论文部分内容阅读
摘要：将准Green函数方法应用于求解夹支任意形状底扁球壳的自由振动问题。即利用问题的基本解和边界方程构造一个准Green函数，这个函数满足了问题的齐次边界条件。采用Green公式将夹支任意形状底扁球壳自由振动问题的振型控制微分方程化为第二类Fredholm积分方程。通过边界方程的适当选择，克服了积分方程核的奇异性。最后通过离散化方程求得数值结果。数值算例表明：该方法具有较高的精度、计算量小、收敛速度快，是一种新型有效的数学方法。
关键词：夹支扁球壳;自由振动;Green函数;积分方程;R函数
中图分类号：O241.8文献标志码：A文章编号：10044523（2015）06086506
DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2015.06.002
引言扁球壳的最大矢高和底面直径之比一般应小于1/5。扁球壳在土木、水利、机械、船舶、航空航天等工程中都有着广泛的应用。扁球壳作为工程结构的主要部件，在进一步的设计与研究中需考虑其动力问题，而自由振动作为扁球壳动力问题的基础应首先予以分析。扁球壳的自由振动问题，最重要的是求固有频率，尤其是最低阶固有频率。力学工作者对小挠度扁球壳振动问题已经做了大量的研究工作，并取得了许多研究成果。本文应用准Green函数方法分析夹支任意形状底扁球壳的自由振动问题。Green函数方法广泛用来解决各种边值问题，然而，对于二维或高维问题，建立Green函数是极其复杂的，只有在极其简单的区域上（如圆、球），可以找到Green函数，困难在于虽然易于找到满足基本方程的函数（基本解），却难以满足问题的齐次边界条件。如果以基本解代替Green函数，将得到边界积分方程，它一般是一个在边界上具有奇异性的积分方程。针对边界积分方程存在的问题，准Green函数方法采用了另一条途径推导积分方程。应用准Green函数、边界方程及Green公式可将双调和算子方程化为积分方程。用有限元法或有限差分法求解板壳问题时，需对整个研究区域划分单元网格，前处理工作量大，数据准备麻烦，花费大量机时。边界元法则克服了区域型数值方法的缺点，只在边界上划分单元，通过基本解把域内未知量化为边界未知量来求解，使自由度数目大大减少，但这种方法却存在大量奇异积分，而且在边界及其附近区域上解的精度较低。
本文应用Rvachev[1]提出的R函数理论和准Green函数方法，分析了夹支任意形状底扁球壳的自由振动问题。利用问题的基本解构造一个准Green函数。这个函数满足了问题的齐次边界条件，但没能满足基本微分方程，而建立准Green函数的关键在于将问题的边界用规范化方程ω=0表示出来，问题的区域由不等式ω>0表示出来。ω将存在多种选择，经过适当的数学处理，积分方程核的奇异性可以被克服。R函数理论保证了对于任何复杂的区域，总可以找到函数ω，从而可将原问题化为无奇异性的第二类Fredholm积分方程。使用这一方法，袁鸿等已成功求解了简支及固支各向同性薄板、简支扁球壳自由振动及弯曲问题[27]。准Green函数方法是一种新颖的数学思想，是一种值得研究的新数值方法。与有限元法或有限差分法相比，准Green函数方法在解决的板壳问题方面，对整个研究区域划分单元网格很少，前处理工作量相对小很多，收敛速度快，计算量小，可求得很高精度的结果。本文将准Green函数方法应用于求解夹支任意形状底扁球壳的振动问题。通过夹支矩形底、梯形底扁球壳的数值结果证明了本文方法的有效性和可行性。
1基本方程3积分方程的离散
夹支扁球壳自由振动问题的等效积分方程（19）进行离散化。将积分域Ω划分为若干子域Ωi（i=1，2，…，N），在各子域中分别应用中矩形公式进行数值求积。则积分方程（19）可化为齐次线性代数方程组（26）式中N为划分的子域数，Wxi是W在xi处的未知虚拟值。
