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2008年高考数学重庆卷理科第4题主要考查了求函数值域的基本方法，从试题本身来看，难度不大，解决方法较多，对学生的思维水平和运算能力有一定的要求，是一道很好的高考题，通过对该问题的深入思考，笔者总结了几种方法，试题如下：
已知函数y=+的最大值为M，最小值为m，则的值为（ ）
A. B. C.D.
解法探析：
分析1：（换元法）由已知，该函数定义域为x∈[-3，1]，设u=，v=则必有u≥0，v≥0，且y=u+v，u2+v2=（1-x）+（x+3）=4，可知点（u，v）位于以原点为圆心，2为半径的圆在第一象限的圆弧上，则利用圆的参数式，可设u=2cosθ，v=2sinθ，且0≤θ≤，则y=2cosθ+2sinθ=2sin（θ+），又≤θ+≤，
∴≤sin（θ+）≤1，∴2≤y≤2，∴==
说明：此法中换元的关键为角范围的确定，由于理解了换元的实质，明确了其角的范围，从而使得解题没了后顾之忧。其实，明确了这一换元的实质后，也可以直接对x换元，既可令x=1-4sin2θ，也可以令x=-3+4sin2θ （0≤θ≤ ），都可以成功解题。
分析2：（数形结合法）设u=，v=，则有u+v=4（u≥0，v≥0），问题转化为求y=u+v的最值，关键在于对变量的认识，可看作关于u和v 的二元方程中参数y的取值范围的问题，而由v=-u+y知y表示对应直线的纵截距，由图易知M=y=2，m=y=2，∴==
说明：该方法中，对于变量的理解类似线性规划中，对于目标函数中的理解，提示我们在教学中应该打破思维定势，理解变量所表示的实际意义，不应该注重表示变量的字母本身，即要注重数学问题的本原性。新课程标准中指出：“在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。”因此，在平时教学中，要把“重实质，轻形式”落到实处，不仅要注意“淡化形式，注重实质”，更要注意在什么地方该淡化，什么地方不该淡化。
分析3：（向量法）设=（1，1），=（,），则y=·，此时，可以利用数量积的定义·=cos<,>解题，此时，仍需讨论与夹角的取值范围，若分别取，的起点为坐标原点，由分析1知，的终点落在第一象限的圆弧上，而的终点在第一象限的角平分线上，
所以0≤＜,＞≤，则≤cos＜,＞≤1，
又= ， ==2
∴2≤·≤2，即2≤y≤2，∴==
说明：向量是一个非常重要的数学工具，在高考中常常与其他知识综合命题。该方法中通过合理的构造，正确使用了数量积的定义，使得解题变得轻松。更重要的是，对学生的思维训练有着很大的帮助。
分析4：（均值不等式法）同分析1，知m=ymin=2
由≤=，得y=+≤2，∴M=ymax=2∴==
说明：该方法通过发现（1-x）+（x+3）=4，得到了定值，联系到利用均值不等式求最值的特点：“构造定值”，对比题目后发现关键是去掉根号，而利用任意两个正数的平方平均数不小于它们的算术平均数，恰好可以做到这一点。所以，让学生记住一些“明星公式”，解题时，立刻想到所解决的问题与明星公式之间的相似点，再加以对照并巧妙的变化后，就可以轻松的解决了。
综观上述四种分析，有一个相似特点：“构造定值”，下面再做其他的考虑。
分析5：（平方法）由已知，y≥0，-3≤y≤1，则y2=4+2，易得当x=-1时，M=ymax=2；x=-3或1时，m=ymin=2，
∴==
说明：该方法通过平方，转化为一元二次函数在闭区间上的最值问题，属于通性通法的解法，在平时教学中应该多强调应用。
分析6：（导数法）由已知，y'=（+）'=（+）
令y'=0，得x=-1，列表如下：
∴M=ymax=2，m=ymin=2， ∴==
说明：近几年的高考中，导数的工具性得到了充分的体现，运用导数求最值也是考试中的重点，在平时教学中，应注重导数的基本应用的掌握，在此基础上拓宽、深化导数的综合应用，提高学生综合解题能力。本题中该方法只适用于理科学生。
思考认识：
求函数值域是高中数学重要内容之一，历来是高考热点，这类问题的出现率很高，应用很广。面对已知条件如何转化？如何进行等于不等关系的综合？如何用数学方法指导解题？最经典、最常用的解题方法有哪些？这些都需要在平时的学习过程中注意解题方法与技巧的总结和探索以提高高考应变能力。求函数的值域常用方法有配方法、判别式法、不等式法、换元法、反函数法、利用函数的单调性和有界性法、数形结合法、导数法等。求函数的值域时，一定要先考虑函数的定义域，而且在利用配方法、判别式法及均值不等式法求值域时，一定要注意等号是否成立，必要时要注明“=”号成立的条件。
从近几年的高考题来看，对考生的思维能力及数学思想方法的恰当运用的要求较高，这就要求教师在平时数学教学的知识发生、发展的过程中注重学生思维能力的培养。由于数学教学是数学活动过程的教学，突出过程，就是强调知识体系的形成过程，强调数学思维与方法的形成过程。所以，课堂教学要引导学生深层次地参与教学过程，让学生在观察、试验的活动中，通过比较、分析、归纳、类比、抽象等思维过程，使学生既加深对知识的理解，又学习到创造的策略和方法，从而激起学生的求知欲望和创新的热情，提高学生的思维层次和分析问题、解决问题的能力。同时，在复习过程中，教师可以根据学生的实际水平，依据《考试大纲》，精选近几年的高考真题作为典型例题，进行知识、思想方法及能力考查的剖析，消除学生对高考试题的恐惧感、神秘感，树立自信心，真正使学生对所学知识做到了解、理解、灵活掌握和综合应用，在高考中取得好成绩。
