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摘要： 本文提出了一种用于直流分布式电源系统（DPS）的DC-DC变换系统设想。研究基于脉冲宽度调制（PWM）电压源级联变换器的双回路PI控制策略，最小化电压纹波并确保系统的稳定性。首先，得到系统的数学模型。然后，利用稳定性分析的方法来验证系统稳定性。最后，最小化中间总线和输出电压的纹波。
关键词： 直流分布式电源系统; DC-DC变换系统; PI控制
中图分类号： TM33 文献标识码： A
Stability Analysis of a DC-DC Conversion System
Zhang Kun， Guo Ling， Song Fei-yang
（Northwest Minzu University， LanZhou 730000， China）
Abstract： This paper studies a DC-DC conversion system for DC distributed power systems（DPS）. A dual-loop PI control strategy based on the voltage source’s cascade converters of pulse width modulation（PWM） is proposed to minimize the ripple of voltages and ensure the stability of the system. Firstly， get the mathematical model of the system. Then， the stability analysis method is used to verify the stability of the system. Finally， the ripples of the intermediate bus and output voltages are minimized.
Key words： DC distributed power system;DC-DC conversion system;PI control
1 引言
分布式發电能够充分利用清洁和可再生能源，并根据用户的需求就近发电，减少了远距离输电的经济投入和电能损耗。分布式发电与集中式发电互相补充，是新时代解决能源与环境问题的有效手段。用于光伏发电，微电网，高速铁路，航空航天应用等的直流电源系统也越来越受到人们的关注[1-5]。直流电源系统中的直流电压变换器的设计及稳定性分析是分布式发电系统发展的重点技术环节，具有十分重要的现实意义。通过对单个变换器级联而成的DC-DC变换器具有以下优点：（1）可以调节中间与输出电压的比例，满足不同的供电需求;（2）为多个非隔离负载点提供电压的输入，加强了变换器的应用范围;（3）其输出负载近似为恒定功率负载，具有稳定的电压输出[6]。
因为DC-DC变换器系统是一种切换动力学系统，因其开关的不同状态，可被分割为几个甚至十几个不同的子系统。相邻的子系统的切换条件也大不相同。随着分布式发电系统中的级联DC-DC变换器运行，中间总线和输出负载电压的纹波的幅值也随之增加，其形状也变得不规则[7-16]。出于电路整体负载和运行成本的考虑，变换器中参数的值的大小的改变极为有限，纹波不容易被过滤，因此不能确保DC-DC变换器的稳定性。为了解决这个问题，国内外专家学者对DC-DC变换器的稳定性控制和分析进行过大量研究。在文献[17-19]中，提出了一种PI控制方案用于追踪额定的中间总线和输出负载电压，减少这些电压的波动并增强系统稳定性。同时通过内部PI控制回路来获得稳定的输出电压。但是这些研究的重点仅仅关注于单回路的PI控制器，双回路的级联DC-DC变换器的PI控制器的系统却很少涉及到。在文献[20]中，探讨了带有双回路PI控制器的DC-DC变换器。它采用了中间总线电压作为控制电路时钟信号的输入源。但是在文献[20]中，因其控制电路时钟信号的占空比固定，不便于调整DC-DC变换系统的中间母线和输出负载的电压比例。
由于DC-DC变换系统中存在大量的开关曲面，大量的子系统和不同的调压方式，因此研究学者提出了多种稳定性评估方法来评判系统的稳定性，其中一种简单有效的方法就是单值矩阵[21，22]。在文献[21]中分析了DC-DC变换系统的稳态周期行为。为了简化变换系统，可以将周期系统分成数个子系统，并提出了通过计算状态转移矩阵和跳跃矩阵得到单值矩阵的方法。通过此方法，即使是奇异矩阵的状态转移矩阵，也可以通过系统矩阵计算得到。通过引入跳跃矩阵可以单独考虑每次子系统的切换，因此此方法极大地简化了对系统的分析[23]。在文献[22]中，通过采用单值矩阵的方法作为稳定性的评判依据，得到稳定的周期轨道并将其线性化来计算单值矩阵。其周期轨道的Floquet特征乘子就是单值矩阵的特征值，并且通过特征值来决定整个DC-DC变换系统的稳定性。
