论文部分内容阅读
因为比较喜欢读《道德经》，在进行“三角恒等变换”一章教学备课时我突发奇想：《道德经》里“道生一，一生二，二生三，三生万物”的辩证法思想似乎可以作为“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”一课的思想基础……于是，我精心备课后在课堂上实践了这一想法。
师：今天我们学习“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”，这节内容的学习将会印证《道德经》里的一句话，“道生一，一生二，二生三……”
生：三生万物！（学生很快应答，并表现出浓厚的兴趣）
师：“道”是自然规律，也是我们数学学科的科学思想。具体到我们这节课，同学们知道“一”是什么吗？（生无应答）“一”就是我们上节课学过的两角差的余弦公式。（板书：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，记为公式一）。由这个公式我们可以“生”出两角和与差的正弦、余弦、正切公式中的其他5个公式。
生：“生”？怎么“生”啊？呵呵……（不少学生说笑着）
师：“生”，就是生长。也就是说，其他5个公式可以在公式一的基础上生长出来，它们的根是公式一（“描述”数学中的重要思想，即化归思想）。现在我们来看一下怎样由公式一“生”出公式二——两角和的余弦公式。（板书：cos（α+β）=？）
生：公式一的括号里是减，这里是加，加可以改写成减减！
师：很好！这样cos（α+β）就写成cos（α-（-β）），把-β看成一个整体，问题就化归为公式一啦（直接点出化归思想）。那cos（α+β）=？
生：cos（α+β）=cos（α-（-β））=cosαcos（-β）+sinα
sin（-β）。
师：正确！不过，括号里有个-β，不够简洁，可以化简吗？（问题升级）
生：可以啊，诱导公式啊！
cosαcos（-β）+sinαsin（-β）=cosαcosβ-sinαsinβ！
师：这样我们就得到了两角和的余弦公式。（板书：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，记为公式二）。现在想想，公式二是不是公式一“生”出来的？（回顾知识生长的过程；生开心地笑）
师：现在我们来看二怎么“生”三，两角差的正弦公式。（板书：sin（α-β）=？）
生：这个怎么“生”啊？“生”不出来啊！（知识“生长”的难度加大，生依然在笑，但笑得不轻松）
师：sin（α-β）与cos（α+β）之间有什么联系？前者能由后者“生”出，说明前者的根在后者上（提示化归思想），它们之前通过什么手段化为同名三角函数的？（启发）
生：我知道了，诱导公式，sin（α）=cos（-α）！
师：很好的联想！这样一来，sin（α-β）=cos[
-（α-β）]。只是，这与公式二在形式上还是不够一致啊，怎么“生”呢？（学生启而不发，思维凝滞）
师：只能改改形式了。（继续启发）cos[-（α-β）]里-（α-β）不是可以写成-α+β吗？
生：把-α看成一个整体，这样就是公式二了！cos[-（α-β）]=cos[（-α）+β）]。（生开始觉悟）
师：很好！那进一步呢？
生：cos[（-α）+β）]=cos（-α）cos β-sin（-α）sin β=sin α cos β-sin α sin β。（生思维顺畅起来）
师：非常棒！这样，我们就“生”出了公式三。（板书：sin（α - β）=sin α cos β-cos α sin β，记为公式三）。我们再来回顾一下我们“生”三的过程。“一生二，二生三”，之所以能够“生”，是因为公式三可以化归为公式二，公式二可以化归为公式一，也就是说，公式二和公式三本质上就是公式一。我们要由公式一“生”出公式二和公式三，关键是找到公式二和公式三化归为公式一的“手段”。这种“手段”，在公式一“生”公式二的时候是“将加号写成减减”，在公式二“生”公式三的时候我们用上了诱导公式。也就是说，我们让整个“生”长过程进行下去的思想基础，就是我们数学中的“化归”思想！现在，我们就运用化归思想，让公式三来“生”出“万物”吧！
生1：sin（α + β）可以写成sin（α -（- β）），所以sin（α + β）=sin（α -（- β））=sin α cos（- β）-cos α sin（- β）=sin α cos β+cos α sin β。
师：很好，正确！这位同学“生”出了两角和的正弦公式。（学生开心大笑，并跃跃欲试）
生2：还可以得到tan（α - β）！tan（α - β）===…（学生思维卡壳）
生3：他难产了！（众大笑，生2自己也笑）
师：思路是对的，的确可以得到tan（α - β）！现在的问题是怎样化简？我们要的是tanα和tanβ的形式。那么，怎样可以得到呢？（“怎样可以得到”问的是化归的手段）
生4：因为tanα =，所以可以让分子分母同时除以cosα。
生5：不好。我认为应该同时除以cosαcosβ，=。
师：两位同学的思路都是正确的，这样，我们就可以得到tan（α- β）=。
生：（老师话音刚落）老师，老师，用- β代替β，就是tan（α+ β）=。
师：很棒！这样一来，两角和、差的正切公式我们用一节课就都“生”出来了。同学们，接下去我们还可以“生”出很多优美的公式呢，现在你体会到“三生万物”的道理了吗？请同学们课后再仔细回顾一下我们“生”万物的过程，领会数学中的化归思想。
课后反思：这节课，学生的学习兴趣一直比较高涨，学习小高潮不断涌现。我的体会，以思想为核心，用名言作引领，是这节课教学成功的关键。我将《道德经》里的“道生一，一生二，二生三，三生万物”这句名言贯穿到了整节课的学习过程中，而这句名言中的辩证法思想恰好又与本节课中“化归与转化”的数学思想相契合，辩证法思想加数学思想，为学生揭示了知识生长的过程与方法。
