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从特殊到一般是人类认识客观事物的一种规律.对于一个一般性的问题,先研究它的某些特殊情形,从而获得解决问题的途径,使问题得以“突破”,这种解决问题的策略称为特殊化策略,共性孕育在个性之中.人们总是首先认识了许多不同事物的特殊本质,然后才有可能更进一步地进行概括工作,认识各种事物的共同本质.特殊化策略,正是特殊与一般的辩证关系在解题中的灵活运用,它生动地体现了认识过程中以退为进的思想方法.
“在讨论数学问题时,我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用.”(希尔伯特语).对个别特殊情况 的讨论,常能凸现问题的关键,揭示问题的本质.
将一般问题特殊化,通常并不难,只须将被研究的对象添加某些限制或适当加强某些条件即可.特殊化策略在数学解题中发挥着重要的作用.
1发现数学规律
由于矛盾的普遍性存在于矛盾的特殊性之中,因此,我们可以利用特殊化策略去猜想、发现真理,归纳出一般性的结论.它为我们解决一般性问题奠定了基础,指明了方向.
纵观数学的发展史,许多数学问题的发现都来源于特殊化策略,著名的哥德巴赫猜想,就是在对特殊事例的观察、分析基础上猜想发现的;费马大定理,也是从特殊入手提出,然后设法证明的;还有四色定理…….可以说没有特殊化的归纳猜想,就没有数学的发现,也就没有科学发展的今天.
例1求s=13+23+33+…+n3的值.
分析:看到这道题时,一时无从下手.可让n取一些特殊值,从实验、观察入手.
当n分别取1,2,3,4,5时,可得:
13=1=12,
13+23=9=32,
13+23+33=36=62,
13+23+33+43=100=102,
13+23+33+43+53=225=152,
……
在实验的基础上进行观察,并找到右边平方数的底数与左边立方和的底数之间的关系.
因为 1=1, 3=1+2, 6=1+2+3, 10=1+2+3+4, 15=1+2+3+4+5,……
所以 an=1+2+…+n=1/2n(n+1) (n∈N+).从而不难发现:13+23+33+…+n3=1/4n2(n+1)2.
在上述实验过程中,由n的一些特殊值,通过实验、观察,发现内在规律,从而发现原题的结果,这一结果可用数学归纳法进行严格的证明,使发现的结果得到最后确认.
数学问题经过特殊化处理后,常常能帮助我们获得该问题某一侧面的信息,这样经过几次特殊化后,就能得到较多的信息,从而有助于找到解决问题的方法.
2直接探求结论
有些与定值、定点、定直线有关的问题,可以用特殊化策略将问题引向极端,舍弃题中不确定的因素,直接探求这个定值、定点、定直线,从而使解题有明确的方向.
对于定值问题运用特殊化策略可以先求出定值,然后再用此定值检验结果是否正确.
本题特殊情形的验证也是证明的一部分,因为非特殊情形的证明方法不适用于k=0或k不存在的特殊情形.
3启示解题思路
问题的特殊化往往表现为问题的简单化.人们对这些简单情形的考察有助于启示解决原问题的思路.
对于元素较多,呈现的情况比较复杂的问题,我们可以先从元素较少的简单情况进行研究,然后以此为起点去解答较多元素的原题,它常能起到“退一步,进两步”的作用.
特殊情况通常比一般情况要直观、简单、原始,易找到解决的方法和途径,而一般问题的解法思路往往与特殊情形的解法思路非常相似,甚或完全一致.所以特殊情形的解决会给一般性解决指引方向、提供思路,换句话说,不太困难的、特殊的辅助问题常常作为解决更困难的具有一般性原问题的铺路石.
所以 tanα1<sinα1+sinα2+…+sinαn/cosα1+cosα2+…+cosαn<tanαn.
通过对特殊情况的讨论,可使问题变得更加明朗.但是,在通常情况下,对特殊情况的讨论不能代替一般情况的研究,要得到一般性结论,还须就一般情况加以证明.
4检验数学命题
数学中并非每个命题都为真.有的命题,虽从多方面进行了严密的推理,但仍不能得到结论.因此,很自然地,人们对这个命题的真伪产生怀疑,从而设法否定这个命题.怎样推翻一个命题呢?只要举出一个符合命题的条件而不符合该命题的结论的特例——反例,就可以了.
在数学史上,有不少著名命题被否定,都是反例的功劳.
反例是十分简明的否定,也是极有说服力的肯定.反例的作用不仅用以否定命题,而且也是发现数学真理的一种重要手段.它在数学学习与研究中起着不可估量的作用.美国当代数学家盖尔鲍姆说得好:“数学由两大类——证明和反例组成,而数学发现也是朝着两个主要目标——提出证明和构造反例.”举反例有利于培养学生的发散思维能力,克服思维的片面性,做到深入探索、有所发现,养成严谨、踏实、一丝不苟的学风.
