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[摘 要] 深度学习视角对结论为本的教学设计提出了挑战，也为观念为本的教学设计提供了很好的平台。本文以新课程标准人教版实验教科书《数学》“一次函数”第一阶段5课时“变量与函数”的教学设计及实施为例，阐述了在初中数学新课程中如何进行基于聚合观念的教学设计这一理论和方法，为促进深度学习提供参考。
[关键词] 深度学习;观念为本;教学设计;聚合观念
[中图分类号]G642 [文献标志码] A [文章编号] 1008-2549（2020） 09-0070-03
一 问题的提出
“结论为本的课程与教学”强调对知识相关的定义、定理、性质的记忆和表层化理解，各知识之间的联系较为松散，因此知识的迁移多在相似情境中发生，常识性理解和低水平认知较为普遍。而“观念为本的课程与教学”则将“聚合观念”作为教学和学习的目标，通过逐级分解，将聚合观念的达成转化为“基本问题”，继而通过层层深入与扩展，聚焦核心本质、挖掘潜在内涵。于教师教学而言，教学的重心不再单纯集中在“教”这一层面上，目标的达成也不再以最后的成果为教学的要义准则，反而从知识的来源方面加以挖掘。学生的学习也更多地放在深层观念的理解和知识的有效迁移上，自我完成知识建构的同时，完善知识结构网，获得积极的学习体验和深层思考的能力。近年来，指向深度学习的整体性教学设计中的整体观念也与本文提出的聚合观念有着相同的内涵[1]。由上可知，两种模式都强调以具体的、结论为本的知识和技能作为根基。两者的区别在于对教学最终目的认识不同，前者通常是以掌握具体结论性知识为宗旨，而观念为本的模式是以掌握从结论的来源中归纳出具有持久性、迁移性的聚合观念理解为其目的[2]。
二 深度学习
深度学习的概念于1976年由美国学者Ference Marton等率先提出，是相对于浅层学习及教学单纯强调记忆而忽视知识获得而提出的一个概念。随后，美国研究院将深度学习定位在真实情境中解决问题的能力层面，强调学习者对聚合观念的深度理解。随后我国学者何玲、黎加厚等对深度学习本质特点进行阐述。认为深度学习首先应建立在理解的基础上，并不单纯以培养批判性和创造性思维为目标，而是用思维指导学习，深度挖掘知识形成的来龙去脉，发现其中的联系并建立有效联结，进而通过类比联想将问题解决的方式自然迁移到新的情境中。其中，反思、理解、联结、迁移是其主要特征[3]。此后，基于特征的分析一度成为研究的主流，如郭华的联想与结构、活动与经验、本质与变式、迁移与应用、价值与评价五大特征研究[4];杜鹃等人的信息整合、批判思维、知识建构、促进迁移和问题解决[5]。基于以上观点，笔者认为深度学习应以培养高阶思维和建立具有持久迁移性的数学观念为目标，聚焦单元主题，让学习者经历知识发生发展的探索过程，建立知识之间的联结，获得认知结构深度建构的同时实现方法的有效迁移。
三 深度学习导向下观念为本的教学设计程序与方法
根据深度学习的内涵分析和观念为本的教学设计理念，其设计程序和方法主要有以下几步：1.课程单元确定后，审视课程单元内容，识别一个居于数学学科中心，具有超越课堂之外的，具有持久和广泛迁移价值的关键性概念或思想、方法、原理等作为“聚合观念”，为深度学习树立目标;2. 把聚合观念转化成一些“基本理解”，即在事实上产生深层次、可迁移的观念，它们是对聚合观念的具体描述，通过事实基础加以例证，但又超出具体事例的局限，是期望学生从学习中逐渐形成的;3. 把基本理解用“基本问题”加以表达和呈现，通过对基本理解提出“为什么”“如何”这样的能动性问题来推动教学活动、学习评价，达成学生的基本理解;4. 进一步将基本问题拆解为一连串具有梯度化的层级问题，并由此来设计教学活动、学习活动和学习评价，问题、活动和评价构成了“教学过程的核心区域”，随着学习外延的逐渐扩大，内涵也在向纵深处蔓延。高水平思维逐渐形成，并最终完成知识建构，形成聚合观念。在整个过程中，教师都要反复思考这样的问题：通过这个课程单元，教师最终希望学生知道什么、理解什么和能够做什么？
