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问题是数学学科的“心脏”，是教师有效教学的重要“抓手”.教学例题具有典型性、概括性和丰富性等特点，教师通过典型生动教学例题的讲解和分析活动，能够充分展示数学概念、性质、定理等内容要义，以题为媒，提高初中生对概念、性质、定理等内容要义的掌握和理解程度.教师要结合教改目标、教学要求，延伸和拓展教学例题的深刻内涵和丰富教学例题的外延，使学生的探究实践、思维创新以及综合应用等学习技能素养得到有效锻炼和培养，提高观察问题、分析问题和解答问题的能力水平.下面，笔者就延伸拓展例题，锻炼提升学习能力进行简要论述.
一、一题多问，循序渐进，逐层推进
学生学习技能的提升过程，是一个循序渐进的发展前进程.教师在培养学生运用所学知识感知分析问题过程中，要通过渐进式的提问，循循善诱，逐步引导学生深入感知和深刻理解问题条件要义以及深层次的关联特性，逐层推进初中生感知问题活动的进程，提高感知问题能力.
图1
问题：如图1所示，在两个三角形△ABD和△ACE中，已知AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，连接BC、DE相交于点F，BC与AD相交于点G..（1）试判断线段BC、DE的数量关系，并说明理由（2）如果∠ABC=∠CBD，那么线段FD是线段FG和FB的比例中项吗？为什么？
分析：上述问题案例是教师在相似形阶段性复习课教学中所设置的例题，在该问题的设置过程中，教师抓住全等三角形是相似三角形特殊案例的特性， 以及学生对相似形判定和相关性质掌握的实际情况，通过设置一题多问的教学案例，让学生深刻感知相似形知识内容，掌握解决问题的方法策略.
解：（1）BC、DE的数量关系是BC=DE
理由：因为∠BAD=∠CAE，所以∠BAC=∠DAE.
又因为AB=AD，AC=AE.
所以△ABC≌△ADE （SAS）.
所以BC=DE.
（2）线段FD是线段FG和FB的比例中项
理由：因为△ABC≌△ADE，所以∠ABC=∠ADE.
因为∠ABC=∠CBD 所以∠ADE=∠CBD.
又因为∠BFD=∠DFG，
所以△BFD∽△DFG.
所以BFDF=DFFC.
所以FD2=FG·FB
二、一题多解，活化思路，提升能力
解题形式和途径的灵活性，是数学案例问题发散性的重要表现，也是训练学生思考分析灵活度的有效抓手.初中数学教师应将教学例题条件内涵深刻分析，找寻所隐含的知识点之间的深刻联系，运用不同数学知识点，通过不同解题途径，对同一问题运用不同解题方法进行解答，达到“异曲同工”之效，提升思维分析的灵活度.
题目：如图2，在正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在DC上，且DF=14DC，试判断
△BEF的形状，并证明你的结论.
思路1：用勾股定理的逆定理，证明
BE2+EF2=BF2
即可.
证明1：设DF=k（k>0），
则AB=BC=CD=AD=4k，
AE=ED=2k，FC=3k.
在Rt△DEF中，由勾股定理，得EF2=DE2+DF2=（k）2+（2k）2=k2+4k2=5k2.
在Rt△ABE中，由勾股定理，得
BE2=AB2+AE2=（4k）2+（2k）2=16k2+4k2=20k2.
在Rt△BFC中，由勾股定理，得
BF2=BC2+CF2=（4k）2+（3k）2=16k2+9k2=25k2.
所以BE2+EF2=20k2+5k2=25k2=BF2.
所以△BEF
是直角三角形.
图2图3
思路2：注意到点E为AD中点，于是可反向延长
EF交AB的反向延长线于点M（也可延长BA、FE交于点M），然后证明BE2+ME2=BM2.
证明2：反向延长EF交AB的反向延长线于点M
如图3所示，易证△DEF≌△AEM.
所以AM=DF=k，
从而BM=BA+AM=4k+k=5k.
