考查不等式问题一直被各地模考和高考所青睐，很多试卷就是以不等式问题作为填空题的压轴题来区分学生.解决不等问题、最值问题方法有很多，通解通法也很多，如基本不等式法、导数法、线性规划法、参数法、构造法等.本文试着通过“几何”法这根主线来解决一类在填空题当中的不等问题，以供大家讨论、交流.
　　一、题型再现
　　例1 （2014年南师附中）设正数a，b，c满足3a+c≤2b≤4ac，则a+b+ca-b的取值范围为.
　　解析：本题题目条件较多，涉及变量也较多，如何降元，又要与要求的问题统一起来，我们可以想到“变二为一”的做法，即在不等式的两边同除以一个数b.于是可得
　　3ab+cb≤2≤4acb2，a+b+ca-b=ab+cb+1ab-1.
　　如果令x=ab，y=cb，
　　则有3x+y≤2，
　　y≥14x，所以a+b+ca-b=ab+cb+1ab-1=x+y+1x-1=1+y+2x-1，
　　这样就转化成了线性规划问题，即（x，y）与（1，-2）两点连线的斜率再加上1.
　　记k=y+2x-1，所以kAB≤k≤kAC，kAB为曲线y=14x在第一象限切线的斜率，如图1.
　　图1
　　所以-5≤k≤-4，-4≤a+b+ca-b≤-3.
　　感悟反思：当要求的结论与题目的条件没有必然联系时，就要“挖掘”隐含条件，去剖析它们深层次的联系点.通过ab，cb整体代换之后，线性规划问题立刻浮现出来了，题目的意思也就变得明朗了，所以解题时要学会变通，找到条件与结论的“纽带”.
　　例2 （2014年泰州期末）已知函数f（x）=3x+a与函数g（x）=3x+2a在区间（b，c）上都有零点，则a2+2ab+2ac+4bcb2-2bc+c2的最小值为.
　　解析：本题解法很多，一般是采用降元，构造基本不等式解决的.如果我们再细细分析该式，则可以把a看作主元，实际上就是关于a的一元二次函数，即g（a）=a2+（2b+2c）a+4bc（b-c）2，由函数f（x）=3x+a与函数g（x）=3x+2a在区间（b，c）上都有零点，可得-2c≤a≤-2b，结合一元二次函数的图像可得，对称轴为a=-（b+c），且-（b+c）∈（-2c，-2b），所以在图像的顶点处取得最小值，即g（a）min=g（-b-c）=-1.
　　感悟反思：本题是转化为一元二次函数及其图像来解决的，很多情况下，它又是隐含的.所以分析问题时，要把握住“题脉”，然后运用已有的知识去“把脉”.分清主元、构造函数、合理降元等都是求解最值的常用之法.数学的内在规律之美值得我们不断去探索、去挖掘.
　　二、链接高考
　　例3 （2012年江苏高考）已知正数a，b，c满足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，则ba的取值范围是.
　　解析：条件5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc可化为3·ac+bc≥5，
　　ac+bc≤4，
　　bc≥eac.
　　设ac=x，y=bc，则题目转化为：已知x，y满足3x+y≥5，
　　x+y≤4，
　　y≥ex，
　　x>0，y>0，求yx的取值范围.
　　图2
　　作出（x，y）所在平面区域（如图2），求出y=ex的切
　　线的斜率e，设过切点P（x0，y0）的切线为y=ex+m（m≥0），
　　则y0x0=ex0+mx0=e+mx0，要使它最小，须m=0.
　　所以yx的最小值在P（x0，y0）处，为e.此时，点P（x0，y0）在y=ex上A，B之间.
　　当（x，y）对应点C时，y=4-x，
　　y=5-3x5y=20-5x，
　　4y=20-12xy=7xyx=7.
　　所以yx的最大值在C处，为7.所以yx的取值范围为e，7，即ba的取值范围是e，7.
　　张景中先生一直认为：一种方法解很多题，要好过很多方法解一个题.这“一种方法”绝不是技巧性强、灵机一动的妙法，定是最基本、最重要、最自然的通法.因此，数学解题，特别是在解题教学中，应该首选学生能够想到的通性通法和好使的常规方法，并充分暴露思考的整个思维过程，这是我们一直需要去努力研究的，也是解题教学的核心价值所在.
　　作者单位：湖南省道县第一中学