在本研究中，提出了应用于直流DPS的两个级联DC-DC变换系统的PI控制方案。基于脉冲宽度调制（PWM），PI控制方案的占空比是不固定的。控制的目的是抑制中间总线和输出电压中的谐波电压并确保子系统的稳定性。通过采用单值矩阵的分析方法，得到了整个周期轨道的状态方程，将完整系统分为几种不同的拓扑结构模式。从而极大地简化了对DC-DC变换系统的分析。本研究表明，这种方法也可以应用于具有任意数量的DC变换器和不同调压方式的DC-DC变换系统。实验结果表明系统运行良好，电压保持在正常范围以内。 2 系统模态分析
3 系统建模
本文中的DC-DC变换系统电路的动态模型可用如下微分方程描述：
在本文中，一个DC-DC变换系统的完整的切换周期中存在六个不同的拓扑模式，其中每个子系统Mi的状态方程可以以向量矩阵形式描述为：
其中fi是向量域。Ai是系统矩阵。Bi是输入矩阵。x是状态向量和u是输入源。y是变换器器的输出源，C是指向输出状态变量的常量向量。在本节中，xi（ti）是状态向量在切换时刻ti的值，它可以由前一个的状态向量xi-1（ti-1）和前一个切换瞬间ti-1得到：
其中In是大小为n的单位矩阵。然后，化简矩阵如下：
整个完整的切换周期的所有的子系统的顺序如下所示：
M1→M2→M4→M1→M2→M1→M3→M6→M5→M6→M4 （4）
对于一个开关周期，整个DC-DC变换系统中由（4）中的11个子系统构成。在该系统中，一个完整的切换周期中有11个的开关瞬间τ。这些开关瞬间包括临界开关瞬间τc和时钟信号的开关瞬间τk（τk=1/fc），其中fc是时钟信号的频率。在本研究中，开关瞬间τ可以改变PI控制回路的状态，τk是已知的控制变量。其中（4）的第i个子系统的开关瞬间为ti，i=1，2，...11。因此，可以得到由11个子系统组成的周期轨道。对于每个子系统的持续时间Ti，Ti=ti-ti-1，i=1，2，...11。从而获得如下所有的Ti。
将（4）中的一个子系统切换成另一个子系统的切换条件可由如下所得：
4 稳定性分析
本部分将探讨两个级联的DC-DC变换系统的稳定性判据标准。PI控制模块用于跟踪参考电压并消除输出电压的谐波。通过向量矩阵形式的整体系统（1）（2），清楚地解释了单值矩阵在稳定性分析中的作用。
对于DC-DC变换系统中在（4）中的子系统序列，使用（3），非线性映射函数f在切换周期内的状态向量xm可表示为：
xm=f（x0，u，τk）
=Φm Φm-1Φm-2…Φ2Φ1x0 （5）
+（Φm Φm-1Φm-2…Φ2 ？祝1+…+Φm ？祝m-1+？祝m）u
其中开关瞬间τk是对于DC-DC变换系统的一个完整的切换周期内的已知控制变量。xm定义为开关周期的最终状态值，x0是初始状态值。u是常量变量的输入源。在（5）对其中的变量x0求偏微分可表示为：
=Φm ·Sm-1，m·Φm-1·Sm-1，m-2·Φm-2·Sm-3，m-2…S1，2·Φ1
在上面的推导中，上标+和-代表切换之后的瞬间和切换之前的瞬间。基于Filippov理论，（6）中的跳跃矩阵Si，i+1可表示为：
其中fi表示向量域和xi表示切换瞬间ti的状态。切换平面的法向量ni可由如下公式推导：
因此本文的单值矩阵J可表示为：
J=Φ11·S10，11·Φ10·S9，10…S1，2·Φ1 （7）
表2 系统参数表
5 仿真结果
根据表2所示的电路参數，通过实验验证PI控制方案的有效性和提出的稳定性分析方法。在MATLAB、SIMULINK中构建了一个DC-DC变换器模型。一个完整的开关周期内Vo1和Vo2的电压波形如图1所示。值得注意的是，Vo1和Vo2可以通过几个完整的周期达到稳定的状态。中间总线电压的纹波在额定值的±2%范围内。输出电压的纹波约为±6%。可以看出，系统是稳定的。根据（7），对单值矩阵J进行计算，我们得到了它的特征值，分别是：0.2335±0.0278i，0.9288，0.2335±0.0278i，-0.1226±0.0438i，0.1025，0.8469，-0.2835，-0.0584，-0.8565，
0.0276，-0.4380，-0.5122
可以看出J的所有特征值都在单位圆内。因此，系统是稳定的。
6 结束语
在本研究中，探讨了两个级联而成的直流降压变换器系统，提出了与之相应的PI控制方法来抑制中间总线和输出电压的纹波，在此基础上提出了用于评估DC-DC变换系统稳定性的单值矩阵的分析方法。此方法可以将一个周期系统划分为不同的拓扑模式。基于所提出的方法可以获得单值矩阵复共轭的特征值，通过特征值的大小可以判定系统的稳定性。通过研究发现，本研究所提出方法的理论分析结果与MATLAB中的仿真结果非常吻合。仿真结果表明中间总线和输出电压纹波可以最小化，DC-DC变换系统的稳定性能够得到保证。
参考文献：
[1]高明远. 双向DC-DC变换器基于切换系统的建模与储能控制. 电力系统保护与控制，2012，40（3）：129-134.
