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本章的重点是锐角三角函数的定义和直角三角形的解法，难点是综合运用知识解决实际问题.通过本章的学习，同学们要会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求相应锐角，能运用锐角三角函数解直角三角形及相关的实际问题.
一、深入理解锐角三角函数的概念
1.理解锐角三角函数的定义.
（1）正切、正弦和余弦的概念是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，没有单位，其大小只与角的大小有关，与其所在的直角三角形的大小无关；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角三角函数值[ab]、[ac]和[bc]都随锐角A的大小变化而变化，也都随锐角A的确定而唯一确定，因此它的大小仅与角的大小有关，而与所在的直角三角形的边的长短无关；
（3）正切tanA、正弦sinA和余弦cosA是一个完整的符号，tanA不是tan与A的积，离开了∠A，“tan”就没有意义了，只有合起来，tanA才表示∠A的正切，sinA、cosA也是如此；
（4）符号tanA表示∠A的正切，在符号tanA中，习惯省去角的符号“∠”，当用希腊字母α、β等表示角时，其正切中角的符号习惯上也省去，但当用三个英文字母或阿拉伯数字表示角时，角的符号“∠”不能省略，sinA、cosA也是如此，如tanα、sin∠ABC、cos∠1等.
2.应用锐角三角函数的定义.
例1 （2016·甘肃兰州）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=[35]，BC=6，则AB=（ ）.
A.4 B.6 C.8 D.10
【分析】先画出图形，如图1，在Rt△ABC中，由锐角三角函数定义表示出sinA，将sinA的值与BC的长代入即可求出AB的长.
【评注】熟练掌握锐角三角函数的基本概念是解好本题的关键，做题时边读题边画一个直角三角形，数形结合、看图说话，可避免主观出错.
二、理解记忆特殊角的三角函数值
任意角的三角函数值都可以由计算器获取，但由于特殊角的三角函数值常见常用，所以应当记忆，这样便于我们运用它们进行计算、求值和解直角三角形.
另外，观察表格，我们还有收获.横着看：正弦值、正切值，随着角度的增大而增大（其中tan30°?tan60°=1=tan45°）；余弦值，随着角度的增大而减小.这个规律是不是一般规律？对所有的锐角三角函数都成立吗？有兴趣的同学可借助于计算器验证一下自己的发现.竖着看：sin45°=cos45°；斜着看：sin30°=cos60°，sin60°=cos30°.学习数学，要善于观察、思考，这样才能不断提升自己.
例2 式子2cos30°-tan45°-[1-tan60°2]的值是（ ）.
A.[23]-2 B.0 C.[23] D.2
【分析】将特殊角的三角函数值代入后，化简即可得出答案.原式=2×[32]-1-[1-3]=0.
【评注】本题考查了特殊角的三角函数值，因此，一些特殊角的三角函数值需要我们在理解的基础上熟练记忆.
例3 已知tanA=[23]，∠A为锐角，则∠A的取值范围是（ ）.
A.0°<∠A<30° B.30°<∠A<45°
C.45°<∠A<60° D.60°<∠A<90°
【分析】要确定∠A的取值范围，只要确定[23]在哪两个特殊角的三角函数值之间即可.因为[33]<[23]<1，所以tan30° 【评注】解答本题不仅要熟记特殊角的三角函数值，还要理解“锐角三角函数的正切值随着角度的增大而增大”这个规律.
三、解直角三角形及其应用
1.直角三角形各元素之间的关系.
如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A的对边、∠B的对边和∠C的对边.除直角外的五个元素之间有如下的关系：
三边之间的关系：a2 b2=c2；
两个锐角之间的关系：∠A ∠B=90°；
边角之间的关系：sinA=cosB=[ac]；cosA=sinB=[bc]；tanA=[1tanB]=[ab].
2.解直角三角形的基本类型及解法.
由此我们知道：在直角三角形的六个元素中，除直角外的五个元素，只要知道两个元素（其中至少有一个是边），就可以求出其余的三个元素.解直角三角形的知识广泛应用于生活，尤其在测量过程中用于计算距离、高度、长度和角度等.
例4 （2016·江苏苏州）如图3，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（ ）.
A.[23]m B.[26]m
C.（[23]-2）m D.（[26]-2）m
【分析】先在Rt△ABD中利用正弦的定义计算出AD，然后在Rt△ACD中利用正弦的定义计算AC即可.
【解答】在Rt△ABD中，sin∠ABD=[ADAB]，
∴AD=4sin60°=[23]m，
在RtΔACD中，sin∠ACD=[ADAC]，
∴AC=[23sin45°]=[26]m，故选B.
