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摘 要：随着高速铁路桥梁占客运专线比例的增加，地震发生时列车过桥概率随之变大；而大跨度斜拉桥近年来在我国得到迅速发展和广泛应用，其抗震性能一直受到工程界的普遍关注。本文采用大型有限元软件ANSYS，运用APDL语言进行编程，建立框架模型，根据加速度法和大刚度法的机理，对比是否存在差异。
关键词：大刚度法；加速度法；行波效应
1. 大刚度法现状
现如今，大跨度桥梁结构在地震作用下的响应分析方法种类很多，主要包括确定性的和非确定性的两部分，其中在确定性和非确定性响应分析的基础上，又可以分为时程分析法和频域分析法及相应的简化方法，除此之外还有一些近似分析方法。采用不同的分析方法，其地震波输入方式也就不同。而时程分析法是一种重要的分析方法，它是通过直接动力分析可得到结构随时间的相应变化，能够真实地反应结构地震随时间相应变化的全过程。本章将着重研究斜拉桥一致激励和多点激励非线性地震反应时程分析。此外，大刚度法的求解精度和适用性问题也存在一些争议，例如 Chen J T ， Hong H-K 等[1]基于瑞利阻尼的 Bernoulli-Euler 梁遭受支座非一致扰动的动力学模型，给出了大刚度法与传统方法结果的对比，从它给出的结果可以看出，大刚度法与理论值存在一定的偏差。即便如此，董益亮等[2]仍通过大刚度法在结构分析中仍取得了一些研究成果。
2.运动方程建立
2.1 一致激励运动方程（加速度法）
在地震作用下，多自由度体系一般运动微分方程为[3]：
（2-1）
在一致激励作用下，桥梁结构各点输入同相位的同一加速度时程，可以用以下式子来表示：
（2-2）
采用式（2-2）求解时成为加速度法，即一致激励，在有限元软件ANSYS中，通过ACEL命令就可以实现加速度一致激励，可适用于线性分析和非线性分析。
2.2 多点激励运动方程（大刚度法）
在多点激励作用下，桥梁结构除了受到地震动引起的惯性力外，还包括各支撑相对位移在结构构件间产生的内力——拟静力。拟静力是一种随时间变化，却能使结构保持平衡的静内力。基于此，1969年 Dibaj 和 Penzien[4]在分析土坝地震反应时，将结构反应的总位移分解为拟静力位移和动力相对位移两部分，推导出了多点激励作用下结构的运动方程。其基本求解思路是：先用静力法求得结构拟静力位移，然后将拟静力位移回代入原方程以求出结构动力相对位移，最后求出结构的总位移[5]。
如图2-2所示，采用大刚度法求解结构的非一致地震响应时，首先需释放沿地震波输入方向的约束自由度，并在该自由度方向增设不动点（如图2-1中的1’和2’），不动点只与原支座节点发生联系，在各不动点与原支座节点之间增设联系刚度K（此刚度为大刚度，一般为全桥刚度的106左右为宜）。通过在原支撑节点1和2上沿地震波输入方向分别施加等效节点荷载 P1=Kx1和 P2=Kx2 来模拟地震地面运动，其结构非一致地震响应的运动方程可表达为：
（2-3）
将式（2-3）第二行展开得：
（2-4）
两边同时乘以 可得：
（2-5）
将阻尼矩阵通过Rayleigh阻尼模型替换，同时由于K0的值远大于其它项，则公式（2-5）可以简化为：
（2-6）
而本文采用大刚度法求解时，采用自编程序，忽略了支撑点处的大刚度项，消除采用大刚度法时Rayleigh阻尼模型所带来的附加阻尼，此时
Cbb=αMbb+βKbb （2-7）
由于K0的值远大于Mbb和Kbb，將式（2-7）带入式（2-6），此时可得：
xb （t）≈xg （t） （2-8）
因此可以看出，本文自编程序可确保输入地震动位移的精度。采用大刚度法求解时只需输入地震动位移时程，即可求出桥梁所需位置的响应。本文所涉及的大刚度法中，大刚度的取值为全桥刚度值扩大10的6次方倍。
大刚度法在考虑行波效应与否的情况下，对于桥梁结构来说，主要存在的差异表现在哪些方面，需要通过一系列求解数据来分析得到，本节将选用 El-centro 波作为地震波激励源，该地震波是世界上第一条成功记录全过程数据的地震波，最大加速度超过300Gal的强震记录，其加速度、速度以及位移时程如图2-8～2-10所示。为探讨大刚度法考虑行波效应与未考虑行波效应所存在的问题，建立多自由度框架模型如图2-12和2-13所示，每个节点质量为40kg，框架长400m，100m，刚度k=3×104N/m ，采用 Rayleigh 阻尼模型确定系统的阻尼矩阵，结构阻尼比为0.05。
