单元之间的空间相关性并不表现在被解释变量的空间滞后项上，而是表现在模型误差项上。上文从理论上的角度阐述了不动产价格空间相关性的动机。但是，在实际中，应用一个空间计量模型的动机往往来自于可获得的空间数据的特征。回归误差的空间相关性有两个来源：遗漏空间相关的变量和测量误差或方程形式的错误设定。例如，一个不动产的邻里特征会影响它的销售价格，并且邻近不动产也会被同样的邻里因素影响。因为很难考虑到所有的相关的邻里特征，那么所有被遗漏的变量的效应就会进入误差项，如果这些被遗漏变量是空间相关的，那么误差项就会空间相关。当空间观察单位与经济行为的空间程度不符，就会发生测量误差。例如，对于犯罪率和不动产的社会经济特征这种无法观测的邻里特征变量经常使用错误的变量进行代表。
空间误差模型采用如下形式：
其中，λ是空间参数，若λ显著地不为0，则说明在建模过程中可能会出现诸如数据测量误差，变量选择不合适，空间权重矩阵W不能恰当表达空间关系等导致误差项之间出现空间自相关的情况。它说明一个不动产的误差取决于邻里观测值的平均误差以及它的异质成分，。当时，不是单位矩阵。因此，在本系统中每个不动产的误差与其他不动产的误差相关，体现为误差的整体相关性。此时空间权重矩阵W是有关对不可观测变量（误差项u）的冲击，而非对模型解释变量（X）的冲击。因此，在任何位置的房屋价格不仅是该位置房屋特征属性的函数，而且还是在邻近位置的遗漏变量的函数（Lochl，2010）。
Patton and McErleans（2003）指出，忽视空间滞后相关性所引起的后果会比忽视空间误差相关性更严重，因为前者和理论问题相关，而后者只是因为统计问题。
当空间相关作用既在因变量中出现，又存在于误差项中，Kissling and Carl（2008）建议采用空间杜宾模型，它包含一个空间滞后因变量和一个空间滞后自变量，同时具有“内在的空间自相关（inherent spatial autocorrelation）”和“诱导空间依赖性（induced spatial dependence）”（Lochl, 2010）。空间杜宾模型可以写成如下形式：
根据Valente et al.（2005），以上这些模型的优势之一就是对均值的基于邻里效应的平滑以及计算的简便。鉴于空间回归模型由于自变量的内生性，对于上述三种模型的估计如果仍采用OLS，系数估计值会有偏或者无效，需要通过IV、ML或GLS、GMM等其他方法来进行估计。Anselin（1988）建议采用极大似然法估计空间滞后模型（SLM）和空间误差模型（SEM）的参数。
3.2.2 地理加权回归模型（Geographically Weighted Regression，GWR）
GWR模型是明确允许参数估计值在空间上变化的局部建模方法（Brunsdon et al.1996）。它利用一系列距离相关权重，通过将空间结构和地理信息嵌入线性回归模型中，以此来探测空间关系的非平稳性，拓展了普通的线性回归模型。它允许局部而不是全局的参数估计，通过附加表达空间对象本身相关性和异质性的变化参数，反映样本对回归方程贡献在空间上的分异，使回归结果更加可信。Fotheringham et al.（2002）指出，GWR利用数据的交叠样本对空间上的每一个数据点进行线性回归估计。GWR模型允许参数在空间上进行变动，能够更好地估计在空间上时刻变动着的变量关系（Lochl，2010）。
在GWR模型中，回归系数的估计不是利用一个全局模型来统一描述住宅市场特征，而是利用相互临近区域的信息进行局部回归系数的估计，随着空间地理位置的改变，局部回归系数会随之而改变。即特定区位ⅰ的回归系数不再是利用全域（Global）信息获得的假定常数βio，而是利用邻近观测值的子样本数据信息进行局域（Local）回归估计而得的、随着空间上局部地理位置变化而变化的变数βik（吴玉鸣等，2006）。
式中，Pi是住宅价格的第i个观察值，βio是对第i个局域回归进行估计得到的常数项，βik是第i个局域回归中的空间解释变量k的回归系数，εi是第i个局域回归的随机误差,满足零均值、同方差、相互独立等球形扰动假定。这与OLS回归不同的是，对于每一个数据点都有不同的常数项和回归系数。对βi的估计可以写成如下形式：
其中，βi是观测值i的估计系数矩阵，X是解释变量的Ν×Κ矩阵，Ρ是住宅的价格矩阵，Wi是一个由观测值的空间（经纬度）坐标决定的对角线矩阵。Bitter（2007）等利用一个高斯函数来计算Wi：
其中，d代表回归点和观测点之间的欧几里得距离，h代表带宽。GWR的结果对带宽的选择非常敏感，这是因为如果指定一个带宽并只允许最小的距离衰减会产生和全局模型类似的结果。相反，如果带宽很窄，只有邻近区域内的点会被考虑，这将会导致估计值产生高方差（Fotheringham et al.2000）。
4 空间相关性的检验
空间相关性分析包括分析区域内某一变量的观察值跟邻里单元内同一变量的数值的空间相关程度。Anselin and Bera(1998)认为空间自我相关的检验是十分重要的，有一系列描述性统计方法可以用于检验空间相关性，例如Moran’s I，Geary’s C，the joint count和Gi（d），还有一系列检测空间自相关的规范检验，例如拉格朗日乘数（Lagrange Multiplier，LM），似然比（Likelihood Ratio，LR）和Wald检验（Suriatini，2005）。其中，最常被使用的方法是Moran’s I和拉格朗日乘数。
