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[摘 要] 函数概念的产生与发展不仅反映了近现代数学发展的历程，而且包含着丰富的数学思想，是一种优秀的解决问题的数学方法。探索人类在认识函数的过程中表现出来的思想方法，对函数概念的教学具有重要的引导作用，对提高学生的数学素质、培养学生的创新精神和应用意识都具有无可替代的作用。
[关 键 词] 函数概念；思想演变；文化价值
[中圖分类号] O714 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2018）28-0148-02
函数概念作为一种重要的数学概念，是重点也是难点。函数概念的发展是一个漫长、曲折的过程，经历了离散到连续、静止到运动、运算到关系的动态变化，最终实现了数与形的有机结合。函数概念的演变从历史发展的阶段性来考察，目前对函数概念的演变基本上有两种形式的描述，一种按函数定义的发展大致分为变量说、对应说和关系说，体现了函数概念由模糊、具体到清晰、抽象的发展过程。第二种按两个变量之间的表示形式分为解析形式的函数、几何形式的函数以及集合观念下的函数，其中前两种形式分别从代数和几何两个角度对函数做了不同的描述，集合观念下的函数则把前两种定义统一到同一概念中。
一、早期的函数关系
早期的数学家已经接触到了变化和变量思想，但他们对函数概念的本质认识不清，仅仅是在特定的背景下或是为解决具体问题提出了三种函数关系，即表格形式的函数关系（倒数表、平方表等）、几何形式的函数关系（利用几何的直观，将对变化的研究与坐标联系起来）、解析形式的函数关系（用文字和语言表达函数关系）。这三种关系是具体的依赖关系，不具有普适性。但这些关系中蕴含了一种重要的数学思想——“对应”思想，这在函数的形成、发展过程中起到了关键的作用。但这只能称作函数概念的初始阶段，是对具体函数进行的研究。
二、函数概念的产生
17世纪人们对初等函数的认识已经达到了相当复杂的程度，一些简单的超越函数（对数函数、三角函数、双曲函数）得到了全面的研究。同时笛卡尔变量数学的产生和牛顿、莱布尼兹微积分的发展使函数概念的产生成为可能，人们认识到各种具体函数之间存在一种共同属性——变化。由此，函数概念脱离了它所依附的天文、物理、音乐背景，作为一个独立的数学概念被抽象出来。1963年8月，莱布尼兹用“函数”一词来表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量（曲线的斜率，曲率半径或曲线上点的坐标等），这带有强烈的几何烙印。
三、函数概念的深化
1698年，约翰·伯努利首次从解析的角度定义函数，他把“由变数x和常数所构成的式子，叫作x的函数”。“变量”的含义得到了深化，函数的“变量关系”得到进一步说明，但严格说，它仍只是函数概念的一个模糊而又不确切的表述。
1975年欧拉在他的新定义中进一步强调两个变量之间的依赖关系，也正因为强调“随着变化”使函数概念的外延缩小。欧拉的函数概念把解析式和曲线等概念混在一起，缺乏严密性，所以是含糊的，不能被所有人接受。
19世纪，伴随着椭圆函数、超椭圆函数和阿贝尔函数的产生，代数函数论变得丰富起来，人们对函数概念又有了新的认识。1821年法国数学家柯西以严格化为目的，重新对变量和函数作了定义，澄清了函数、曲线、连续、不连续等概念之间的关系。“自变量”一词第一次出现在函数的定义中。柯西的函数定义仍区分了x和y的关系有两个以上表达式的情况。1834年俄国数学家罗巴切夫斯基的函数新定义进一步建立了自变量和函数值之间的对应关系，使“对应”这一函数概念的本质属性更加明确，是对函数概念的一次重大发展。1851年，黎曼函数定义彻底抛弃了把函数视为解析式或图像的束缚，避免了以往函数定义中对依赖关系的描述，以完全清晰的方式被所有数学家接受。黎曼定义更带有普遍性，为理论研究和实际应用提供了方便。从1874到1989年，康托尔完成了古典集合论的创建工作。在康托尔集合论的基础上，出现了一个包含了所有今天数学以及其他学科中所用的集合函数的概念。
随着函数概念的不断深化，到20世纪初，人们根据各类函数的特征类型将函数分为解析函数、连续函数、不连续函数等，同时加在自变量和函数值上的枷锁被解除，可以连续或不连续地取值，这样函数概念的意义就更加广泛了。后来将变量限制在数中这个限制也消除了，更具一般性，变量的取值可以是数也可以是其他对象。由此，美国数学家维布伦等人给出了函数的近代定义，即现在高中课本中关于函数的定义。这个定义使变量之间的对应关系更加明确，把握住了函数定义的实质。
从约翰·伯努利、欧拉、傅里叶、柯西、黎曼等人对函数概念的不同描述可以看出，函数概念的发展是一个弱抽象的过程，到今天加在函数概念上的种种限制被逐一解除，不管自变量的值有几个，是数还是点，只要自变量与因变量之间满足函数定义中的对应关系即可，函数概念发展到今天具有更加广泛的定义而且还在继续着。