（责编 白聪敏）
师：今天我们学习“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”，这节内容的学习将会印证《道德经》里的一句话，“道生一，一生二，二生三……”
生：三生万物！（学生很快应答，并表现出浓厚的兴趣）
师：“道”是自然规律，也是我们数学学科的科学思想。具体到我们这节课，同学们知道“一”是什么吗？（生无应答）“一”就是我们上节课学过的两角差的余弦公式。（板书：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，记为公式一）。由这个公式我们可以“生”出两角和与差的正弦、余弦、正切公式中的其他5个公式。
生：“生”？怎么“生”啊？呵呵……（不少学生说笑着）
师：“生”，就是生长。也就是说，其他5个公式可以在公式一的基础上生长出来，它们的根是公式一（“描述”数学中的重要思想，即化归思想）。现在我们来看一下怎样由公式一“生”出公式二——两角和的余弦公式。（板书：cos（α+β）=？）
生：公式一的括号里是减，这里是加，加可以改写成减减！
师：很好！这样cos（α+β）就写成cos（α-（-β）），把-β看成一个整体，问题就化归为公式一啦（直接点出化归思想）。那cos（α+β）=？
生：cos（α+β）=cos（α-（-β））=cosαcos（-β）+sinα
sin（-β）。
师：正确！不过，括号里有个-β，不够简洁，可以化简吗？（问题升级）
生：可以啊，诱导公式啊！
cosαcos（-β）+sinαsin（-β）=cosαcosβ-sinαsinβ！
师：这样我们就得到了两角和的余弦公式。（板书：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，记为公式二）。现在想想，公式二是不是公式一“生”出来的？（回顾知识生长的过程；生开心地笑）
师：现在我们来看二怎么“生”三，两角差的正弦公式。（板书：sin（α-β）=？）
生：这个怎么“生”啊？“生”不出来啊！（知识“生长”的难度加大，生依然在笑，但笑得不轻松）
师：sin（α-β）与cos（α+β）之间有什么联系？前者能由后者“生”出，说明前者的根在后者上（提示化归思想），它们之前通过什么手段化为同名三角函数的？（启发）
生：我知道了，诱导公式，sin（α）=cos（-α）！
师：很好的联想！这样一来，sin（α-β）=cos[
-（α-β）]。只是，这与公式二在形式上还是不够一致啊，怎么“生”呢？（学生启而不发，思维凝滞）
师：只能改改形式了。（继续启发）cos[-（α-β）]里-（α-β）不是可以写成-α+β吗？
生：把-α看成一个整体，这样就是公式二了！cos[-（α-β）]=cos[（-α）+β）]。（生开始觉悟）
师：很好！那进一步呢？
生：cos[（-α）+β）]=cos（-α）cos β-sin（-α）sin β=sin α cos β-sin α sin β。（生思维顺畅起来）
师：非常棒！这样，我们就“生”出了公式三。（板书：sin（α - β）=sin α cos β-cos α sin β，记为公式三）。我们再来回顾一下我们“生”三的过程。“一生二，二生三”，之所以能够“生”，是因为公式三可以化归为公式二，公式二可以化归为公式一，也就是说，公式二和公式三本质上就是公式一。我们要由公式一“生”出公式二和公式三，关键是找到公式二和公式三化归为公式一的“手段”。这种“手段”，在公式一“生”公式二的时候是“将加号写成减减”，在公式二“生”公式三的时候我们用上了诱导公式。也就是说，我们让整个“生”长过程进行下去的思想基础，就是我们数学中的“化归”思想！现在，我们就运用化归思想，让公式三来“生”出“万物”吧！
生1：sin（α + β）可以写成sin（α -（- β）），所以sin（α + β）=sin（α -（- β））=sin α cos（- β）-cos α sin（- β）=sin α cos β+cos α sin β。
师：很好，正确！这位同学“生”出了两角和的正弦公式。（学生开心大笑，并跃跃欲试）
生2：还可以得到tan（α - β）！tan（α - β）===…（学生思维卡壳）
生3：他难产了！（众大笑，生2自己也笑）
师：思路是对的，的确可以得到tan（α - β）！现在的问题是怎样化简？我们要的是tanα和tanβ的形式。那么，怎样可以得到呢？（“怎样可以得到”问的是化归的手段）
生4：因为tanα =，所以可以让分子分母同时除以cosα。
生5：不好。我认为应该同时除以cosαcosβ，=。
师：两位同学的思路都是正确的，这样，我们就可以得到tan（α- β）=。
生：（老师话音刚落）老师，老师，用- β代替β，就是tan（α+ β）=。
师：很棒！这样一来，两角和、差的正切公式我们用一节课就都“生”出来了。同学们，接下去我们还可以“生”出很多优美的公式呢，现在你体会到“三生万物”的道理了吗？请同学们课后再仔细回顾一下我们“生”万物的过程，领会数学中的化归思想。
课后反思：这节课，学生的学习兴趣一直比较高涨，学习小高潮不断涌现。我的体会，以思想为核心，用名言作引领，是这节课教学成功的关键。我将《道德经》里的“道生一，一生二，二生三，三生万物”这句名言贯穿到了整节课的学习过程中，而这句名言中的辩证法思想恰好又与本节课中“化归与转化”的数学思想相契合，辩证法思想加数学思想，为学生揭示了知识生长的过程与方法。
（责编 白聪敏）