四 具体案例设计与实施
（一）案例选择与教材分析
本案例选取义务教育课程标准实验教科书新人教版八年级上册第十一章“一次函数”作为研究的对象，本单元需要13课时。包括变量与函数及函数的三种表示方法，一次函数及其性质，用函数的观点看方程与不等式。本单元教材主要是为学生提供研究初中阶段函数本质、探索一次函数性质以及用函数的观点看方程组与不等式的理论平台，即以“变化对应观”“分类观”和“函数观”为核心的理论平台。使学生学会运用“变量”的观点看函数，用“分类”的观点研究函数，用“函数”的观点研究方程组与不等式。具体设计（如图1），下面我们以第一阶段共5课时内容“变量与函数及函数的三种表示方法”为例进行介绍[6]。
（二）设计理念与实施流程
就“变量与函数”这一阶段学习来讲，函数的概念是数学中极为重要的基本概念，它的抽象性较强，接受并理解它有一定难度，也是本章的难点，变化与对应的思想体现在函数概念之中，用运动变化的眼光，数形结合的方法分析函数关系并以函数为工具，成为后续学习的基础。所以一开始，笔者就向学生阐明：同学们的学习目标是通过活动探究建构“变化过程观”这个聚合观念，以此作为深度教学和学习的导向，也是最终要达到的目标。随着问题的渐进与深入，相应的设计了多个交流、研讨，以及迁移运用和活动探究板块;（由于篇幅原因，在此我们仅给出函数本质探讨的设计流程）采用了比较、分析、质疑等研究方法和自身感悟及小组合作等学习方式;我们除了应用“what”“how”“why”等形成性问题对学生进行及时的课堂评价外，在課后我们采取了让学生画思维导图和概念图两种方式来归纳自己知识和思想，前者起着回忆已学知识的作用，而后者则用紧密的线条将其联系，形成网状的结构，严密和紧致。 1 图式解析，提炼“基本问题”
（1）变量与函数有怎样的关系？
（2）怎样用变化对应的观点认识函数？
（3）如何进一步探讨函数概念的本质？
设计意图：通过出示本阶段知识联结图（可以是思维导图），让学生对本阶段内容知识框架有俯瞰式了解，明确本阶段内容的学习意义，为后续学习奠定理论基础。同时以开放性问题作为目标驱动，引起学生对本阶段问题的关注。
2 问题细化，呈现“层级问题”
（1）什么是变量？变量之间有什么关系？为什么要研究变量？
（2）什么是函数？如何体现函数的单值对应思想？
（3）三种研究函数图像的方法有什么相互关系？对于研究函数有什么作用？用图像法研究函数体现什么样的数学思想？
（4）函数概念的本质是什么？
设计意图：逐级将基本问题进行分解，在整体关注的基础下分课时的探讨，解决每个问题，领悟函数概念的本质思想。
3 交流互动，展开研讨
（1）以上四个问题是从哪些方面揭示了变量分类和彼此之间的相互关系的？
（2）采用什么方法体现函数的单值对应？
（3）对于你认识函数概念的本质有什么启示？
设计意图：组织学生在小组探究、交流讨论中明白问题的实质。
4 拨开面纱，初步建构
（1）能举出生活中某些常量与变量的例子吗？
（2）当其中的一个变量取定一个值时，另一个有怎样的值与之对应？能解释你的想法吗？
设计意图：巩固学生对各变量间关系以及函数的定义的理解，由此评价学生对变化且单值对应思想的掌握程度。并且发现本质满足下可能有不同的表达形式。
5 思维延伸，互动归纳
（1）函数的解析式表示法需要注意的问题以及如何构造解析式来体现函数的建模思想？
（2）你能结合以前学过的或生活中的事例，写出他们的函数解析式吗？以及自变量的范围吗？
（3）你能说出函数的不同表示方法吗？对于不同的表示方法，他们的优缺点是什么？表达函数时有没有限制条件，试着举例？
设计意图：通过学生列举函数表达式的思维过程和方法，及时发现学生对函数“关系”的理解是否正确？通过对不同方法的比较、归纳，画概念图来帮助学生区分各种表达方法的特点及优缺点。为用后续“图像表示法”来进一步完善函数的本质思想奠定基础。