对于某些结论否定型问题,从正面证明它不成立一般不容易,而举一个反例往往能迅速地解决问题.
例4每个三角形有三边、三角共6个元素,若两个三角形各有5个元素分别相等,这两个三角形是否全等?为什么?
分析:从题目所给的条件看,可以模糊地猜想这两个三角形全等.因此若能特殊化地找到一个反例,就可能推翻全等的结论,否则就要着手证明全等.
事实上,可构造如下反例:
设△ABC的三边为a=8,b=12,c=18,而△A′B′C′的三边为a′=12, b′=18, c′=27.显然有a/a′=b/b′=c/c′=2/3,即 △ABC∽△A′B′C′,所以 ∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′.又b=a′,c=b′,即这两个三角形各有5个元素分别相等,但显然这两个三角形不全等.所以题中所指的两个三角形不一定全等.这说明“分别相等”与“对应相等”是不同的.
判断一个一般性命题是否成立,有时可考虑采用特殊化策略,即选择符合命题条件的特殊情况(特殊值、特殊图形、特殊关系等),去验证命题是否成立.尤其解答某些单项选择题、填空题,用特殊化策略往往简单易行.
5等价化归问题
在解决有关数学问题时,适当地将注意力倾注在对象的某个特殊方面上,往往是有益的.例如,问题的对称性,有助于问题的漂亮解决.对称性往往可引出“不失一般性……”之类的语言,在解决问题时实现一般向特殊的等价化归.
例5设a、b、c为三角形的三边.求证:a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.
分析:容易看出,欲证的不等式是关于a、b、c对称的.由于三角形三边作为实数一定可依次按大小顺序排列起来,因此,不失一般性,我们可假设a≥b≥c.在此基础上,只须计算出[a2(b+c-a)-abc]+[b2(c+a-b)-abc]+[c2(a+b-c)-abc]≤0即可.
事实上,a2(b+c-a)-abc=ab(a-c)+a2(c-a)=a(a-b)(c-a)≤0,
[b2(c+a-b)-abc]+[c2(a+b-c)-abc]=
b(b-c)(a-b)+c(c-a)(b-c)=
(b-c)[a(b-c)-(b2-c2)]=
(b-c)2[a-(b+c)]≤0.
从而原不等式获证.
添加条件a≥b≥c后,使关于任意三角形的问题转化为有限制条件的三角形问题,即一般向特殊的等价转化.
参考文献
1阴东升、卞瑞玲、徐本顺.数学中的特殊化与一般化.南京:江苏教育出版社,1995
2何华兴主编.数学思想方法.上海:百家出版社,2002
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
“在讨论数学问题时,我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用.”(希尔伯特语).对个别特殊情况 的讨论,常能凸现问题的关键,揭示问题的本质.
将一般问题特殊化,通常并不难,只须将被研究的对象添加某些限制或适当加强某些条件即可.特殊化策略在数学解题中发挥着重要的作用.
1发现数学规律
由于矛盾的普遍性存在于矛盾的特殊性之中,因此,我们可以利用特殊化策略去猜想、发现真理,归纳出一般性的结论.它为我们解决一般性问题奠定了基础,指明了方向.
纵观数学的发展史,许多数学问题的发现都来源于特殊化策略,著名的哥德巴赫猜想,就是在对特殊事例的观察、分析基础上猜想发现的;费马大定理,也是从特殊入手提出,然后设法证明的;还有四色定理…….可以说没有特殊化的归纳猜想,就没有数学的发现,也就没有科学发展的今天.
例1求s=13+23+33+…+n3的值.
分析:看到这道题时,一时无从下手.可让n取一些特殊值,从实验、观察入手.
当n分别取1,2,3,4,5时,可得:
13=1=12,
13+23=9=32,
13+23+33=36=62,
13+23+33+43=100=102,
13+23+33+43+53=225=152,
……
在实验的基础上进行观察,并找到右边平方数的底数与左边立方和的底数之间的关系.
因为 1=1, 3=1+2, 6=1+2+3, 10=1+2+3+4, 15=1+2+3+4+5,……
所以 an=1+2+…+n=1/2n(n+1) (n∈N+).从而不难发现:13+23+33+…+n3=1/4n2(n+1)2.
在上述实验过程中,由n的一些特殊值,通过实验、观察,发现内在规律,从而发现原题的结果,这一结果可用数学归纳法进行严格的证明,使发现的结果得到最后确认.
数学问题经过特殊化处理后,常常能帮助我们获得该问题某一侧面的信息,这样经过几次特殊化后,就能得到较多的信息,从而有助于找到解决问题的方法.
2直接探求结论
有些与定值、定点、定直线有关的问题,可以用特殊化策略将问题引向极端,舍弃题中不确定的因素,直接探求这个定值、定点、定直线,从而使解题有明确的方向.