[2]H.Kakigano，Y.Miura，T.Ise.Low-voltage bipolar-type DC microgrid for super high quality distribution.IEEE Transactions on Power Electronics.，2010，25（12）：3066-3075.
[3]C.D.Xu，K.W.E.Cheng.A survey of distributed power system-AC versus DC distributed power system.IEEE PESA.，2011. 1-12.
[4]F.Blaabjerg，A.Consolic，J.A.Ferreira，J.D. van Wyk.The future of electronic power processing and conversion.IEEE Transactions on Power Electronics.，2005，20（3）：715-720. [5]D.Boroyevich，I.Cvetkovi？c，D.Dong，R.Burgos，F.Wang，F.C.Lee.Future electronic power distribution systems-A contemplative view.Optimization of Electrical and Electronic Equipment.，2010.1369-1380.
[6]A.Emadi，A.Khaligh，C.H.Rivetta，G.A.Williamson.Constant power loads and negative impedance instability in automotive systems：Definition， modeling， stability， control of power electronic converters and motor drives.IEEE Transactions on Vehicular Technology.，2006，55（4）：1112-1124.
[7]X.Feng，J.Liu，F.C.Lee.Impedance specifications for stable DC distributed power systems.IEEE Transactions on Power Electronics.，2002，17（2）：157-162.
[8]A.Emadi.Modeling of power electronic loads in AC distribution systems using the generalized state-space averaging method.Conference of the IEEE Industrial Electronics Society.，2004，51（5）：995-1000.
[9]X.L.Xiong，C. K.Tse，X.B.Ruan. Bifurcation analysis of standalone photovoltaic-battery hybrid power system.IEEE Transactions on Circuits and Systems.，2013，60（5）：1354-1365.
[10]A.Khaligh.Realization of parasitics in stability of DC-DC converters loaded by constant power loads in advanced multi-converter automotive systems.IEEE Transactions on Industrial Electronics.，2008，55（6）：2295-2305.
[11]M.Huang，C.K.Tse，S.C.Wong，C.Wan，X.B.Ruan.Low frequency hopf bifurcation and Its effects on stability margin in threephase PFC power supplies connected to non-ideal power grid.IEEE Transactions on Circuits and Systems.，2013， 60（12）：3328-3340.
[12]A.M.Rahimi，A.Emadi.Active damping in DC/DC power electronic converters：A novel method to overcome the problems of constant power loads.IEEE Transactions on Industrial Electronics.，2009，56（5）：1428-1439.
