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【摘要】本文通过对近年来中考数学试卷中的探索性问题的初探，阐述了探索性、开放性的试题是培养学生创新精神和实践能力豹重点，让学生通过分析，从中发现规律，归纳结论，对学生收集和处理信息能力、创造性思维能力要求都很高，突出了对学生探索、归纳、推理能力的考查。
【关键词】“存在性”;“可能性”;算式规律;条件;结论
The example discussed that tests in mathematics the exploring question
Wang Qiong
【Abstract】This article through tested in mathematics examination paper to the recent years in the exploring question initially to search, elaborated the exploratory, the open test question was raises the student innovative spirit and the practical ability leopard key point, let the student through the analysis, the discovery law, the induction conclusion, to the student collection and process information ability, the creative thinking ability request was very high, highlights has explored, the induction, the reasoning faculty examination to the student.
【Key words】“existence”; “possibility”; Mathematical formula rule; Condition; Conclusion
培养创新精神和实践能力是当前推进素质教育的重点，探索性、开放性的试题是考查这种能力的一种题型，这类题目是开放型的，充满生机，涉及知识面宽，综合性强，要求学生有扎实的基础知识和熟练的基本技能。近年来，各省市中考数学命题都十分注重这类试题的设计，其数量和质量都逐年增加。现将这类试题略加分类和评析。
1探索算式规律问题
例1、(2009年长春市)用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n个图案中正三角形的个数为——(用含n的代数式表示)。
分析：这类题仅要求写出结果，并不要求写出推理过程。解这类题是以深刻地观察、分析、归结其图案变化规律为基础的。由已知的三个图案发现：正三角形的个数总是偶数个，而且逐渐多2个，于是得出第n个图案中正三角形的个数为2n+2．
例2：(2009年济南市)在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a，b)若规定以下三种变换：
①f(a，b)=(-a，b)，如f(1，3)=(-1，3)
②g(a，b)=(b，a)，如g(1，3)=(3，1)
③h(a，b)=(-a，-b)，如h(1，3)=(-1，-3)
按照以上变换有：f(g(2，-3))=f(-3，2)=(3，2)
那么f(h(5，-3))等于
A．(-5，-3)B．(5，3)C．(5，-3)D．(-5，3)
分析：这类题考查学生的观察、分析能力，不同的字母表示不同的坐标，学生必须严格按照字母的变化规律逐层分析，才能够得到正确答案。
f(h(5，-3))必须明确先变换h(5，-3)=(-5，3)
再变换f(-5，3)=(5，3)则选B
2探索条件(或结论)的问题
例3：(2010年昆明市)如图，点B、D、C、F在一条直线上，且BC=FD，AB=EF
(1)请你只添加一个条件 (不再加辅助线)， 使△ABC≌△EFD 你添加的条件是．
(2)添加了条件后，证明△ABC≌△EFD．
分析：本题是一个简单的几何条件探索题，它突破了过去“假设一求证”的封闭式论证，而是给出问题的结论，逆求结论成立的条件，强化了对学生通过观察、分析、猜想、推理、判断等探索活动的要求。
证明：略(答案不唯一，学生可以从边、角多方面去分析)。例4：(2009年上海市)已知线段AC与BD相交于点O，连接AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连接EF。
(1)添力口条件∠A=∠D，∠OEF=∠OFE
求证：AB=DC
(2)分别将“∠A=∠D”记为①,“∠OEF=∠OFE”记为②，“AB=DC”记为③，添加条件①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2，命题1是命题，命题2是命题(选择“真”或“假”填入空格)。
(1)证明：∵E为OB的中点，F为OC的中点，
∴OB=2OEOC=2OF
∵∠OEF=∠OFE∴OE=OF∴OB=OC
在△AOB与△DOC中∠A=∠D,∠AOB=∠DOC,OB=OC
∴△AOB≌△DOC
∴AB=DC
(2)真假
评：本题是探索性问题中颇具新意的一例，本题需在分类构造命题的基础上，对命题的真假性给出判断，以一种新方式突出了对考生推理、思维能力的考查，题目新颖，问题开放，贴近基础。
3探索变化图形中的不变规律问题
5：(2010年昆明市)已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC∠DCB=90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点，(不与点B重合)，EP与BD相交于点O。
(1)当P在BC边上运动时，求证：△BOP∽DOE
(2)设(1)中的相似比为K，若AD∶BC=2∶3．
请探究：当K为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形?