本文采用自编程序求解，在相同地震作用下，对比大刚度法在是否考虑行波效应的工况下，可能直接导致计算得到的多自由度框架体系的节点位移、速度和加速度出现差异。支座部分仍按上文所述，在三向地震作用下，取消三向约束，以大刚度（大刚度为原结构刚度的10的6次方倍）弹簧取代，框架长400m，所选的台站 Array #9 的 El-centro 波的剪切波速为213.44m/sec，时域积分步长为0.01sec，考虑行波效应的时差t为1.874sec，地震记录点位差为188个。
在输入如图2-10的地震波位移时程，在大刚度法模型中，考虑两种工况：工况一，未考虑行波效应，图中表示为case1，工况二，考虑行波效应，图中表示为case2，两者之间的差值表示为error，求解得到节点2，节点4的位移、速度、加速度的时程对比曲线，如图2-13～2-18所示。
3. 结论
从图中可以看出，大刚度法行波效应在多自由度框架体系的边部节点2处y、z方向的位移、速度、加速度响应呈现出一定的滞后效应，但是并不明显，但在x方向的变化差异较大，这表明行波效应对于大跨度结构的动力响应确实存在着不可忽视的影响。而在跨中节点4处，两种工况下，位移、速度、加速度相应位置的值变化差异都很大，但是，图形的走势基本相同，这表明行波效应对于大跨度结构跨中区域来说，相当于延长了结构某些相应的周期。
4. 参考文献
[1] Chen J T， Hong H-K， Yeh C S. Integral representations and regularizations foe a divergent series solution of a beam subjected to support motions[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics， 1996， 25（9）： 909-925.
[2] 董益亮， 郭钢， 徐宗俊. 道路激励作用下的汽车后桥动力响应分析[J]. 汽车工程， 2002， 24（4）： 339-343.
[3] 范立础. 桥梁抗震[M]. 上海： 同济大学出版社， 1997.
[4] Dibaj M， Penzien J. Response of earth dams to traveling seismic waves[J]. J. Soil Mech. & Found. Div， 1969.
[5] 雷虎军. 非一致地震激励下列车—轨道—桥梁耦合振动及行车安全性研究[D]. 四川： 西南交通大学博士学位论文， 2010.
基金项目：江苏省扬州大学研究生科研与实践创新计划项目（XSJCX17_024）
关键词：大刚度法；加速度法；行波效应
1. 大刚度法现状
现如今，大跨度桥梁结构在地震作用下的响应分析方法种类很多，主要包括确定性的和非确定性的两部分，其中在确定性和非确定性响应分析的基础上，又可以分为时程分析法和频域分析法及相应的简化方法，除此之外还有一些近似分析方法。采用不同的分析方法，其地震波输入方式也就不同。而时程分析法是一种重要的分析方法，它是通过直接动力分析可得到结构随时间的相应变化，能够真实地反应结构地震随时间相应变化的全过程。本章将着重研究斜拉桥一致激励和多点激励非线性地震反应时程分析。此外，大刚度法的求解精度和适用性问题也存在一些争议，例如 Chen J T ， Hong H-K 等[1]基于瑞利阻尼的 Bernoulli-Euler 梁遭受支座非一致扰动的动力学模型，给出了大刚度法与传统方法结果的对比，从它给出的结果可以看出，大刚度法与理论值存在一定的偏差。即便如此，董益亮等[2]仍通过大刚度法在结构分析中仍取得了一些研究成果。
2.运动方程建立
2.1 一致激励运动方程（加速度法）
在地震作用下，多自由度体系一般运动微分方程为[3]：
（2-1）
在一致激励作用下，桥梁结构各点输入同相位的同一加速度时程，可以用以下式子来表示：
（2-2）
采用式（2-2）求解时成为加速度法，即一致激励，在有限元软件ANSYS中，通过ACEL命令就可以实现加速度一致激励，可适用于线性分析和非线性分析。
2.2 多点激励运动方程（大刚度法）
在多点激励作用下，桥梁结构除了受到地震动引起的惯性力外，还包括各支撑相对位移在结构构件间产生的内力——拟静力。拟静力是一种随时间变化，却能使结构保持平衡的静内力。基于此，1969年 Dibaj 和 Penzien[4]在分析土坝地震反应时，将结构反应的总位移分解为拟静力位移和动力相对位移两部分，推导出了多点激励作用下结构的运动方程。其基本求解思路是：先用静力法求得结构拟静力位移，然后将拟静力位移回代入原方程以求出结构动力相对位移，最后求出结构的总位移[5]。