[13]M.Huang，S.C.Wong，C.K.Tse，X.B.Ruan.Catastrophic bifurcation in three-phase voltage-source converters.IEEE Transactions on Circuits and Systems.，2013，60（4）：1062-1071.
[14]S.Abe，H.Nakagawa，M.Hirokawa，T.Zaitsu，T.Ninomiya.System stability of full regulated bus converter in distributed power system.International Telecommunications Conference.，2005.563-568.
[15]X.Yang，H.Zhang，X.Ma.Modeling and stability analysis of cascade buck converters with power stages.Mathematics and Computers in Simulation.，2010，80（3）：533-546.
[16]W.Chen，X.Ruan，H.Yan，C.K.Tse.DC/DC conversion systems consisting of multiple converter modules：Stability， control and experimental verifications.IEEE Transactions on Power Electronics.，2009，24（6）：1463-1474.
[17]劉宿城，周雒维，卢伟国，et al. 通过小信号环路估计DC-DC开关变换器的大信号稳定区域预测. 电工技术学报， 2014，29（4）：63-69.
[18]D.Giaouris，S.Banerjee，B.Zahawi，and V.Pickert.Stability analysis of the continuous conduction mode buck converter via Filippovs method.IEEE Transactions on Circuits and Systems.，2008，55（4）：1084-1096.
[19]B.K.H.Wong，S.H.Chung.Systematic graphing technique for small signal low-frequency characterization of PWM DC/DC converters.IEEE Transactions on Industrial Electronics.，2000，47（1）：45-53.
[20]K.Mandal，S.Banerjee.Synchronization phenomena in microgrids with capacitive coupling.IEEE Journal on Emerging and Selected Topics in Circuits and Systems.，2015，5（3）：364-371.
[21]H.R.Visser，P.P.J.van den Bosch.Modelling of periodically switching networks.IEEE PESC.，1991.63-73.
[22]李 哲，吴 辰. 电流反馈型Buck变换器分岔动力学分析及稳定性控制. 电力系统保护与控制，2016， 44（18）：54-60.
[23]R.I.Leine，H.Nijmeijer.Dynamics and bifurcations of non-smooth mechanical systems.Springer，2004.
关键词： 直流分布式电源系统; DC-DC变换系统; PI控制
中图分类号： TM33 文献标识码： A
Stability Analysis of a DC-DC Conversion System
Zhang Kun， Guo Ling， Song Fei-yang
（Northwest Minzu University， LanZhou 730000， China）
Abstract： This paper studies a DC-DC conversion system for DC distributed power systems（DPS）. A dual-loop PI control strategy based on the voltage source’s cascade converters of pulse width modulation（PWM） is proposed to minimize the ripple of voltages and ensure the stability of the system. Firstly， get the mathematical model of the system. Then， the stability analysis method is used to verify the stability of the system. Finally， the ripples of the intermediate bus and output voltages are minimized.
