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摘要： 正确估计实际工程结构中参数和响应不确定性的大小，能有效提高分析结果的可靠性。首先基于概率配点法和回归分析建立随机响应面模型，以表述不确定性参数与响应间复杂的隐式函数关系，快速估计响应的统计特征值；然后提出一种两阶段修正策略，分步修正参数的均值和标准差，以简化随机修正过程、提高修正效率；最后基于一组55块钢板的实测频率均值和标准差，估计钢板厚度和材料参数的统计特征值，验证方法的可行性和可靠性。关键词： 随机模型修正； 参数不确定性； 随机响应面模型； 两阶段修正策略
中图分类号：O327； TU311.3文献标志码： A文章编号： 10044523（2016）04059409
DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2016.04.005
引言
传统模型修正方法[12]基本上都是确定性方法，无法考虑结构参数和响应中存在的不确定性。然而不确定性在实际工程结构中普遍存在[3]，比如材料离散性、几何尺寸制造误差、测量噪声[4]等，可能导致结构静动力分析结果产生偏差。因此，模型修正过程考虑上述不确定性往往是十分必要的[5]。可以将确定性方法拓展[67]或结合概率统计方法建立随机模型修正（Stochastic model updating）过程[8]，以正确估计参数和响应的统计特征值。
工程分析中通常存在两类不确定性：偶然型不确定性（Aleatory uncertainty）和认知型不确定性（Epistemic uncertainty）[9]。前者一般指结构或构件所固有的几何尺寸和材料特性变异性，可以被量化，但无法避免或人为消除；后者是由于认知上的不足（比如仅有少量的测试数据或测试过程存在噪声）所导致，可以通过完善相关信息来减少甚至消除。早期的概率模型修正方法基于最小方差估计来建立优化反演问题，即通过最小化测量噪声的方差来寻求参数均值的最佳估计值[8，10]。为了得到更可靠的结果，贝叶斯修正方法得到了重视[1112]。该方法在同一类概率模型中寻求最优模型，并基于贝叶斯准则来修正不确定性参数的概率分布函数。但预先假定的参数先验概率分布对后验概率的估计有着较大影响，同时贝叶斯反演问题的构建往往比较复杂，计算量大，不太适用于复杂工程问题。
在结构参数偶然型不确定性（也称为变异性）的估计上，可以基于最大似然方程构建优化反演问题[13]，即通过最大化响应的似然方程来估计参数不确定性的大小。同时，在随机模型修正过程中应用蒙特卡罗方法[14]也能实现对结构几何与材料参数不确定性的估计，但大量的抽样样本计算和优化迭代使得蒙特卡罗方法不适用于求解复杂问题。近年来，基于摄动方法求解随机模型修正问题可以有效地提高修正效率[1516]。该方法在参数设计点上基于截断的泰勒展开式来表示修正方程的各个项，以此建立随机修正反演过程。但摄动方法对参数的初始概率分布特征值较敏感，且要求较小的不确定性，具有一定的应用局限性。由上述文献分析可见，随机模型修正领域的主要问题在于优化求解过程的复杂性、大计算量，以及在不确定性参数分布特性和变异性大小上的限制。
本文结合概率配点法（Probabilistic collocation method）和回归分析建立随机响应面模型（Stochastic response surface model，缩写SRSM）[17]，用于直接表述不确定性参数和响应之间关系。该模型本质上是一种显式的、基于Hermite多项式的多项式混沌展开式（Polynomial chaos expansion），能快速估计响应的概率统计特征值（正问题）或反演估计参数的统计特征值（反问题），有利于随机反演问题的编程和运算，是一种理想的替代模型（Metamodel）。文中基于SRSM建立了随机模型修正过程，并提出一种两阶段修正策略，分步修正参数的均值和标准差。同时迭代过程采用了SRSM重构技术，避免了随机灵敏度矩阵的构造和分析，在保证参数估计精度的前提下大幅提高了随机修正效率。最后，基于一组55块名义上相同钢板的实测频率，估计了钢板厚度和材料特性参数的统计特征值，验证了方法的可行性和可靠性。
1随机响应面模型
Abstract： Accurate uncertainty estimation for parameters and responses of realworld structures may improve the reliability of analysis results. In this study， by using the probabilistic collocation method and regression analysis， stochastic response surface models are firstly constructed for expressing the complex implicit relationship between the uncertain parameters and responses of a structure. Then the statistical features of the responses can be quickly estimated using the constructed models. Meanwhile， a twostage updating strategy is employed which separately updates the parameter means and standard deviations in the interest of problem simplification and improvement in updating efficiency. Lastly， fiftyfive nominally identical steel plates were tested in the laboratory. The means and standard deviations of the measured natural frequencies under a freefree boundary condition have been adopted to estimate the statistical features of the plate thicknesses and material properties. By this means， the feasibility and reliability of the proposed method has been validated.
