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[摘 要]3-PRS并联机器人作为一个新兴的发展方向，在社会生活的各个领域都有着广泛的应用价值和潜力。并联机构具有刚度大，结构稳定，承载力强，没有误差，精度高，运动惯性小，运动反解的解求解较容易，易于实现实时运动控制等优点，在医疗器械、机床等领域有很多应用。本文基于空间机构学理论，对3-RPS并联机构进行了相关的位姿分析。在对机构结构分析的基础上，对机构的输出位姿参数进行了解耦分析，得到了机构输出参数间的解耦关系式；
[关键词]3-RPS并联机器人；位姿分析；解耦分析
中图分类号：R744.7 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2015）26-0208-02
引言
目前，国内外对并联机器人机构位置正解主要有解析法和数值法，它们各有自己的优缺点：数值法数学模型相对简单，能够适用于大多数的并联机构，但它不能求出全部位置的解，国内外学者对此作了大量的研究。国内对位置正解解析法的研究主要是北京邮电大学机械学研究所进行的，至今，他们分别获得了3-TPS、3-6SPS、5-4型、6-4型、5-5型、6-5型机构的位置正解，并验证了机构解的数目。
1、机构描述
3-RPS并联机构由动平台、固定基座以及三条拓扑结构完全相同的支链组成。对于每一条支链而言，是由定长连杆在一端通过球面副与动平台相连，在另一端通过转动副与滑块相连，该滑块可以沿着固定于基座的滑道上下移动。机构中各构件的布置采用对称方式，三条滑道垂直于固定基座并互成120°分布，转动副的转动轴线与滑道沿线及点O到转动副中心连线垂直，球面副亦互成120°均匀分布在动平台上。从而动平台和固定基座可以分别简化为等边三角形，并且当三个滑块处于高度时，其中心连线也为等边三角形。
2、3-RPS并联机构位姿分析
3-RPS并联机构是3自由度的空间机构，其动平台可以实现一平两转混合运动，针对该机构的结构特点及动平台的位姿给出详细描述，然后构造出其运动学模型，并得到以下结论：
动平台绕x、y轴的转动将产生连带的绕Z轴的.车专动以及动平台中心点P沿X和y轴的平移，这种运动是被动产生的。连带运动X、Y及y随岔、多的变化呈面对称分布，各滑块保持同一高度且同步移动时不产生连带运动。
3-RPS并联机构的位姿参数： （1）
①坐标系：
定坐标系：与地面故连的坐标系称为定坐标系。
动坐标系：与运动物体故连，并随其一起运动的坐标系称为动坐标系。
如图1所示：下平面为定坐标系，上平面为动坐标系，初始位置时，上下平面平行，x，y轴在动平面内，z轴随平面动而变动，为了确定动平台在运动中对定平台的坐标，根据3-RPS并联机构的运动特点，特采用欧拉角来描述。
②欧拉角
从动坐标系与定坐标系重合的位置，进行了3次有序的转动。首先是xoy绕z轴转动α角，再是xoz绕y轴转动β角，最后是xoy绕z轴转动γ角。
对于在三维空间里的一个参考系，任何坐标系的取向，都可以用三个欧拉角来表现。参考系又称为实验室参考系，是静止不动的。而坐标系则固定于刚体，随着刚体的旋转而旋转。设定xyz-轴为参考系的参考轴。称xy-平面与XY-平面的相交为交点线，用英文字母（N）代表。zxz顺规的欧拉角可以静态地这样定义：
α是x-轴与交点线的夹角，β是z-轴与Z-轴的夹角，γ是交点线与X-轴的夹角。
③旋转矩阵：
在二维平面内任何一个点Q在空间的位置可以用Q（x，y）表示，如图3，当Q点在平面内移动任意位置到，我们可以找到两个点之间的位置关系。