Key words： DC distributed power system;DC-DC conversion system;PI control
1 引言
分布式發电能够充分利用清洁和可再生能源，并根据用户的需求就近发电，减少了远距离输电的经济投入和电能损耗。分布式发电与集中式发电互相补充，是新时代解决能源与环境问题的有效手段。用于光伏发电，微电网，高速铁路，航空航天应用等的直流电源系统也越来越受到人们的关注[1-5]。直流电源系统中的直流电压变换器的设计及稳定性分析是分布式发电系统发展的重点技术环节，具有十分重要的现实意义。通过对单个变换器级联而成的DC-DC变换器具有以下优点：（1）可以调节中间与输出电压的比例，满足不同的供电需求;（2）为多个非隔离负载点提供电压的输入，加强了变换器的应用范围;（3）其输出负载近似为恒定功率负载，具有稳定的电压输出[6]。
因为DC-DC变换器系统是一种切换动力学系统，因其开关的不同状态，可被分割为几个甚至十几个不同的子系统。相邻的子系统的切换条件也大不相同。随着分布式发电系统中的级联DC-DC变换器运行，中间总线和输出负载电压的纹波的幅值也随之增加，其形状也变得不规则[7-16]。出于电路整体负载和运行成本的考虑，变换器中参数的值的大小的改变极为有限，纹波不容易被过滤，因此不能确保DC-DC变换器的稳定性。为了解决这个问题，国内外专家学者对DC-DC变换器的稳定性控制和分析进行过大量研究。在文献[17-19]中，提出了一种PI控制方案用于追踪额定的中间总线和输出负载电压，减少这些电压的波动并增强系统稳定性。同时通过内部PI控制回路来获得稳定的输出电压。但是这些研究的重点仅仅关注于单回路的PI控制器，双回路的级联DC-DC变换器的PI控制器的系统却很少涉及到。在文献[20]中，探讨了带有双回路PI控制器的DC-DC变换器。它采用了中间总线电压作为控制电路时钟信号的输入源。但是在文献[20]中，因其控制电路时钟信号的占空比固定，不便于调整DC-DC变换系统的中间母线和输出负载的电压比例。
由于DC-DC变换系统中存在大量的开关曲面，大量的子系统和不同的调压方式，因此研究学者提出了多种稳定性评估方法来评判系统的稳定性，其中一种简单有效的方法就是单值矩阵[21，22]。在文献[21]中分析了DC-DC变换系统的稳态周期行为。为了简化变换系统，可以将周期系统分成数个子系统，并提出了通过计算状态转移矩阵和跳跃矩阵得到单值矩阵的方法。通过此方法，即使是奇异矩阵的状态转移矩阵，也可以通过系统矩阵计算得到。通过引入跳跃矩阵可以单独考虑每次子系统的切换，因此此方法极大地简化了对系统的分析[23]。在文献[22]中，通过采用单值矩阵的方法作为稳定性的评判依据，得到稳定的周期轨道并将其线性化来计算单值矩阵。其周期轨道的Floquet特征乘子就是单值矩阵的特征值，并且通过特征值来决定整个DC-DC变换系统的稳定性。
在本研究中，提出了应用于直流DPS的两个级联DC-DC变换系统的PI控制方案。基于脉冲宽度调制（PWM），PI控制方案的占空比是不固定的。控制的目的是抑制中间总线和输出电压中的谐波电压并确保子系统的稳定性。通过采用单值矩阵的分析方法，得到了整个周期轨道的状态方程，将完整系统分为几种不同的拓扑结构模式。从而极大地简化了对DC-DC变换系统的分析。本研究表明，这种方法也可以应用于具有任意数量的DC变换器和不同调压方式的DC-DC变换系统。实验结果表明系统运行良好，电压保持在正常范围以内。 2 系统模态分析
3 系统建模
本文中的DC-DC变换系统电路的动态模型可用如下微分方程描述：
在本文中，一个DC-DC变换系统的完整的切换周期中存在六个不同的拓扑模式，其中每个子系统Mi的状态方程可以以向量矩阵形式描述为：
其中fi是向量域。Ai是系统矩阵。Bi是输入矩阵。x是状态向量和u是输入源。y是变换器器的输出源，C是指向输出状态变量的常量向量。在本节中，xi（ti）是状态向量在切换时刻ti的值，它可以由前一个的状态向量xi-1（ti-1）和前一个切换瞬间ti-1得到：
其中In是大小为n的单位矩阵。然后，化简矩阵如下：
整个完整的切换周期的所有的子系统的顺序如下所示：
M1→M2→M4→M1→M2→M1→M3→M6→M5→M6→M4 （4）
对于一个开关周期，整个DC-DC变换系统中由（4）中的11个子系统构成。在该系统中，一个完整的切换周期中有11个的开关瞬间τ。这些开关瞬间包括临界开关瞬间τc和时钟信号的开关瞬间τk（τk=1/fc），其中fc是时钟信号的频率。在本研究中，开关瞬间τ可以改变PI控制回路的状态，τk是已知的控制变量。其中（4）的第i个子系统的开关瞬间为ti，i=1，2，...11。因此，可以得到由11个子系统组成的周期轨道。对于每个子系统的持续时间Ti，Ti=ti-ti-1，i=1，2，...11。从而获得如下所有的Ti。