在Rt△ABE中，由勾股定理，得
BE2=AB2+AE2=（4k）2+（2k）2=16k2+4k2=20k2.
在Rt△AME中，由勾股定理，得
ME2=AM2+AE2=（k）2+（2k）2=k2+4k2=5k2.
所以BE2+ME2=20k2+5k2=25k2=BM2.
所以△BEM是直角三角形.
所以∠BEM=90°，
所以∠BEF=90°.
所以△BEF是直角三角形.
思路3：注意到E为AD中点和待证的结论，于是可反向延长EF交AB的反向延长线于点M，易证ME=EF.联想到等腰三角形的“三线合一”定理，只需证明BM=BF即可.
证明3：反向延长EF交AB的反向延长线于点M，
如图4所示，易证△DEF≌△AEM.
所以AM=DF=k，
从而BM=BA+AM=4k+k=5k.
在Rt△BFC中，由勾股定理，得
BF2=BC2+CF2=（4k）2+（3k）2=16k2+9k2=25k2.
所以BF=5k.所以BF=BM.
又因为EF=ME.由等腰三角形的“三线合一”定理，得到BE⊥MF.
所以△BEF是直角三角形. 图4图5
思路4：联想到直角三角形的面积公式，于是可作AF上的高，然后证明
S△BEF=12BE×EF即可.
证明4： S正方形ABCD=
（4k）2=16k2
S△ABE=12AB×AE=
12×4k×2k=4k2
S△DEF=12
DE×DF=12×2k×k=k2
S△BFC=12BC×CF=12×4k×3k=6k2.
S△BEF=S正方形ABCD-S△ABE
-S△DEF
-S△BFC=16k2-4k2-k2-6k2=5k2.
在Rt△ABE中，由勾股定理，得
BE2=AB2+AE2=（4k）2+（2k）2=16k2+4k2=20k2，
所以
BE=25k.
在Rt△DEF中，由勾股定理，得
EF2=DE2+DF2=（k）2+（2k）2=k2+4k2=5k2.
所以
EF=5k.
所以
12BE×EF=12
×25k×5k=5k2
所以S△BEF=12
BE×EF.
所以BE为△BEF的边EF上的高.
所以△BEF是直角三角形.
一道看似简单平凡的几何证明题，经过我们的深入分析、细致发掘，却发现里面渗透了勾股定理、全等三角形、等腰三角形等诸多知识点（以后还能用梯形的中位线、二次根式、圆、相似三角形、三角函数等知识）.同时里面还涉及到了设参法、面积法等主要的数学方法.有意识地对课本中的典型例题、习题进行深入挖掘，这样做可以巩固所学的知识，开拓我们的思维，在不同的学习阶段能从不同的角度去思考，然后用不同于前一阶段的方法解答，培养学生思维的灵活性与创造性.
三、一题多变，综合概括，提高素养
数学知识点之间联系较为密切，渗透较为深刻，教师应该抓住知识点之间的深刻联系特性，通过对已有例题的有效变化，重新“加工”设置出蕴含不同数学知识点内容的变式问题，引导学生对已学知识进行综合、概括和提炼，针对不同问题确定出不同的解题方法和策略，从而实现数学综合应用能力的有效提高.
问题：在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数
y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点 C，其顶点的横坐标为1，且过点（2，3）和（-3，-12）.求此二次函数的表达式.
变式1：上述问题条件不变，如果直线
l：y=kx（k≠0）与线段BC交于点D（不与点B、C重合），则是否存在这样的直线l，使得以 B、O、D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由.
变式2：上述问题条件不变，如果点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角
∠PCO与∠ACO的大小（不必证明），并写出此时点P的横坐标xP的取值范围.
以上问题案例是讲解二次函数章节专题时，所设置的变式问题案例，学生在变式问题案例的分析和解答中，需要运用二次函数与方程（组）之间的关系，函数解析式、相似三角形的性质以及分类讨论等知识内容和解题思想，这对学生综合应用能力提出了新要求，学生在此类型变式问题案例训练中，综合应用能力水平能够得到有效锻炼，解题思想素养能够得到有效培养.