cos（）=coscos-sinsin
由以上联立可以得到
（2）
（3）
把式子中的连个式子关系用矩阵的方式表示出来则写成
（4）
要是把4式延伸到空间三维坐标中，由于3-TRT/SPS混合型空间并联平台机构动系在运动过程中只绕Z轴旋转，所以直接在矩阵中加入一个单位矩阵即可以得到
（5）
所以，在机构反解过程中动坐标系到定坐标系的旋转矩阵可以表示为T
（6）
由欧拉角的旋转顺序，可以得到3个有序的旋转矩阵。
设在空间坐标系xyz有一点，经旋转后得到点
，第一次绕z轴旋转得旋转矩阵，绕Y轴旋转得旋转矩阵，第二次绕z轴旋转得旋转矩阵。
（7）
（8）
（9）
旋转矩阵T：
（10）
（11）
3、3-RPS并联机构位姿解耦
由旋转矩阵的变换过程可得到球铰对定系的坐标为：
（i=1，2，3） （12）
这样ai的坐标就是关于位置参数，，，，，的函数，而这六个位姿参数中只有三个是独立的。根据前面的分析，选择，，三个参数作为独立的输出位姿参数，其他三个参数可用这三个参数表示。有前面分析可知，3-RPS并联平台机构的动平台不能绕起动系的轴旋转，故式（12）中的，依此可推出 （13）
又由并联机构结构图可知，当3-RPS并联机构基面内转动副的轴线对中心点O呈切向分布时，机构3个分支转动副的这种位置布置限制了动平台3个球铰的运动。三点必须在y=0，，3个垂直平面内运动（图4）。
根据以上条件，由可推导出以下两个约束方程：
（14）
（15）
这样的坐标就可表示仅含，，三个参数的函数。
4、结束语
本章对3-RPS并联平台机构的运动性质、独立运动参数、位姿正反解进行了详细分析。应用欧拉角描述了机构运动平台的位姿，推导出旋转矩阵及位姿的正解与反解公式，根据机构的Jacobian矩阵对机构的正解进行分析。
参考文献
[1] 付延贵，许瑛，杨光，3自由度并联机构的位姿分析，南昌航，2005.
[2] 李树军，王阴，王晓光，3-RPS并联机器人机构位置正解的杆长逼近法东北大学学报2001.
[3] 黄真，孔令富，方跃法，并联机器人机构学理论及控制.机械工业出版社，1997.
[关键词]3-RPS并联机器人；位姿分析；解耦分析
中图分类号：R744.7 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2015）26-0208-02
引言
目前，国内外对并联机器人机构位置正解主要有解析法和数值法，它们各有自己的优缺点：数值法数学模型相对简单，能够适用于大多数的并联机构，但它不能求出全部位置的解，国内外学者对此作了大量的研究。国内对位置正解解析法的研究主要是北京邮电大学机械学研究所进行的，至今，他们分别获得了3-TPS、3-6SPS、5-4型、6-4型、5-5型、6-5型机构的位置正解，并验证了机构解的数目。
1、机构描述
3-RPS并联机构由动平台、固定基座以及三条拓扑结构完全相同的支链组成。对于每一条支链而言，是由定长连杆在一端通过球面副与动平台相连，在另一端通过转动副与滑块相连，该滑块可以沿着固定于基座的滑道上下移动。机构中各构件的布置采用对称方式，三条滑道垂直于固定基座并互成120°分布，转动副的转动轴线与滑道沿线及点O到转动副中心连线垂直，球面副亦互成120°均匀分布在动平台上。从而动平台和固定基座可以分别简化为等边三角形，并且当三个滑块处于高度时，其中心连线也为等边三角形。
2、3-RPS并联机构位姿分析
3-RPS并联机构是3自由度的空间机构，其动平台可以实现一平两转混合运动，针对该机构的结构特点及动平台的位姿给出详细描述，然后构造出其运动学模型，并得到以下结论：