将（4）中的一个子系统切换成另一个子系统的切换条件可由如下所得：
4 稳定性分析
本部分将探讨两个级联的DC-DC变换系统的稳定性判据标准。PI控制模块用于跟踪参考电压并消除输出电压的谐波。通过向量矩阵形式的整体系统（1）（2），清楚地解释了单值矩阵在稳定性分析中的作用。
对于DC-DC变换系统中在（4）中的子系统序列，使用（3），非线性映射函数f在切换周期内的状态向量xm可表示为：
xm=f（x0，u，τk）
=Φm Φm-1Φm-2…Φ2Φ1x0 （5）
+（Φm Φm-1Φm-2…Φ2 ？祝1+…+Φm ？祝m-1+？祝m）u
其中开关瞬间τk是对于DC-DC变换系统的一个完整的切换周期内的已知控制变量。xm定义为开关周期的最终状态值，x0是初始状态值。u是常量变量的输入源。在（5）对其中的变量x0求偏微分可表示为：
=Φm ·Sm-1，m·Φm-1·Sm-1，m-2·Φm-2·Sm-3，m-2…S1，2·Φ1
在上面的推导中，上标+和-代表切换之后的瞬间和切换之前的瞬间。基于Filippov理论，（6）中的跳跃矩阵Si，i+1可表示为：
其中fi表示向量域和xi表示切换瞬间ti的状态。切换平面的法向量ni可由如下公式推导：
因此本文的单值矩阵J可表示为：
J=Φ11·S10，11·Φ10·S9，10…S1，2·Φ1 （7）
表2 系统参数表
5 仿真结果
根据表2所示的电路参數，通过实验验证PI控制方案的有效性和提出的稳定性分析方法。在MATLAB、SIMULINK中构建了一个DC-DC变换器模型。一个完整的开关周期内Vo1和Vo2的电压波形如图1所示。值得注意的是，Vo1和Vo2可以通过几个完整的周期达到稳定的状态。中间总线电压的纹波在额定值的±2%范围内。输出电压的纹波约为±6%。可以看出，系统是稳定的。根据（7），对单值矩阵J进行计算，我们得到了它的特征值，分别是：0.2335±0.0278i，0.9288，0.2335±0.0278i，-0.1226±0.0438i，0.1025，0.8469，-0.2835，-0.0584，-0.8565，
0.0276，-0.4380，-0.5122
可以看出J的所有特征值都在单位圆内。因此，系统是稳定的。
6 结束语
在本研究中，探讨了两个级联而成的直流降压变换器系统，提出了与之相应的PI控制方法来抑制中间总线和输出电压的纹波，在此基础上提出了用于评估DC-DC变换系统稳定性的单值矩阵的分析方法。此方法可以将一个周期系统划分为不同的拓扑模式。基于所提出的方法可以获得单值矩阵复共轭的特征值，通过特征值的大小可以判定系统的稳定性。通过研究发现，本研究所提出方法的理论分析结果与MATLAB中的仿真结果非常吻合。仿真结果表明中间总线和输出电压纹波可以最小化，DC-DC变换系统的稳定性能够得到保证。
参考文献：
[1]高明远. 双向DC-DC变换器基于切换系统的建模与储能控制. 电力系统保护与控制，2012，40（3）：129-134.
[2]H.Kakigano，Y.Miura，T.Ise.Low-voltage bipolar-type DC microgrid for super high quality distribution.IEEE Transactions on Power Electronics.，2010，25（12）：3066-3075.
[3]C.D.Xu，K.W.E.Cheng.A survey of distributed power system-AC versus DC distributed power system.IEEE PESA.，2011. 1-12.
[4]F.Blaabjerg，A.Consolic，J.A.Ferreira，J.D. van Wyk.The future of electronic power processing and conversion.IEEE Transactions on Power Electronics.，2005，20（3）：715-720. [5]D.Boroyevich，I.Cvetkovi？c，D.Dong，R.Burgos，F.Wang，F.C.Lee.Future electronic power distribution systems-A contemplative view.Optimization of Electrical and Electronic Equipment.，2010.1369-1380.