四、函数概念演变的教育意义
函数概念演变过程蕴涵着的丰富的数学思想和数学方法，可以为我们进行函数教学提供许多具有参考价值的东西，使我们的教学更加符合学生的思维发展规律。
（一）思维的启示
函数概念不是现成地从某个人那里产生出来的，它经历了一个萌芽、精确化和概括化的过程，即函数思想的演变是渐进的，经历了由具体、直观到逻辑、抽象发展的漫长过程。由思维发展的历史相似性可知，学生思维也会经历从感性经验到具体形象，到抽象逻辑的过程。教学过程中把函数概念的发生、发展过程呈现给学生，可以帮助学生更好地理解函数概念的本质核心。
（二）思维的迁移
函数概念的演变经历了从简单的代数运算到抽象的函数定义，包含了数学思维中的归纳、类比、演绎思想，体现了数学思维的迁移和深化。它的每一次扩展都体现了前人在探索问题的过程中数学知识与思想方法的有机融合。按照函数概念的历史发展脉络可以将函数概念中包含的集合对应观点、函数分析方法、变量思维方式、等价交换与数形结合方法一一融入函数的教学，使数学课堂更加生动。
（三）数学思维的发展
每一个数学理论的形成或一次数学思维的发展都是在解决实际问题的过程中产生的，函数概念的形成也遵循这一规律。在函数概念的教学过程中，挖掘实际生活中具有启示意义的典型例子，有助于学生准确把握函数定义，并形成正确的解题方法，取得良好的学习效果。
教学中我们不能把函数的来源背景、理论形成一一
呈现给学生，但是我们能够把函数概念所蕴含的思维火花和思想方法浓缩在函数教学中，使函数概念的教
学更加具体、形象，使学生的数学素养得到更大的提升。
参考文献：
[1]王昌.函数概念诞生的标志[J].西北大学学报，2009（2）.
[2]任明俊，汪晓勤.中学生对函数概念的理解：历史相似性初探[J].数学教育学报，2007（11）.
[3]VICTOR J.KATZ.数学史通论[M].高等教育出版社，2004.
[4]M·克莱因.古今数学思想[M].上海科学技术出版社，2002.
[5]林永伟，叶立军.数学史与数学教育[M].浙江大学出版社，2004.
[6]张奠宙.数学教育概论[M].高等教育出版社，2009.
[7]张顺燕.数学的思想、方法和应用[M].北京大学出版社，1997.
[8]简冬梅.函数概念的演进与函数教学[J].四川学报，2004（5）.
[9]王秀艳.对高中函数概念理解程度的调查研究[D].辽宁师范大学，2007.
[10]陈蓓.函数概念的发展与比较[J].数学教学通讯，2005（2）.
[关 键 词] 函数概念；思想演变；文化价值
[中圖分类号] O714 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2018）28-0148-02
函数概念作为一种重要的数学概念，是重点也是难点。函数概念的发展是一个漫长、曲折的过程，经历了离散到连续、静止到运动、运算到关系的动态变化，最终实现了数与形的有机结合。函数概念的演变从历史发展的阶段性来考察，目前对函数概念的演变基本上有两种形式的描述，一种按函数定义的发展大致分为变量说、对应说和关系说，体现了函数概念由模糊、具体到清晰、抽象的发展过程。第二种按两个变量之间的表示形式分为解析形式的函数、几何形式的函数以及集合观念下的函数，其中前两种形式分别从代数和几何两个角度对函数做了不同的描述，集合观念下的函数则把前两种定义统一到同一概念中。
一、早期的函数关系
早期的数学家已经接触到了变化和变量思想，但他们对函数概念的本质认识不清，仅仅是在特定的背景下或是为解决具体问题提出了三种函数关系，即表格形式的函数关系（倒数表、平方表等）、几何形式的函数关系（利用几何的直观，将对变化的研究与坐标联系起来）、解析形式的函数关系（用文字和语言表达函数关系）。这三种关系是具体的依赖关系，不具有普适性。但这些关系中蕴含了一种重要的数学思想——“对应”思想，这在函数的形成、发展过程中起到了关键的作用。但这只能称作函数概念的初始阶段，是对具体函数进行的研究。
二、函数概念的产生
17世纪人们对初等函数的认识已经达到了相当复杂的程度，一些简单的超越函数（对数函数、三角函数、双曲函数）得到了全面的研究。同时笛卡尔变量数学的产生和牛顿、莱布尼兹微积分的发展使函数概念的产生成为可能，人们认识到各种具体函数之间存在一种共同属性——变化。由此，函数概念脱离了它所依附的天文、物理、音乐背景，作为一个独立的数学概念被抽象出来。1963年8月，莱布尼兹用“函数”一词来表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量（曲线的斜率，曲率半径或曲线上点的坐标等），这带有强烈的几何烙印。