【点评】解直角三角形的关键是抓住已知条件，利用已知的边和角求出未知的边，进而解决问题.
例5 （2016·四川巴中）一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图4所示，则下列关系或说法正确的是（ ）.
一、深入理解锐角三角函数的概念
1.理解锐角三角函数的定义.
（1）正切、正弦和余弦的概念是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，没有单位，其大小只与角的大小有关，与其所在的直角三角形的大小无关；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角三角函数值[ab]、[ac]和[bc]都随锐角A的大小变化而变化，也都随锐角A的确定而唯一确定，因此它的大小仅与角的大小有关，而与所在的直角三角形的边的长短无关；
（3）正切tanA、正弦sinA和余弦cosA是一个完整的符号，tanA不是tan与A的积，离开了∠A，“tan”就没有意义了，只有合起来，tanA才表示∠A的正切，sinA、cosA也是如此；
（4）符号tanA表示∠A的正切，在符号tanA中，习惯省去角的符号“∠”，当用希腊字母α、β等表示角时，其正切中角的符号习惯上也省去，但当用三个英文字母或阿拉伯数字表示角时，角的符号“∠”不能省略，sinA、cosA也是如此，如tanα、sin∠ABC、cos∠1等.
2.应用锐角三角函数的定义.
例1 （2016·甘肃兰州）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=[35]，BC=6，则AB=（ ）.
A.4 B.6 C.8 D.10
【分析】先画出图形，如图1，在Rt△ABC中，由锐角三角函数定义表示出sinA，将sinA的值与BC的长代入即可求出AB的长.
【评注】熟练掌握锐角三角函数的基本概念是解好本题的关键，做题时边读题边画一个直角三角形，数形结合、看图说话，可避免主观出错.
二、理解记忆特殊角的三角函数值
任意角的三角函数值都可以由计算器获取，但由于特殊角的三角函数值常见常用，所以应当记忆，这样便于我们运用它们进行计算、求值和解直角三角形.
另外，观察表格，我们还有收获.横着看：正弦值、正切值，随着角度的增大而增大（其中tan30°?tan60°=1=tan45°）；余弦值，随着角度的增大而减小.这个规律是不是一般规律？对所有的锐角三角函数都成立吗？有兴趣的同学可借助于计算器验证一下自己的发现.竖着看：sin45°=cos45°；斜着看：sin30°=cos60°，sin60°=cos30°.学习数学，要善于观察、思考，这样才能不断提升自己.
例2 式子2cos30°-tan45°-[1-tan60°2]的值是（ ）.
A.[23]-2 B.0 C.[23] D.2
【分析】将特殊角的三角函数值代入后，化简即可得出答案.原式=2×[32]-1-[1-3]=0.
【评注】本题考查了特殊角的三角函数值，因此，一些特殊角的三角函数值需要我们在理解的基础上熟练记忆.
例3 已知tanA=[23]，∠A为锐角，则∠A的取值范围是（ ）.
A.0°<∠A<30° B.30°<∠A<45°
C.45°<∠A<60° D.60°<∠A<90°
【分析】要确定∠A的取值范围，只要确定[23]在哪两个特殊角的三角函数值之间即可.因为[33]<[23]<1，所以tan30°
三、解直角三角形及其应用
1.直角三角形各元素之间的关系.
如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A的对边、∠B的对边和∠C的对边.除直角外的五个元素之间有如下的关系：
三边之间的关系：a2 b2=c2；
两个锐角之间的关系：∠A ∠B=90°；
边角之间的关系：sinA=cosB=[ac]；cosA=sinB=[bc]；tanA=[1tanB]=[ab].
2.解直角三角形的基本类型及解法.
由此我们知道：在直角三角形的六个元素中，除直角外的五个元素，只要知道两个元素（其中至少有一个是边），就可以求出其余的三个元素.解直角三角形的知识广泛应用于生活，尤其在测量过程中用于计算距离、高度、长度和角度等.
例4 （2016·江苏苏州）如图3，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（ ）.
A.[23]m B.[26]m
C.（[23]-2）m D.（[26]-2）m
【分析】先在Rt△ABD中利用正弦的定义计算出AD，然后在Rt△ACD中利用正弦的定义计算AC即可.
【解答】在Rt△ABD中，sin∠ABD=[ADAB]，
∴AD=4sin60°=[23]m，
在RtΔACD中，sin∠ACD=[ADAC]，
∴AC=[23sin45°]=[26]m，故选B.
【点评】解直角三角形的关键是抓住已知条件，利用已知的边和角求出未知的边，进而解决问题.
例5 （2016·四川巴中）一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图4所示，则下列关系或说法正确的是（ ）.