总之，初中数学教师只要树立创新理念，求新意识，善于加工、创新例题，组织开展有效分析，那么学生观察问题、分析问题、解答问题等能力一定能得到显著锻炼和提升.
一、一题多问，循序渐进，逐层推进
学生学习技能的提升过程，是一个循序渐进的发展前进程.教师在培养学生运用所学知识感知分析问题过程中，要通过渐进式的提问，循循善诱，逐步引导学生深入感知和深刻理解问题条件要义以及深层次的关联特性，逐层推进初中生感知问题活动的进程，提高感知问题能力.
图1
问题：如图1所示，在两个三角形△ABD和△ACE中，已知AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，连接BC、DE相交于点F，BC与AD相交于点G..（1）试判断线段BC、DE的数量关系，并说明理由（2）如果∠ABC=∠CBD，那么线段FD是线段FG和FB的比例中项吗？为什么？
分析：上述问题案例是教师在相似形阶段性复习课教学中所设置的例题，在该问题的设置过程中，教师抓住全等三角形是相似三角形特殊案例的特性， 以及学生对相似形判定和相关性质掌握的实际情况，通过设置一题多问的教学案例，让学生深刻感知相似形知识内容，掌握解决问题的方法策略.
解：（1）BC、DE的数量关系是BC=DE
理由：因为∠BAD=∠CAE，所以∠BAC=∠DAE.
又因为AB=AD，AC=AE.
所以△ABC≌△ADE （SAS）.
所以BC=DE.
（2）线段FD是线段FG和FB的比例中项
理由：因为△ABC≌△ADE，所以∠ABC=∠ADE.
因为∠ABC=∠CBD 所以∠ADE=∠CBD.
又因为∠BFD=∠DFG，
所以△BFD∽△DFG.
所以BFDF=DFFC.
所以FD2=FG·FB
二、一题多解，活化思路，提升能力
解题形式和途径的灵活性，是数学案例问题发散性的重要表现，也是训练学生思考分析灵活度的有效抓手.初中数学教师应将教学例题条件内涵深刻分析，找寻所隐含的知识点之间的深刻联系，运用不同数学知识点，通过不同解题途径，对同一问题运用不同解题方法进行解答，达到“异曲同工”之效，提升思维分析的灵活度.
题目：如图2，在正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在DC上，且DF=14DC，试判断
△BEF的形状，并证明你的结论.
思路1：用勾股定理的逆定理，证明
BE2+EF2=BF2
即可.
证明1：设DF=k（k>0），
则AB=BC=CD=AD=4k，
AE=ED=2k，FC=3k.
在Rt△DEF中，由勾股定理，得EF2=DE2+DF2=（k）2+（2k）2=k2+4k2=5k2.
在Rt△ABE中，由勾股定理，得
BE2=AB2+AE2=（4k）2+（2k）2=16k2+4k2=20k2.
在Rt△BFC中，由勾股定理，得
BF2=BC2+CF2=（4k）2+（3k）2=16k2+9k2=25k2.
所以BE2+EF2=20k2+5k2=25k2=BF2.
所以△BEF
是直角三角形.
图2图3
思路2：注意到点E为AD中点，于是可反向延长
EF交AB的反向延长线于点M（也可延长BA、FE交于点M），然后证明BE2+ME2=BM2.
证明2：反向延长EF交AB的反向延长线于点M
如图3所示，易证△DEF≌△AEM.
所以AM=DF=k，
从而BM=BA+AM=4k+k=5k.
在Rt△ABE中，由勾股定理，得
BE2=AB2+AE2=（4k）2+（2k）2=16k2+4k2=20k2.
在Rt△AME中，由勾股定理，得
ME2=AM2+AE2=（k）2+（2k）2=k2+4k2=5k2.
所以BE2+ME2=20k2+5k2=25k2=BM2.