三、函数概念的深化
1698年，约翰·伯努利首次从解析的角度定义函数，他把“由变数x和常数所构成的式子，叫作x的函数”。“变量”的含义得到了深化，函数的“变量关系”得到进一步说明，但严格说，它仍只是函数概念的一个模糊而又不确切的表述。
1975年欧拉在他的新定义中进一步强调两个变量之间的依赖关系，也正因为强调“随着变化”使函数概念的外延缩小。欧拉的函数概念把解析式和曲线等概念混在一起，缺乏严密性，所以是含糊的，不能被所有人接受。
19世纪，伴随着椭圆函数、超椭圆函数和阿贝尔函数的产生，代数函数论变得丰富起来，人们对函数概念又有了新的认识。1821年法国数学家柯西以严格化为目的，重新对变量和函数作了定义，澄清了函数、曲线、连续、不连续等概念之间的关系。“自变量”一词第一次出现在函数的定义中。柯西的函数定义仍区分了x和y的关系有两个以上表达式的情况。1834年俄国数学家罗巴切夫斯基的函数新定义进一步建立了自变量和函数值之间的对应关系，使“对应”这一函数概念的本质属性更加明确，是对函数概念的一次重大发展。1851年，黎曼函数定义彻底抛弃了把函数视为解析式或图像的束缚，避免了以往函数定义中对依赖关系的描述，以完全清晰的方式被所有数学家接受。黎曼定义更带有普遍性，为理论研究和实际应用提供了方便。从1874到1989年，康托尔完成了古典集合论的创建工作。在康托尔集合论的基础上，出现了一个包含了所有今天数学以及其他学科中所用的集合函数的概念。
随着函数概念的不断深化，到20世纪初，人们根据各类函数的特征类型将函数分为解析函数、连续函数、不连续函数等，同时加在自变量和函数值上的枷锁被解除，可以连续或不连续地取值，这样函数概念的意义就更加广泛了。后来将变量限制在数中这个限制也消除了，更具一般性，变量的取值可以是数也可以是其他对象。由此，美国数学家维布伦等人给出了函数的近代定义，即现在高中课本中关于函数的定义。这个定义使变量之间的对应关系更加明确，把握住了函数定义的实质。
从约翰·伯努利、欧拉、傅里叶、柯西、黎曼等人对函数概念的不同描述可以看出，函数概念的发展是一个弱抽象的过程，到今天加在函数概念上的种种限制被逐一解除，不管自变量的值有几个，是数还是点，只要自变量与因变量之间满足函数定义中的对应关系即可，函数概念发展到今天具有更加广泛的定义而且还在继续着。
四、函数概念演变的教育意义
函数概念演变过程蕴涵着的丰富的数学思想和数学方法，可以为我们进行函数教学提供许多具有参考价值的东西，使我们的教学更加符合学生的思维发展规律。
（一）思维的启示
函数概念不是现成地从某个人那里产生出来的，它经历了一个萌芽、精确化和概括化的过程，即函数思想的演变是渐进的，经历了由具体、直观到逻辑、抽象发展的漫长过程。由思维发展的历史相似性可知，学生思维也会经历从感性经验到具体形象，到抽象逻辑的过程。教学过程中把函数概念的发生、发展过程呈现给学生，可以帮助学生更好地理解函数概念的本质核心。
（二）思维的迁移
函数概念的演变经历了从简单的代数运算到抽象的函数定义，包含了数学思维中的归纳、类比、演绎思想，体现了数学思维的迁移和深化。它的每一次扩展都体现了前人在探索问题的过程中数学知识与思想方法的有机融合。按照函数概念的历史发展脉络可以将函数概念中包含的集合对应观点、函数分析方法、变量思维方式、等价交换与数形结合方法一一融入函数的教学，使数学课堂更加生动。
（三）数学思维的发展
每一个数学理论的形成或一次数学思维的发展都是在解决实际问题的过程中产生的，函数概念的形成也遵循这一规律。在函数概念的教学过程中，挖掘实际生活中具有启示意义的典型例子，有助于学生准确把握函数定义，并形成正确的解题方法，取得良好的学习效果。
教学中我们不能把函数的来源背景、理论形成一一
呈现给学生，但是我们能够把函数概念所蕴含的思维火花和思想方法浓缩在函数教学中，使函数概念的教
学更加具体、形象，使学生的数学素养得到更大的提升。
参考文献：
[1]王昌.函数概念诞生的标志[J].西北大学学报，2009（2）.
[2]任明俊，汪晓勤.中学生对函数概念的理解：历史相似性初探[J].数学教育学报，2007（11）.
[3]VICTOR J.KATZ.数学史通论[M].高等教育出版社，2004.
[4]M·克莱因.古今数学思想[M].上海科学技术出版社，2002.
[5]林永伟，叶立军.数学史与数学教育[M].浙江大学出版社，2004.
[6]张奠宙.数学教育概论[M].高等教育出版社，2009.
[7]张顺燕.数学的思想、方法和应用[M].北京大学出版社，1997.
[8]简冬梅.函数概念的演进与函数教学[J].四川学报，2004（5）.
[9]王秀艳.对高中函数概念理解程度的调查研究[D].辽宁师范大学，2007.
[10]陈蓓.函数概念的发展与比较[J].数学教学通讯，2005（2）.