[6]A.Emadi，A.Khaligh，C.H.Rivetta，G.A.Williamson.Constant power loads and negative impedance instability in automotive systems：Definition， modeling， stability， control of power electronic converters and motor drives.IEEE Transactions on Vehicular Technology.，2006，55（4）：1112-1124.
[7]X.Feng，J.Liu，F.C.Lee.Impedance specifications for stable DC distributed power systems.IEEE Transactions on Power Electronics.，2002，17（2）：157-162.
[8]A.Emadi.Modeling of power electronic loads in AC distribution systems using the generalized state-space averaging method.Conference of the IEEE Industrial Electronics Society.，2004，51（5）：995-1000.
[9]X.L.Xiong，C. K.Tse，X.B.Ruan. Bifurcation analysis of standalone photovoltaic-battery hybrid power system.IEEE Transactions on Circuits and Systems.，2013，60（5）：1354-1365.
[10]A.Khaligh.Realization of parasitics in stability of DC-DC converters loaded by constant power loads in advanced multi-converter automotive systems.IEEE Transactions on Industrial Electronics.，2008，55（6）：2295-2305.
[11]M.Huang，C.K.Tse，S.C.Wong，C.Wan，X.B.Ruan.Low frequency hopf bifurcation and Its effects on stability margin in threephase PFC power supplies connected to non-ideal power grid.IEEE Transactions on Circuits and Systems.，2013， 60（12）：3328-3340.
[12]A.M.Rahimi，A.Emadi.Active damping in DC/DC power electronic converters：A novel method to overcome the problems of constant power loads.IEEE Transactions on Industrial Electronics.，2009，56（5）：1428-1439.
[13]M.Huang，S.C.Wong，C.K.Tse，X.B.Ruan.Catastrophic bifurcation in three-phase voltage-source converters.IEEE Transactions on Circuits and Systems.，2013，60（4）：1062-1071.
[14]S.Abe，H.Nakagawa，M.Hirokawa，T.Zaitsu，T.Ninomiya.System stability of full regulated bus converter in distributed power system.International Telecommunications Conference.，2005.563-568.
[15]X.Yang，H.Zhang，X.Ma.Modeling and stability analysis of cascade buck converters with power stages.Mathematics and Computers in Simulation.，2010，80（3）：533-546.
[16]W.Chen，X.Ruan，H.Yan，C.K.Tse.DC/DC conversion systems consisting of multiple converter modules：Stability， control and experimental verifications.IEEE Transactions on Power Electronics.，2009，24（6）：1463-1474.
[17]劉宿城，周雒维，卢伟国，et al. 通过小信号环路估计DC-DC开关变换器的大信号稳定区域预测. 电工技术学报， 2014，29（4）：63-69.
[18]D.Giaouris，S.Banerjee，B.Zahawi，and V.Pickert.Stability analysis of the continuous conduction mode buck converter via Filippovs method.IEEE Transactions on Circuits and Systems.，2008，55（4）：1084-1096.
[19]B.K.H.Wong，S.H.Chung.Systematic graphing technique for small signal low-frequency characterization of PWM DC/DC converters.IEEE Transactions on Industrial Electronics.，2000，47（1）：45-53.
[20]K.Mandal，S.Banerjee.Synchronization phenomena in microgrids with capacitive coupling.IEEE Journal on Emerging and Selected Topics in Circuits and Systems.，2015，5（3）：364-371.
[21]H.R.Visser，P.P.J.van den Bosch.Modelling of periodically switching networks.IEEE PESC.，1991.63-73.
[22]李 哲，吴 辰. 电流反馈型Buck变换器分岔动力学分析及稳定性控制. 电力系统保护与控制，2016， 44（18）：54-60.
[23]R.I.Leine，H.Nijmeijer.Dynamics and bifurcations of non-smooth mechanical systems.Springer，2004.