所以△BEM是直角三角形.
所以∠BEM=90°，
所以∠BEF=90°.
所以△BEF是直角三角形.
思路3：注意到E为AD中点和待证的结论，于是可反向延长EF交AB的反向延长线于点M，易证ME=EF.联想到等腰三角形的“三线合一”定理，只需证明BM=BF即可.
证明3：反向延长EF交AB的反向延长线于点M，
如图4所示，易证△DEF≌△AEM.
所以AM=DF=k，
从而BM=BA+AM=4k+k=5k.
在Rt△BFC中，由勾股定理，得
BF2=BC2+CF2=（4k）2+（3k）2=16k2+9k2=25k2.
所以BF=5k.所以BF=BM.
又因为EF=ME.由等腰三角形的“三线合一”定理，得到BE⊥MF.
所以△BEF是直角三角形. 图4图5
思路4：联想到直角三角形的面积公式，于是可作AF上的高，然后证明
S△BEF=12BE×EF即可.
证明4： S正方形ABCD=
（4k）2=16k2
S△ABE=12AB×AE=
12×4k×2k=4k2
S△DEF=12
DE×DF=12×2k×k=k2
S△BFC=12BC×CF=12×4k×3k=6k2.
S△BEF=S正方形ABCD-S△ABE
-S△DEF
-S△BFC=16k2-4k2-k2-6k2=5k2.
在Rt△ABE中，由勾股定理，得
BE2=AB2+AE2=（4k）2+（2k）2=16k2+4k2=20k2，
所以
BE=25k.
在Rt△DEF中，由勾股定理，得
EF2=DE2+DF2=（k）2+（2k）2=k2+4k2=5k2.
所以
EF=5k.
所以
12BE×EF=12
×25k×5k=5k2
所以S△BEF=12
BE×EF.
所以BE为△BEF的边EF上的高.
所以△BEF是直角三角形.
一道看似简单平凡的几何证明题，经过我们的深入分析、细致发掘，却发现里面渗透了勾股定理、全等三角形、等腰三角形等诸多知识点（以后还能用梯形的中位线、二次根式、圆、相似三角形、三角函数等知识）.同时里面还涉及到了设参法、面积法等主要的数学方法.有意识地对课本中的典型例题、习题进行深入挖掘，这样做可以巩固所学的知识，开拓我们的思维，在不同的学习阶段能从不同的角度去思考，然后用不同于前一阶段的方法解答，培养学生思维的灵活性与创造性.
三、一题多变，综合概括，提高素养
数学知识点之间联系较为密切，渗透较为深刻，教师应该抓住知识点之间的深刻联系特性，通过对已有例题的有效变化，重新“加工”设置出蕴含不同数学知识点内容的变式问题，引导学生对已学知识进行综合、概括和提炼，针对不同问题确定出不同的解题方法和策略，从而实现数学综合应用能力的有效提高.
问题：在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数
y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点 C，其顶点的横坐标为1，且过点（2，3）和（-3，-12）.求此二次函数的表达式.
变式1：上述问题条件不变，如果直线
l：y=kx（k≠0）与线段BC交于点D（不与点B、C重合），则是否存在这样的直线l，使得以 B、O、D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由.
变式2：上述问题条件不变，如果点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角
∠PCO与∠ACO的大小（不必证明），并写出此时点P的横坐标xP的取值范围.
以上问题案例是讲解二次函数章节专题时，所设置的变式问题案例，学生在变式问题案例的分析和解答中，需要运用二次函数与方程（组）之间的关系，函数解析式、相似三角形的性质以及分类讨论等知识内容和解题思想，这对学生综合应用能力提出了新要求，学生在此类型变式问题案例训练中，综合应用能力水平能够得到有效锻炼，解题思想素养能够得到有效培养.
总之，初中数学教师只要树立创新理念，求新意识，善于加工、创新例题，组织开展有效分析，那么学生观察问题、分析问题、解答问题等能力一定能得到显著锻炼和提升.