6 深入探究，完善建构
探究目的：学会从观察、比较、发现、探究中领会函数概念的运动变化、联系与单值对应的实质。
探究问题：三种研究函数图像的方法有什么相互关系？对于研究函数有什么作用？用图像法研究函数体现了什么样的数学思想？函数概念的本质是什么？
探究步骤：共同探究引入;设计探究方案;汇报方案并对方案进行评价;活动探究;汇报探究结果并整理总结;答疑解惑。
设计意图：首先师生共同从具体的函数S=x2（x>0）讨论出发，让学生经历列表、描点、连线等绘制函数图像的具体过程，并从例题中观察体会自变量与函数值的对应关系，以及由解析式画图像的过程，学会从图像中分析数据的能力，然后分组进行列表、作图，体会三种表示法的转换，在数形结合中观察函数值变化且函数与自变量单值对应的本质，通过思考板块与复习巩固专栏评价学生的理解情况。除此之外，培养学生利用函数知识推测未来事物变化趋势的能力。从而在建构变化对应观念的同时获得知识的理解与能力的提升。
（三）教学实施对学生观念深度建构情况的调查分析
本次课结束后，我们对学生进行了随机采访，学生对“变化对应观”的直接感受是：原来在错综复杂的变幻中，却存在着同样的共性。而变化对应的思想也是在变化中寻求变量，在变量之间寻求对应的关系。他们有的还自我总结了一些口诀：一个前提：两个变量;一个要素：给出一个x的值就能有唯一的y值与之对应。他们在利用“变化对应观”判断函数时，已不仅仅局限于单单写出函数关系式的狭小且错误的范围，而是通过变化对应的思想来把握函数的本质思想，并且可以在函数的不同表达形式下作出很好的判断。在我们对学生数学观和数学学习观的调查问卷分析结果中，约有超过半数的学生觉得在学习与理解函数概念的过程中，越来越感到不像过去所想的那么简单，绝大多数学生感到函数概念本身虽复杂，但却与生活紧密相连，丰富、有趣、且真实。在我们对函数本质考察的自编题测验统计分析和个案访谈资料中，我们又可以初步了解到学生对函数本质理解深度与层级变化。在后测中，图像考察题的通过率为86.7%，列表考察题的通过率为73.4%。在此之中，我们又进一步对习题答案正确但有可能存在照搬函数概念的同学进行再访谈，有63.6%的学生达到了观念性理解，总的说来，通过观念为本的教学，有20%和66.7%学生理解层次有不同程度的提高。通过本案例的学习，学生不但记住了函数的具体概念，会解题，而且更重要的是还能从根本上利用函数的“变化对应”思想在不同的函数表达式中进行多角度、多方位判断、分析及思考，不但能够对自己的经验性函数本质的理解予以更改或完善，还能够系统地建构观念的深度和复杂性，达到对关键性知识内容的掌握和聚合观念的建构，使知识具有持久的迁移价值。
五 总结与反思
深度学习导向下的观念为本的教学，需要对观念的设计、问题的设计、活动的设计以及课堂课后的评价设计等方面进行精心的安排和规划，种种设计其重要特点在于，试图通过连续性的设计达到教学的系统良性操作，并在所营造的学习环境中促进学生在理解层级上的连续性转变，这种转变首先体现在学生能积极反思自身现有理解状况，继而在此基础上逐渐达到一种有意识的知识深化理解内驱力、最终形成迁移转化的思考方式和整合和聚合观念的建构[7]。
参考文献：
[1]朱先东.指向深度学习的数学整体性教学设计[J].数学教育学报，2019（10）：33-36.
[2]H.Lynn Erickon.概念为本的课程与教学[M].兰英，译.北京：中国轻工业出版社，2001.
[3]何玲，黎加厚.促进学生深度学习[J].计算机教与学，2005（5）：29-30.
[4]郭华.深度学习及其意义[J].课程·教材·教法，2016（11）：25-32.
[5]杜娟，李兆君，郭丽文. 促进深度学习的信息化教学设计的策略研究[J].电化教育研究，2013（10）：14-20.
[6]义务教育课程标准人教版数学实验教科书[M].北京：人民教育出版社，2005.