①当K=1时，是；
②当K=2时，是；
③当K=3时，是；
并证明K=2时的结论。
分析：本题要求学生在点P的位置变动中，悟出内在规律。从简单的情形入手，通过分析，从中发现规律，归纳结论，然后推到一般情况，这是认识事物的一般规律，对学生收集和处理信息能力，创造性思维能力要求都很高，突出了对学生探索、归纳、推理能力的、考查。
解：略。
4判断“存在性”和“可能性”的问题
例6：(2007年昆明市)如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．
(1)求点B的坐标；
(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式;
(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小?若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)如果点P是(2)中抛物线上的动点，且在x轴的下方,那么,△PAB是否有最大面積?若有,求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积;若没有,请说明理由。
解:(1)、（2）略
点B的坐标(1,3),抛物线解析式y=33x2+233x(3)抛物线的对称轴上存在点C,使△BOC的周长最小
∵y=33x2+233x=33(x+1)2-33x
∴抛物线的对称轴为x=-1
∵点C在对称轴x=-1上,△BOC的周长=OB+BC+COOB=2要使△BOC的周长最小,必须使BC+CO最小
∵点O与点A关于直线x=-1对称,∴CO=CA
△BOC的周长=OB+BC+CO+OB+BC+CA
∴当A、C、B三点共线时,即点C为直线与抛物线对称轴的交点时,BC+CA最小,此时△BOC的周长最小。
设直线AB的解析式为y=kx+b
则有K+b=3
-2K+b=0解得K=33
b=233
∴直线AB的解析式为y=33x+233
当x=-1时,y=33
∴点C的坐标(-1,33)
(4)设点P的坐标(x,y)(-2 抛物线的解析式y=33x2+233x①
S△PAB=S梯形AFEB-S△AFP-S△BEP
=12(AF+BE)•FE-12AF•FP-12PE•BE
=12（-y+3-y)×(1+2)-12(-y)(x+2)
-12(1-x)(3-y)
=-32y+32x+3
将①代入②得:S△PAB=32x2-32x+3②
当x=-12时S△PAB有最大值
S△PAB最大=938
∴此时点P的坐标为(-12,-34)
评:解这类题时,是先假设结论存在,若从已知条件和定义、定理出发,进行推理或计算得出相容的结论,则结论确定存在;若推出矛盾或计算无解,则结论不存在。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】“存在性”;“可能性”;算式规律;条件;结论
The example discussed that tests in mathematics the exploring question
Wang Qiong
【Abstract】This article through tested in mathematics examination paper to the recent years in the exploring question initially to search, elaborated the exploratory, the open test question was raises the student innovative spirit and the practical ability leopard key point, let the student through the analysis, the discovery law, the induction conclusion, to the student collection and process information ability, the creative thinking ability request was very high, highlights has explored, the induction, the reasoning faculty examination to the student.
【Key words】“existence”; “possibility”; Mathematical formula rule; Condition; Conclusion
培养创新精神和实践能力是当前推进素质教育的重点，探索性、开放性的试题是考查这种能力的一种题型，这类题目是开放型的，充满生机，涉及知识面宽，综合性强，要求学生有扎实的基础知识和熟练的基本技能。近年来，各省市中考数学命题都十分注重这类试题的设计，其数量和质量都逐年增加。现将这类试题略加分类和评析。
1探索算式规律问题
例1、(2009年长春市)用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n个图案中正三角形的个数为——(用含n的代数式表示)。
分析：这类题仅要求写出结果，并不要求写出推理过程。解这类题是以深刻地观察、分析、归结其图案变化规律为基础的。由已知的三个图案发现：正三角形的个数总是偶数个，而且逐渐多2个，于是得出第n个图案中正三角形的个数为2n+2．
例2：(2009年济南市)在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a，b)若规定以下三种变换：
①f(a，b)=(-a，b)，如f(1，3)=(-1，3)