（甘肃省财政学校）
已知函数y=+的最大值为M，最小值为m，则的值为（ ）
A. B. C.D.
解法探析：
分析1：（换元法）由已知，该函数定义域为x∈[-3，1]，设u=，v=则必有u≥0，v≥0，且y=u+v，u2+v2=（1-x）+（x+3）=4，可知点（u，v）位于以原点为圆心，2为半径的圆在第一象限的圆弧上，则利用圆的参数式，可设u=2cosθ，v=2sinθ，且0≤θ≤，则y=2cosθ+2sinθ=2sin（θ+），又≤θ+≤，
∴≤sin（θ+）≤1，∴2≤y≤2，∴==
说明：此法中换元的关键为角范围的确定，由于理解了换元的实质，明确了其角的范围，从而使得解题没了后顾之忧。其实，明确了这一换元的实质后，也可以直接对x换元，既可令x=1-4sin2θ，也可以令x=-3+4sin2θ （0≤θ≤ ），都可以成功解题。
分析2：（数形结合法）设u=，v=，则有u+v=4（u≥0，v≥0），问题转化为求y=u+v的最值，关键在于对变量的认识，可看作关于u和v 的二元方程中参数y的取值范围的问题，而由v=-u+y知y表示对应直线的纵截距，由图易知M=y=2，m=y=2，∴==
说明：该方法中，对于变量的理解类似线性规划中，对于目标函数中的理解，提示我们在教学中应该打破思维定势，理解变量所表示的实际意义，不应该注重表示变量的字母本身，即要注重数学问题的本原性。新课程标准中指出：“在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。”因此，在平时教学中，要把“重实质，轻形式”落到实处，不仅要注意“淡化形式，注重实质”，更要注意在什么地方该淡化，什么地方不该淡化。
分析3：（向量法）设=（1，1），=（,），则y=·，此时，可以利用数量积的定义·=cos<,>解题，此时，仍需讨论与夹角的取值范围，若分别取，的起点为坐标原点，由分析1知，的终点落在第一象限的圆弧上，而的终点在第一象限的角平分线上，
所以0≤＜,＞≤，则≤cos＜,＞≤1，
又= ， ==2
∴2≤·≤2，即2≤y≤2，∴==
说明：向量是一个非常重要的数学工具，在高考中常常与其他知识综合命题。该方法中通过合理的构造，正确使用了数量积的定义，使得解题变得轻松。更重要的是，对学生的思维训练有着很大的帮助。
分析4：（均值不等式法）同分析1，知m=ymin=2
由≤=，得y=+≤2，∴M=ymax=2∴==
说明：该方法通过发现（1-x）+（x+3）=4，得到了定值，联系到利用均值不等式求最值的特点：“构造定值”，对比题目后发现关键是去掉根号，而利用任意两个正数的平方平均数不小于它们的算术平均数，恰好可以做到这一点。所以，让学生记住一些“明星公式”，解题时，立刻想到所解决的问题与明星公式之间的相似点，再加以对照并巧妙的变化后，就可以轻松的解决了。
综观上述四种分析，有一个相似特点：“构造定值”，下面再做其他的考虑。
分析5：（平方法）由已知，y≥0，-3≤y≤1，则y2=4+2，易得当x=-1时，M=ymax=2；x=-3或1时，m=ymin=2，
∴==
说明：该方法通过平方，转化为一元二次函数在闭区间上的最值问题，属于通性通法的解法，在平时教学中应该多强调应用。
分析6：（导数法）由已知，y'=（+）'=（+）
令y'=0，得x=-1，列表如下：
∴M=ymax=2，m=ymin=2， ∴==
说明：近几年的高考中，导数的工具性得到了充分的体现，运用导数求最值也是考试中的重点，在平时教学中，应注重导数的基本应用的掌握，在此基础上拓宽、深化导数的综合应用，提高学生综合解题能力。本题中该方法只适用于理科学生。
思考认识：
求函数值域是高中数学重要内容之一，历来是高考热点，这类问题的出现率很高，应用很广。面对已知条件如何转化？如何进行等于不等关系的综合？如何用数学方法指导解题？最经典、最常用的解题方法有哪些？这些都需要在平时的学习过程中注意解题方法与技巧的总结和探索以提高高考应变能力。求函数的值域常用方法有配方法、判别式法、不等式法、换元法、反函数法、利用函数的单调性和有界性法、数形结合法、导数法等。求函数的值域时，一定要先考虑函数的定义域，而且在利用配方法、判别式法及均值不等式法求值域时，一定要注意等号是否成立，必要时要注明“=”号成立的条件。
从近几年的高考题来看，对考生的思维能力及数学思想方法的恰当运用的要求较高，这就要求教师在平时数学教学的知识发生、发展的过程中注重学生思维能力的培养。由于数学教学是数学活动过程的教学，突出过程，就是强调知识体系的形成过程，强调数学思维与方法的形成过程。所以，课堂教学要引导学生深层次地参与教学过程，让学生在观察、试验的活动中，通过比较、分析、归纳、类比、抽象等思维过程，使学生既加深对知识的理解，又学习到创造的策略和方法，从而激起学生的求知欲望和创新的热情，提高学生的思维层次和分析问题、解决问题的能力。同时，在复习过程中，教师可以根据学生的实际水平，依据《考试大纲》，精选近几年的高考真题作为典型例题，进行知识、思想方法及能力考查的剖析，消除学生对高考试题的恐惧感、神秘感，树立自信心，真正使学生对所学知识做到了解、理解、灵活掌握和综合应用，在高考中取得好成绩。
（甘肃省财政学校）