[7]胡曉萍，周玉芝，张建国，丁激扬.以学生发展为本的教学设计——核心概念引导下的化学教学设计与实施[J].化学教育，2015（07）：23-26.
（责任编辑： 姜海晶）
[关键词] 深度学习;观念为本;教学设计;聚合观念
[中图分类号]G642 [文献标志码] A [文章编号] 1008-2549（2020） 09-0070-03
一 问题的提出
“结论为本的课程与教学”强调对知识相关的定义、定理、性质的记忆和表层化理解，各知识之间的联系较为松散，因此知识的迁移多在相似情境中发生，常识性理解和低水平认知较为普遍。而“观念为本的课程与教学”则将“聚合观念”作为教学和学习的目标，通过逐级分解，将聚合观念的达成转化为“基本问题”，继而通过层层深入与扩展，聚焦核心本质、挖掘潜在内涵。于教师教学而言，教学的重心不再单纯集中在“教”这一层面上，目标的达成也不再以最后的成果为教学的要义准则，反而从知识的来源方面加以挖掘。学生的学习也更多地放在深层观念的理解和知识的有效迁移上，自我完成知识建构的同时，完善知识结构网，获得积极的学习体验和深层思考的能力。近年来，指向深度学习的整体性教学设计中的整体观念也与本文提出的聚合观念有着相同的内涵[1]。由上可知，两种模式都强调以具体的、结论为本的知识和技能作为根基。两者的区别在于对教学最终目的认识不同，前者通常是以掌握具体结论性知识为宗旨，而观念为本的模式是以掌握从结论的来源中归纳出具有持久性、迁移性的聚合观念理解为其目的[2]。
二 深度学习
深度学习的概念于1976年由美国学者Ference Marton等率先提出，是相对于浅层学习及教学单纯强调记忆而忽视知识获得而提出的一个概念。随后，美国研究院将深度学习定位在真实情境中解决问题的能力层面，强调学习者对聚合观念的深度理解。随后我国学者何玲、黎加厚等对深度学习本质特点进行阐述。认为深度学习首先应建立在理解的基础上，并不单纯以培养批判性和创造性思维为目标，而是用思维指导学习，深度挖掘知识形成的来龙去脉，发现其中的联系并建立有效联结，进而通过类比联想将问题解决的方式自然迁移到新的情境中。其中，反思、理解、联结、迁移是其主要特征[3]。此后，基于特征的分析一度成为研究的主流，如郭华的联想与结构、活动与经验、本质与变式、迁移与应用、价值与评价五大特征研究[4];杜鹃等人的信息整合、批判思维、知识建构、促进迁移和问题解决[5]。基于以上观点，笔者认为深度学习应以培养高阶思维和建立具有持久迁移性的数学观念为目标，聚焦单元主题，让学习者经历知识发生发展的探索过程，建立知识之间的联结，获得认知结构深度建构的同时实现方法的有效迁移。
三 深度学习导向下观念为本的教学设计程序与方法
根据深度学习的内涵分析和观念为本的教学设计理念，其设计程序和方法主要有以下几步：1.课程单元确定后，审视课程单元内容，识别一个居于数学学科中心，具有超越课堂之外的，具有持久和广泛迁移价值的关键性概念或思想、方法、原理等作为“聚合观念”，为深度学习树立目标;2. 把聚合观念转化成一些“基本理解”，即在事实上产生深层次、可迁移的观念，它们是对聚合观念的具体描述，通过事实基础加以例证，但又超出具体事例的局限，是期望学生从学习中逐渐形成的;3. 把基本理解用“基本问题”加以表达和呈现，通过对基本理解提出“为什么”“如何”这样的能动性问题来推动教学活动、学习评价，达成学生的基本理解;4. 进一步将基本问题拆解为一连串具有梯度化的层级问题，并由此来设计教学活动、学习活动和学习评价，问题、活动和评价构成了“教学过程的核心区域”，随着学习外延的逐渐扩大，内涵也在向纵深处蔓延。高水平思维逐渐形成，并最终完成知识建构，形成聚合观念。在整个过程中，教师都要反复思考这样的问题：通过这个课程单元，教师最终希望学生知道什么、理解什么和能够做什么？
四 具体案例设计与实施
（一）案例选择与教材分析