②g(a，b)=(b，a)，如g(1，3)=(3，1)
③h(a，b)=(-a，-b)，如h(1，3)=(-1，-3)
按照以上变换有：f(g(2，-3))=f(-3，2)=(3，2)
那么f(h(5，-3))等于
A．(-5，-3)B．(5，3)C．(5，-3)D．(-5，3)
分析：这类题考查学生的观察、分析能力，不同的字母表示不同的坐标，学生必须严格按照字母的变化规律逐层分析，才能够得到正确答案。
f(h(5，-3))必须明确先变换h(5，-3)=(-5，3)
再变换f(-5，3)=(5，3)则选B
2探索条件(或结论)的问题
例3：(2010年昆明市)如图，点B、D、C、F在一条直线上，且BC=FD，AB=EF
(1)请你只添加一个条件 (不再加辅助线)， 使△ABC≌△EFD 你添加的条件是．
(2)添加了条件后，证明△ABC≌△EFD．
分析：本题是一个简单的几何条件探索题，它突破了过去“假设一求证”的封闭式论证，而是给出问题的结论，逆求结论成立的条件，强化了对学生通过观察、分析、猜想、推理、判断等探索活动的要求。
证明：略(答案不唯一，学生可以从边、角多方面去分析)。例4：(2009年上海市)已知线段AC与BD相交于点O，连接AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连接EF。
(1)添力口条件∠A=∠D，∠OEF=∠OFE
求证：AB=DC
(2)分别将“∠A=∠D”记为①,“∠OEF=∠OFE”记为②，“AB=DC”记为③，添加条件①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2，命题1是命题，命题2是命题(选择“真”或“假”填入空格)。
(1)证明：∵E为OB的中点，F为OC的中点，
∴OB=2OEOC=2OF
∵∠OEF=∠OFE∴OE=OF∴OB=OC
在△AOB与△DOC中∠A=∠D,∠AOB=∠DOC,OB=OC
∴△AOB≌△DOC
∴AB=DC
(2)真假
评：本题是探索性问题中颇具新意的一例，本题需在分类构造命题的基础上，对命题的真假性给出判断，以一种新方式突出了对考生推理、思维能力的考查，题目新颖，问题开放，贴近基础。
3探索变化图形中的不变规律问题
5：(2010年昆明市)已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC∠DCB=90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点，(不与点B重合)，EP与BD相交于点O。
(1)当P在BC边上运动时，求证：△BOP∽DOE
(2)设(1)中的相似比为K，若AD∶BC=2∶3．
请探究：当K为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形?
①当K=1时，是；
②当K=2时，是；
③当K=3时，是；
并证明K=2时的结论。
分析：本题要求学生在点P的位置变动中，悟出内在规律。从简单的情形入手，通过分析，从中发现规律，归纳结论，然后推到一般情况，这是认识事物的一般规律，对学生收集和处理信息能力，创造性思维能力要求都很高，突出了对学生探索、归纳、推理能力的、考查。
解：略。
4判断“存在性”和“可能性”的问题
例6：(2007年昆明市)如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．
(1)求点B的坐标；
(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式;
(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小?若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)如果点P是(2)中抛物线上的动点，且在x轴的下方,那么,△PAB是否有最大面積?若有,求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积;若没有,请说明理由。
解:(1)、（2）略
点B的坐标(1,3),抛物线解析式y=33x2+233x(3)抛物线的对称轴上存在点C,使△BOC的周长最小
∵y=33x2+233x=33(x+1)2-33x
∴抛物线的对称轴为x=-1
∵点C在对称轴x=-1上,△BOC的周长=OB+BC+COOB=2要使△BOC的周长最小,必须使BC+CO最小
∵点O与点A关于直线x=-1对称,∴CO=CA
△BOC的周长=OB+BC+CO+OB+BC+CA
∴当A、C、B三点共线时,即点C为直线与抛物线对称轴的交点时,BC+CA最小,此时△BOC的周长最小。
设直线AB的解析式为y=kx+b
则有K+b=3
-2K+b=0解得K=33
b=233
∴直线AB的解析式为y=33x+233
当x=-1时,y=33
∴点C的坐标(-1,33)
(4)设点P的坐标(x,y)(-2
S△PAB=S梯形AFEB-S△AFP-S△BEP
=12(AF+BE)•FE-12AF•FP-12PE•BE
=12（-y+3-y)×(1+2)-12(-y)(x+2)
-12(1-x)(3-y)
=-32y+32x+3
将①代入②得:S△PAB=32x2-32x+3②
当x=-12时S△PAB有最大值
S△PAB最大=938
∴此时点P的坐标为(-12,-34)
评:解这类题时,是先假设结论存在,若从已知条件和定义、定理出发,进行推理或计算得出相容的结论,则结论确定存在;若推出矛盾或计算无解,则结论不存在。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文