Key words： stochastic model updating； parameter uncertainty； stochastic response surface models； a twostage updating strategy
中图分类号：O327； TU311.3文献标志码： A文章编号： 10044523（2016）04059409
DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2016.04.005
引言
传统模型修正方法[12]基本上都是确定性方法，无法考虑结构参数和响应中存在的不确定性。然而不确定性在实际工程结构中普遍存在[3]，比如材料离散性、几何尺寸制造误差、测量噪声[4]等，可能导致结构静动力分析结果产生偏差。因此，模型修正过程考虑上述不确定性往往是十分必要的[5]。可以将确定性方法拓展[67]或结合概率统计方法建立随机模型修正（Stochastic model updating）过程[8]，以正确估计参数和响应的统计特征值。
工程分析中通常存在两类不确定性：偶然型不确定性（Aleatory uncertainty）和认知型不确定性（Epistemic uncertainty）[9]。前者一般指结构或构件所固有的几何尺寸和材料特性变异性，可以被量化，但无法避免或人为消除；后者是由于认知上的不足（比如仅有少量的测试数据或测试过程存在噪声）所导致，可以通过完善相关信息来减少甚至消除。早期的概率模型修正方法基于最小方差估计来建立优化反演问题，即通过最小化测量噪声的方差来寻求参数均值的最佳估计值[8，10]。为了得到更可靠的结果，贝叶斯修正方法得到了重视[1112]。该方法在同一类概率模型中寻求最优模型，并基于贝叶斯准则来修正不确定性参数的概率分布函数。但预先假定的参数先验概率分布对后验概率的估计有着较大影响，同时贝叶斯反演问题的构建往往比较复杂，计算量大，不太适用于复杂工程问题。
在结构参数偶然型不确定性（也称为变异性）的估计上，可以基于最大似然方程构建优化反演问题[13]，即通过最大化响应的似然方程来估计参数不确定性的大小。同时，在随机模型修正过程中应用蒙特卡罗方法[14]也能实现对结构几何与材料参数不确定性的估计，但大量的抽样样本计算和优化迭代使得蒙特卡罗方法不适用于求解复杂问题。近年来，基于摄动方法求解随机模型修正问题可以有效地提高修正效率[1516]。该方法在参数设计点上基于截断的泰勒展开式来表示修正方程的各个项，以此建立随机修正反演过程。但摄动方法对参数的初始概率分布特征值较敏感，且要求较小的不确定性，具有一定的应用局限性。由上述文献分析可见，随机模型修正领域的主要问题在于优化求解过程的复杂性、大计算量，以及在不确定性参数分布特性和变异性大小上的限制。
本文结合概率配点法（Probabilistic collocation method）和回归分析建立随机响应面模型（Stochastic response surface model，缩写SRSM）[17]，用于直接表述不确定性参数和响应之间关系。该模型本质上是一种显式的、基于Hermite多项式的多项式混沌展开式（Polynomial chaos expansion），能快速估计响应的概率统计特征值（正问题）或反演估计参数的统计特征值（反问题），有利于随机反演问题的编程和运算，是一种理想的替代模型（Metamodel）。文中基于SRSM建立了随机模型修正过程，并提出一种两阶段修正策略，分步修正参数的均值和标准差。同时迭代过程采用了SRSM重构技术，避免了随机灵敏度矩阵的构造和分析，在保证参数估计精度的前提下大幅提高了随机修正效率。最后，基于一组55块名义上相同钢板的实测频率，估计了钢板厚度和材料特性参数的统计特征值，验证了方法的可行性和可靠性。
1随机响应面模型
Abstract： Accurate uncertainty estimation for parameters and responses of realworld structures may improve the reliability of analysis results. In this study， by using the probabilistic collocation method and regression analysis， stochastic response surface models are firstly constructed for expressing the complex implicit relationship between the uncertain parameters and responses of a structure. Then the statistical features of the responses can be quickly estimated using the constructed models. Meanwhile， a twostage updating strategy is employed which separately updates the parameter means and standard deviations in the interest of problem simplification and improvement in updating efficiency. Lastly， fiftyfive nominally identical steel plates were tested in the laboratory. The means and standard deviations of the measured natural frequencies under a freefree boundary condition have been adopted to estimate the statistical features of the plate thicknesses and material properties. By this means， the feasibility and reliability of the proposed method has been validated.
Key words： stochastic model updating； parameter uncertainty； stochastic response surface models； a twostage updating strategy