本案例选取义务教育课程标准实验教科书新人教版八年级上册第十一章“一次函数”作为研究的对象，本单元需要13课时。包括变量与函数及函数的三种表示方法，一次函数及其性质，用函数的观点看方程与不等式。本单元教材主要是为学生提供研究初中阶段函数本质、探索一次函数性质以及用函数的观点看方程组与不等式的理论平台，即以“变化对应观”“分类观”和“函数观”为核心的理论平台。使学生学会运用“变量”的观点看函数，用“分类”的观点研究函数，用“函数”的观点研究方程组与不等式。具体设计（如图1），下面我们以第一阶段共5课时内容“变量与函数及函数的三种表示方法”为例进行介绍[6]。
（二）设计理念与实施流程
就“变量与函数”这一阶段学习来讲，函数的概念是数学中极为重要的基本概念，它的抽象性较强，接受并理解它有一定难度，也是本章的难点，变化与对应的思想体现在函数概念之中，用运动变化的眼光，数形结合的方法分析函数关系并以函数为工具，成为后续学习的基础。所以一开始，笔者就向学生阐明：同学们的学习目标是通过活动探究建构“变化过程观”这个聚合观念，以此作为深度教学和学习的导向，也是最终要达到的目标。随着问题的渐进与深入，相应的设计了多个交流、研讨，以及迁移运用和活动探究板块;（由于篇幅原因，在此我们仅给出函数本质探讨的设计流程）采用了比较、分析、质疑等研究方法和自身感悟及小组合作等学习方式;我们除了应用“what”“how”“why”等形成性问题对学生进行及时的课堂评价外，在課后我们采取了让学生画思维导图和概念图两种方式来归纳自己知识和思想，前者起着回忆已学知识的作用，而后者则用紧密的线条将其联系，形成网状的结构，严密和紧致。 1 图式解析，提炼“基本问题”
（1）变量与函数有怎样的关系？
（2）怎样用变化对应的观点认识函数？
（3）如何进一步探讨函数概念的本质？
设计意图：通过出示本阶段知识联结图（可以是思维导图），让学生对本阶段内容知识框架有俯瞰式了解，明确本阶段内容的学习意义，为后续学习奠定理论基础。同时以开放性问题作为目标驱动，引起学生对本阶段问题的关注。
2 问题细化，呈现“层级问题”
（1）什么是变量？变量之间有什么关系？为什么要研究变量？
（2）什么是函数？如何体现函数的单值对应思想？
（3）三种研究函数图像的方法有什么相互关系？对于研究函数有什么作用？用图像法研究函数体现什么样的数学思想？
（4）函数概念的本质是什么？
设计意图：逐级将基本问题进行分解，在整体关注的基础下分课时的探讨，解决每个问题，领悟函数概念的本质思想。
3 交流互动，展开研讨
（1）以上四个问题是从哪些方面揭示了变量分类和彼此之间的相互关系的？
（2）采用什么方法体现函数的单值对应？
（3）对于你认识函数概念的本质有什么启示？
设计意图：组织学生在小组探究、交流讨论中明白问题的实质。
4 拨开面纱，初步建构
（1）能举出生活中某些常量与变量的例子吗？
（2）当其中的一个变量取定一个值时，另一个有怎样的值与之对应？能解释你的想法吗？
设计意图：巩固学生对各变量间关系以及函数的定义的理解，由此评价学生对变化且单值对应思想的掌握程度。并且发现本质满足下可能有不同的表达形式。
5 思维延伸，互动归纳
（1）函数的解析式表示法需要注意的问题以及如何构造解析式来体现函数的建模思想？
（2）你能结合以前学过的或生活中的事例，写出他们的函数解析式吗？以及自变量的范围吗？
（3）你能说出函数的不同表示方法吗？对于不同的表示方法，他们的优缺点是什么？表达函数时有没有限制条件，试着举例？
设计意图：通过学生列举函数表达式的思维过程和方法，及时发现学生对函数“关系”的理解是否正确？通过对不同方法的比较、归纳，画概念图来帮助学生区分各种表达方法的特点及优缺点。为用后续“图像表示法”来进一步完善函数的本质思想奠定基础。
6 深入探究，完善建构
探究目的：学会从观察、比较、发现、探究中领会函数概念的运动变化、联系与单值对应的实质。