Moran’s I检验方法是Moran（1948，1950)以统计学的理论发展出来，并且受到广泛使用。全域型的Moran’s I的公式如下所示：
当观察变量为不动产时，上述公式中的n为不动产样本数，Xi为i空间单元的不动产价格，Xj为以i空间单元为中心某一特定界限范围内其他空间单元的不动产价格，Wij为经过列标准化的空间权重矩阵，由Cliff and Ord（1973）提供了最早期的Wij的定义与形式，接着Griffith（1995）；Brett and Pinkse（1997）；Bavaud（1998）也对空间权重矩阵有着不同的定义。
Bell and Bockstae（2000）指出，拉格朗日乘数检验可以分为两种类型，拉格朗日乘数—误差检验（Lagrange Muhiplier-Error Test，LMERR）和拉格朗日乘数一滞后检验（Lagrange Multiplier-Lag Test，LMLAG），前者用于检验空间误差相关性，后者用于检验空间滞后相关性。根据吴玉鸣和何建坤（2008），由于事先无法根据先验经验推断在模型中是否存在空间依赖性，有必要构建一种判别准则，以决定哪种空间模型更加符合客观实际。但Bell and Bockstae（2000）提出，区分空间相关性的两种来源是非常困难的，而且即使只有一种形式的空间相关性存在，两种拉格朗日乘数检验可能都是显著的。他们进一步指出，如果两种检验都是显著的并且估值很高，那么最高的那个估值代表了相关性的正确形式。
5 结论
本文描述了住宅市场特征价格模型中的空间效应问题。Anselin（1988）将空间效应分为两种主要类型，空间相关性和空间异质性。引起空间相关性的原因主要有三个方面，即溢出效应的存在，住宅价格评估过程，和模型的错误构建或测量误差。形成空间异质性的原因可能是不同类型家庭对住宅特定结构属性和设施需求的扭曲，以及住宅价格在空间上的分布的非均质特性。为了处理空间效应，Dubin（2003）提出两种对空间效应进行建模的方法，即空间联立自回归模型和地理加权回归模型。前者是利用一个空间权重矩阵来捕捉所有观察值之间的空间关系，根据自回归过程发生的区域，可以分为三种类型：空间滞后模型，空间误差模型和空间杜宾模型。后者是允许参数估计值在空间上变化的局部建模方法。两个模型都能改善固定系数模型的回归结果。另外，Moran’s I和拉格朗日乘数法是目前两种非常流行的检验空间相关性的方法。
已经有许多针对美国和其他一些国家的住宅市场数据的有关上述讨论的实证研究，尤其是对空间联立自回归和地理加权回归模型的对比分析。有研究证明，地理加权回归模型在模型解释能力和预测准确性方面做得更好，它的估计结果表明系数估计值的实际空间格局比联立自回归模型中假设的要更为复杂（Bitter等，2006）。然而，还缺乏针对中国住宅市场数据的空间特征价格模型的比较研究，因此，未来的研究可以探寻两种考虑空间效应的模型在中国的住宅市场数据中是否能获得与其他国家不动产研究的类似证据。
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作者简介：
纪益成，厦门大学财政系教授、博士生导师，资产评估学科带头人，厦门大学评估研究中心主任。
胡卓娟，厦门大学财政系博士研究生，美国密歇根大学安娜堡分校联合培养博士生。
Spatial Analysis in Housing Valuation Studies：
A Literature Review
Ji Yicheng，Hu Zhuojuan
Abstract：Housing is a heterogeneous commodity，which has a multiplicity of different characteristics.Hedonic pricing model is widely used in housing valuation.However，because of the spatial issues，the traditional model is no longer applicable.This paper reviews the literature on spatial analysis and housing valuation studies.It describes the sources and effects of spatial issues.The importance of considering spatial effects and methods of dealing with the phenomenon as well as ways of model testing are outlined.And the paper concludes by analyzing the direction of future research.
Keywords：Hedonic pricing model，Spatial effect，Spatial simultaneous autoregressive approach，Geographically weighted regression
李求军/责任编辑