对于定值问题运用特殊化策略可以先求出定值,然后再用此定值检验结果是否正确.
本题特殊情形的验证也是证明的一部分,因为非特殊情形的证明方法不适用于k=0或k不存在的特殊情形.
3启示解题思路
问题的特殊化往往表现为问题的简单化.人们对这些简单情形的考察有助于启示解决原问题的思路.
对于元素较多,呈现的情况比较复杂的问题,我们可以先从元素较少的简单情况进行研究,然后以此为起点去解答较多元素的原题,它常能起到“退一步,进两步”的作用.
特殊情况通常比一般情况要直观、简单、原始,易找到解决的方法和途径,而一般问题的解法思路往往与特殊情形的解法思路非常相似,甚或完全一致.所以特殊情形的解决会给一般性解决指引方向、提供思路,换句话说,不太困难的、特殊的辅助问题常常作为解决更困难的具有一般性原问题的铺路石.
所以 tanα1<sinα1+sinα2+…+sinαn/cosα1+cosα2+…+cosαn<tanαn.
通过对特殊情况的讨论,可使问题变得更加明朗.但是,在通常情况下,对特殊情况的讨论不能代替一般情况的研究,要得到一般性结论,还须就一般情况加以证明.
4检验数学命题
数学中并非每个命题都为真.有的命题,虽从多方面进行了严密的推理,但仍不能得到结论.因此,很自然地,人们对这个命题的真伪产生怀疑,从而设法否定这个命题.怎样推翻一个命题呢?只要举出一个符合命题的条件而不符合该命题的结论的特例——反例,就可以了.
在数学史上,有不少著名命题被否定,都是反例的功劳.
反例是十分简明的否定,也是极有说服力的肯定.反例的作用不仅用以否定命题,而且也是发现数学真理的一种重要手段.它在数学学习与研究中起着不可估量的作用.美国当代数学家盖尔鲍姆说得好:“数学由两大类——证明和反例组成,而数学发现也是朝着两个主要目标——提出证明和构造反例.”举反例有利于培养学生的发散思维能力,克服思维的片面性,做到深入探索、有所发现,养成严谨、踏实、一丝不苟的学风.
对于某些结论否定型问题,从正面证明它不成立一般不容易,而举一个反例往往能迅速地解决问题.
例4每个三角形有三边、三角共6个元素,若两个三角形各有5个元素分别相等,这两个三角形是否全等?为什么?
分析:从题目所给的条件看,可以模糊地猜想这两个三角形全等.因此若能特殊化地找到一个反例,就可能推翻全等的结论,否则就要着手证明全等.
事实上,可构造如下反例:
设△ABC的三边为a=8,b=12,c=18,而△A′B′C′的三边为a′=12, b′=18, c′=27.显然有a/a′=b/b′=c/c′=2/3,即 △ABC∽△A′B′C′,所以 ∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′.又b=a′,c=b′,即这两个三角形各有5个元素分别相等,但显然这两个三角形不全等.所以题中所指的两个三角形不一定全等.这说明“分别相等”与“对应相等”是不同的.
判断一个一般性命题是否成立,有时可考虑采用特殊化策略,即选择符合命题条件的特殊情况(特殊值、特殊图形、特殊关系等),去验证命题是否成立.尤其解答某些单项选择题、填空题,用特殊化策略往往简单易行.
5等价化归问题
在解决有关数学问题时,适当地将注意力倾注在对象的某个特殊方面上,往往是有益的.例如,问题的对称性,有助于问题的漂亮解决.对称性往往可引出“不失一般性……”之类的语言,在解决问题时实现一般向特殊的等价化归.
例5设a、b、c为三角形的三边.求证:a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.
分析:容易看出,欲证的不等式是关于a、b、c对称的.由于三角形三边作为实数一定可依次按大小顺序排列起来,因此,不失一般性,我们可假设a≥b≥c.在此基础上,只须计算出[a2(b+c-a)-abc]+[b2(c+a-b)-abc]+[c2(a+b-c)-abc]≤0即可.
事实上,a2(b+c-a)-abc=ab(a-c)+a2(c-a)=a(a-b)(c-a)≤0,
[b2(c+a-b)-abc]+[c2(a+b-c)-abc]=
b(b-c)(a-b)+c(c-a)(b-c)=
(b-c)[a(b-c)-(b2-c2)]=
(b-c)2[a-(b+c)]≤0.
从而原不等式获证.
添加条件a≥b≥c后,使关于任意三角形的问题转化为有限制条件的三角形问题,即一般向特殊的等价转化.
参考文献
1阴东升、卞瑞玲、徐本顺.数学中的特殊化与一般化.南京:江苏教育出版社,1995
2何华兴主编.数学思想方法.上海:百家出版社,2002
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文