如图2-2所示，采用大刚度法求解结构的非一致地震响应时，首先需释放沿地震波输入方向的约束自由度，并在该自由度方向增设不动点（如图2-1中的1’和2’），不动点只与原支座节点发生联系，在各不动点与原支座节点之间增设联系刚度K（此刚度为大刚度，一般为全桥刚度的106左右为宜）。通过在原支撑节点1和2上沿地震波输入方向分别施加等效节点荷载 P1=Kx1和 P2=Kx2 来模拟地震地面运动，其结构非一致地震响应的运动方程可表达为：
（2-3）
将式（2-3）第二行展开得：
（2-4）
两边同时乘以 可得：
（2-5）
将阻尼矩阵通过Rayleigh阻尼模型替换，同时由于K0的值远大于其它项，则公式（2-5）可以简化为：
（2-6）
而本文采用大刚度法求解时，采用自编程序，忽略了支撑点处的大刚度项，消除采用大刚度法时Rayleigh阻尼模型所带来的附加阻尼，此时
Cbb=αMbb+βKbb （2-7）
由于K0的值远大于Mbb和Kbb，將式（2-7）带入式（2-6），此时可得：
xb （t）≈xg （t） （2-8）
因此可以看出，本文自编程序可确保输入地震动位移的精度。采用大刚度法求解时只需输入地震动位移时程，即可求出桥梁所需位置的响应。本文所涉及的大刚度法中，大刚度的取值为全桥刚度值扩大10的6次方倍。
大刚度法在考虑行波效应与否的情况下，对于桥梁结构来说，主要存在的差异表现在哪些方面，需要通过一系列求解数据来分析得到，本节将选用 El-centro 波作为地震波激励源，该地震波是世界上第一条成功记录全过程数据的地震波，最大加速度超过300Gal的强震记录，其加速度、速度以及位移时程如图2-8～2-10所示。为探讨大刚度法考虑行波效应与未考虑行波效应所存在的问题，建立多自由度框架模型如图2-12和2-13所示，每个节点质量为40kg，框架长400m，100m，刚度k=3×104N/m ，采用 Rayleigh 阻尼模型确定系统的阻尼矩阵，结构阻尼比为0.05。
本文采用自编程序求解，在相同地震作用下，对比大刚度法在是否考虑行波效应的工况下，可能直接导致计算得到的多自由度框架体系的节点位移、速度和加速度出现差异。支座部分仍按上文所述，在三向地震作用下，取消三向约束，以大刚度（大刚度为原结构刚度的10的6次方倍）弹簧取代，框架长400m，所选的台站 Array #9 的 El-centro 波的剪切波速为213.44m/sec，时域积分步长为0.01sec，考虑行波效应的时差t为1.874sec，地震记录点位差为188个。
在输入如图2-10的地震波位移时程，在大刚度法模型中，考虑两种工况：工况一，未考虑行波效应，图中表示为case1，工况二，考虑行波效应，图中表示为case2，两者之间的差值表示为error，求解得到节点2，节点4的位移、速度、加速度的时程对比曲线，如图2-13～2-18所示。
3. 结论
从图中可以看出，大刚度法行波效应在多自由度框架体系的边部节点2处y、z方向的位移、速度、加速度响应呈现出一定的滞后效应，但是并不明显，但在x方向的变化差异较大，这表明行波效应对于大跨度结构的动力响应确实存在着不可忽视的影响。而在跨中节点4处，两种工况下，位移、速度、加速度相应位置的值变化差异都很大，但是，图形的走势基本相同，这表明行波效应对于大跨度结构跨中区域来说，相当于延长了结构某些相应的周期。
4. 参考文献
[1] Chen J T， Hong H-K， Yeh C S. Integral representations and regularizations foe a divergent series solution of a beam subjected to support motions[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics， 1996， 25（9）： 909-925.
[2] 董益亮， 郭钢， 徐宗俊. 道路激励作用下的汽车后桥动力响应分析[J]. 汽车工程， 2002， 24（4）： 339-343.
[3] 范立础. 桥梁抗震[M]. 上海： 同济大学出版社， 1997.
[4] Dibaj M， Penzien J. Response of earth dams to traveling seismic waves[J]. J. Soil Mech. & Found. Div， 1969.
[5] 雷虎军. 非一致地震激励下列车—轨道—桥梁耦合振动及行车安全性研究[D]. 四川： 西南交通大学博士学位论文， 2010.
基金项目：江苏省扬州大学研究生科研与实践创新计划项目（XSJCX17_024）