探究问题：三种研究函数图像的方法有什么相互关系？对于研究函数有什么作用？用图像法研究函数体现了什么样的数学思想？函数概念的本质是什么？
探究步骤：共同探究引入;设计探究方案;汇报方案并对方案进行评价;活动探究;汇报探究结果并整理总结;答疑解惑。
设计意图：首先师生共同从具体的函数S=x2（x>0）讨论出发，让学生经历列表、描点、连线等绘制函数图像的具体过程，并从例题中观察体会自变量与函数值的对应关系，以及由解析式画图像的过程，学会从图像中分析数据的能力，然后分组进行列表、作图，体会三种表示法的转换，在数形结合中观察函数值变化且函数与自变量单值对应的本质，通过思考板块与复习巩固专栏评价学生的理解情况。除此之外，培养学生利用函数知识推测未来事物变化趋势的能力。从而在建构变化对应观念的同时获得知识的理解与能力的提升。
（三）教学实施对学生观念深度建构情况的调查分析
本次课结束后，我们对学生进行了随机采访，学生对“变化对应观”的直接感受是：原来在错综复杂的变幻中，却存在着同样的共性。而变化对应的思想也是在变化中寻求变量，在变量之间寻求对应的关系。他们有的还自我总结了一些口诀：一个前提：两个变量;一个要素：给出一个x的值就能有唯一的y值与之对应。他们在利用“变化对应观”判断函数时，已不仅仅局限于单单写出函数关系式的狭小且错误的范围，而是通过变化对应的思想来把握函数的本质思想，并且可以在函数的不同表达形式下作出很好的判断。在我们对学生数学观和数学学习观的调查问卷分析结果中，约有超过半数的学生觉得在学习与理解函数概念的过程中，越来越感到不像过去所想的那么简单，绝大多数学生感到函数概念本身虽复杂，但却与生活紧密相连，丰富、有趣、且真实。在我们对函数本质考察的自编题测验统计分析和个案访谈资料中，我们又可以初步了解到学生对函数本质理解深度与层级变化。在后测中，图像考察题的通过率为86.7%，列表考察题的通过率为73.4%。在此之中，我们又进一步对习题答案正确但有可能存在照搬函数概念的同学进行再访谈，有63.6%的学生达到了观念性理解，总的说来，通过观念为本的教学，有20%和66.7%学生理解层次有不同程度的提高。通过本案例的学习，学生不但记住了函数的具体概念，会解题，而且更重要的是还能从根本上利用函数的“变化对应”思想在不同的函数表达式中进行多角度、多方位判断、分析及思考，不但能够对自己的经验性函数本质的理解予以更改或完善，还能够系统地建构观念的深度和复杂性，达到对关键性知识内容的掌握和聚合观念的建构，使知识具有持久的迁移价值。
五 总结与反思
深度学习导向下的观念为本的教学，需要对观念的设计、问题的设计、活动的设计以及课堂课后的评价设计等方面进行精心的安排和规划，种种设计其重要特点在于，试图通过连续性的设计达到教学的系统良性操作，并在所营造的学习环境中促进学生在理解层级上的连续性转变，这种转变首先体现在学生能积极反思自身现有理解状况，继而在此基础上逐渐达到一种有意识的知识深化理解内驱力、最终形成迁移转化的思考方式和整合和聚合观念的建构[7]。
参考文献：
[1]朱先东.指向深度学习的数学整体性教学设计[J].数学教育学报，2019（10）：33-36.
[2]H.Lynn Erickon.概念为本的课程与教学[M].兰英，译.北京：中国轻工业出版社，2001.
[3]何玲，黎加厚.促进学生深度学习[J].计算机教与学，2005（5）：29-30.
[4]郭华.深度学习及其意义[J].课程·教材·教法，2016（11）：25-32.
[5]杜娟，李兆君，郭丽文. 促进深度学习的信息化教学设计的策略研究[J].电化教育研究，2013（10）：14-20.
[6]义务教育课程标准人教版数学实验教科书[M].北京：人民教育出版社，2005.
[7]胡曉萍，周玉芝，张建国，丁激扬.以学生发展为本的教学设计——核心概念引导下的化学教学设计与实施[J].化学教育，2015（07）：23-26.
（责任编辑： 姜海晶）