BN×N=（bij）N×N，
当i≠j时，bij=Kxi，ξjAj，
当i=j时，bij=Kxi，ξjAj-1，
（i=1，2，…，N;j=1，2，…，N），
Aj表示第j个子域的面积。
齐次线性方程组（26）有非平凡解的条件是其系数行列式等于零，即
BN×N=0（27）
求解式（27），可以得到前N阶固有频率，或f=/（2π）。将求得的各阶固有频率代入线性方程（26）中，还可以求出各子域上挠度的比值，即各阶振动的模态。
4数值算例
例1图1所示夹支扁球壳，当a=b=d=e=0.75，c=2时为矩形底扁球壳，扁球壳半径R=3，最大矢高fmax=0.273，取壳厚度h=0.1，泊松比ν=0.3，弹性模量取E=3×109，单位面积内的质量取=780。根据R函数理论[8]，只要取
ω0=ω1+ω2-ω21+ω22其中ω1=（c-x1）x1c，ω2=a2-x222a。则ω0=0是矩形底边界的一阶规范化方程，ω1=0，ω2=0分别表示夹支矩形底扁球壳的各个边。本文方法只用11×11矩形子域划分形式如图2所示，研究了半径R取不同值时的夹支矩形底扁球壳的固有频率计算结果列于表1中，其计算结果就与ANSYS有限元法（FEM）采用200×200矩形网格划分时的计算结果吻合得很好。例2图1所示夹支梯形底扁球壳，a=e=1.2，b=d=1.0，c=1.1，扁球壳半径R=3，最大矢高fmax=0.273，取壳厚度h=0.1，泊松比ν=0.3，弹性模量取E=3×109，单位面积内的质量取=780。根据R函数理论[8]，只要取则ω0=0是梯形底边界的一阶规范化方程，ω1=0，ω2=0，ω3=0分别表示夹支梯形底扁球壳的各个边。研究了半径R取不同值时的夹支梯形底扁球壳的固有频率，计算结果列于表2中，并与ANSYS有限元法的计算结果进行了对比。采用图3的梯形子域划分形式，本文方法只用11×11子域的结果就与ANSYS有限元法用200×200梯形网格的结果吻合得相当好。从表1，2的比较结果可知，准Green函数方法采用子域数远少于ANSYS有限元法，理论计算量小了很多，收敛速度快，精度比较好，这正是本文方法的优越性和正确性。
关键词：夹支扁球壳;自由振动;Green函数;积分方程;R函数
中图分类号：O241.8文献标志码：A文章编号：10044523（2015）06086506
DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2015.06.002
引言扁球壳的最大矢高和底面直径之比一般应小于1/5。扁球壳在土木、水利、机械、船舶、航空航天等工程中都有着广泛的应用。扁球壳作为工程结构的主要部件，在进一步的设计与研究中需考虑其动力问题，而自由振动作为扁球壳动力问题的基础应首先予以分析。扁球壳的自由振动问题，最重要的是求固有频率，尤其是最低阶固有频率。力学工作者对小挠度扁球壳振动问题已经做了大量的研究工作，并取得了许多研究成果。本文应用准Green函数方法分析夹支任意形状底扁球壳的自由振动问题。Green函数方法广泛用来解决各种边值问题，然而，对于二维或高维问题，建立Green函数是极其复杂的，只有在极其简单的区域上（如圆、球），可以找到Green函数，困难在于虽然易于找到满足基本方程的函数（基本解），却难以满足问题的齐次边界条件。如果以基本解代替Green函数，将得到边界积分方程，它一般是一个在边界上具有奇异性的积分方程。针对边界积分方程存在的问题，准Green函数方法采用了另一条途径推导积分方程。应用准Green函数、边界方程及Green公式可将双调和算子方程化为积分方程。用有限元法或有限差分法求解板壳问题时，需对整个研究区域划分单元网格，前处理工作量大，数据准备麻烦，花费大量机时。边界元法则克服了区域型数值方法的缺点，只在边界上划分单元，通过基本解把域内未知量化为边界未知量来求解，使自由度数目大大减少，但这种方法却存在大量奇异积分，而且在边界及其附近区域上解的精度较低。