动平台绕x、y轴的转动将产生连带的绕Z轴的.车专动以及动平台中心点P沿X和y轴的平移，这种运动是被动产生的。连带运动X、Y及y随岔、多的变化呈面对称分布，各滑块保持同一高度且同步移动时不产生连带运动。
3-RPS并联机构的位姿参数： （1）
①坐标系：
定坐标系：与地面故连的坐标系称为定坐标系。
动坐标系：与运动物体故连，并随其一起运动的坐标系称为动坐标系。
如图1所示：下平面为定坐标系，上平面为动坐标系，初始位置时，上下平面平行，x，y轴在动平面内，z轴随平面动而变动，为了确定动平台在运动中对定平台的坐标，根据3-RPS并联机构的运动特点，特采用欧拉角来描述。
②欧拉角
从动坐标系与定坐标系重合的位置，进行了3次有序的转动。首先是xoy绕z轴转动α角，再是xoz绕y轴转动β角，最后是xoy绕z轴转动γ角。
对于在三维空间里的一个参考系，任何坐标系的取向，都可以用三个欧拉角来表现。参考系又称为实验室参考系，是静止不动的。而坐标系则固定于刚体，随着刚体的旋转而旋转。设定xyz-轴为参考系的参考轴。称xy-平面与XY-平面的相交为交点线，用英文字母（N）代表。zxz顺规的欧拉角可以静态地这样定义：
α是x-轴与交点线的夹角，β是z-轴与Z-轴的夹角，γ是交点线与X-轴的夹角。
③旋转矩阵：
在二维平面内任何一个点Q在空间的位置可以用Q（x，y）表示，如图3，当Q点在平面内移动任意位置到，我们可以找到两个点之间的位置关系。
cos（）=coscos-sinsin
由以上联立可以得到
（2）
（3）
把式子中的连个式子关系用矩阵的方式表示出来则写成
（4）
要是把4式延伸到空间三维坐标中，由于3-TRT/SPS混合型空间并联平台机构动系在运动过程中只绕Z轴旋转，所以直接在矩阵中加入一个单位矩阵即可以得到
（5）
所以，在机构反解过程中动坐标系到定坐标系的旋转矩阵可以表示为T
（6）
由欧拉角的旋转顺序，可以得到3个有序的旋转矩阵。
设在空间坐标系xyz有一点，经旋转后得到点
，第一次绕z轴旋转得旋转矩阵，绕Y轴旋转得旋转矩阵，第二次绕z轴旋转得旋转矩阵。
（7）
（8）
（9）
旋转矩阵T：
（10）
（11）
3、3-RPS并联机构位姿解耦
由旋转矩阵的变换过程可得到球铰对定系的坐标为：
（i=1，2，3） （12）
这样ai的坐标就是关于位置参数，，，，，的函数，而这六个位姿参数中只有三个是独立的。根据前面的分析，选择，，三个参数作为独立的输出位姿参数，其他三个参数可用这三个参数表示。有前面分析可知，3-RPS并联平台机构的动平台不能绕起动系的轴旋转，故式（12）中的，依此可推出 （13）
又由并联机构结构图可知，当3-RPS并联机构基面内转动副的轴线对中心点O呈切向分布时，机构3个分支转动副的这种位置布置限制了动平台3个球铰的运动。三点必须在y=0，，3个垂直平面内运动（图4）。
根据以上条件，由可推导出以下两个约束方程：
（14）
（15）
这样的坐标就可表示仅含，，三个参数的函数。
4、结束语
本章对3-RPS并联平台机构的运动性质、独立运动参数、位姿正反解进行了详细分析。应用欧拉角描述了机构运动平台的位姿，推导出旋转矩阵及位姿的正解与反解公式，根据机构的Jacobian矩阵对机构的正解进行分析。
参考文献
[1] 付延贵，许瑛，杨光，3自由度并联机构的位姿分析，南昌航，2005.
[2] 李树军，王阴，王晓光，3-RPS并联机器人机构位置正解的杆长逼近法东北大学学报2001.
[3] 黄真，孔令富，方跃法，并联机器人机构学理论及控制.机械工业出版社，1997.