本文应用Rvachev[1]提出的R函数理论和准Green函数方法，分析了夹支任意形状底扁球壳的自由振动问题。利用问题的基本解构造一个准Green函数。这个函数满足了问题的齐次边界条件，但没能满足基本微分方程，而建立准Green函数的关键在于将问题的边界用规范化方程ω=0表示出来，问题的区域由不等式ω>0表示出来。ω将存在多种选择，经过适当的数学处理，积分方程核的奇异性可以被克服。R函数理论保证了对于任何复杂的区域，总可以找到函数ω，从而可将原问题化为无奇异性的第二类Fredholm积分方程。使用这一方法，袁鸿等已成功求解了简支及固支各向同性薄板、简支扁球壳自由振动及弯曲问题[27]。准Green函数方法是一种新颖的数学思想，是一种值得研究的新数值方法。与有限元法或有限差分法相比，准Green函数方法在解决的板壳问题方面，对整个研究区域划分单元网格很少，前处理工作量相对小很多，收敛速度快，计算量小，可求得很高精度的结果。本文将准Green函数方法应用于求解夹支任意形状底扁球壳的振动问题。通过夹支矩形底、梯形底扁球壳的数值结果证明了本文方法的有效性和可行性。
1基本方程3积分方程的离散
夹支扁球壳自由振动问题的等效积分方程（19）进行离散化。将积分域Ω划分为若干子域Ωi（i=1，2，…，N），在各子域中分别应用中矩形公式进行数值求积。则积分方程（19）可化为齐次线性代数方程组（26）式中N为划分的子域数，Wxi是W在xi处的未知虚拟值。
BN×N=（bij）N×N，
当i≠j时，bij=Kxi，ξjAj，
当i=j时，bij=Kxi，ξjAj-1，
（i=1，2，…，N;j=1，2，…，N），
Aj表示第j个子域的面积。
齐次线性方程组（26）有非平凡解的条件是其系数行列式等于零，即
BN×N=0（27）
求解式（27），可以得到前N阶固有频率，或f=/（2π）。将求得的各阶固有频率代入线性方程（26）中，还可以求出各子域上挠度的比值，即各阶振动的模态。
4数值算例
例1图1所示夹支扁球壳，当a=b=d=e=0.75，c=2时为矩形底扁球壳，扁球壳半径R=3，最大矢高fmax=0.273，取壳厚度h=0.1，泊松比ν=0.3，弹性模量取E=3×109，单位面积内的质量取=780。根据R函数理论[8]，只要取
ω0=ω1+ω2-ω21+ω22其中ω1=（c-x1）x1c，ω2=a2-x222a。则ω0=0是矩形底边界的一阶规范化方程，ω1=0，ω2=0分别表示夹支矩形底扁球壳的各个边。本文方法只用11×11矩形子域划分形式如图2所示，研究了半径R取不同值时的夹支矩形底扁球壳的固有频率计算结果列于表1中，其计算结果就与ANSYS有限元法（FEM）采用200×200矩形网格划分时的计算结果吻合得很好。例2图1所示夹支梯形底扁球壳，a=e=1.2，b=d=1.0，c=1.1，扁球壳半径R=3，最大矢高fmax=0.273，取壳厚度h=0.1，泊松比ν=0.3，弹性模量取E=3×109，单位面积内的质量取=780。根据R函数理论[8]，只要取则ω0=0是梯形底边界的一阶规范化方程，ω1=0，ω2=0，ω3=0分别表示夹支梯形底扁球壳的各个边。研究了半径R取不同值时的夹支梯形底扁球壳的固有频率，计算结果列于表2中，并与ANSYS有限元法的计算结果进行了对比。采用图3的梯形子域划分形式，本文方法只用11×11子域的结果就与ANSYS有限元法用200×200梯形网格的结果吻合得相当好。从表1，2的比较结果可知，准Green函数方法采用子域数远少于ANSYS有限元法，理论计算量小了很多，收敛速度快，精度比较好，这正是本文方法的优越性和正确性。