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摘 要: 在建筑声学设计过程中，吸声材料面密度是衡量其用料经济程度的直接指标，当吸声系数确定时，吸声板面密度越小，说明越节约材料。那么面密度与吸声系数是否具有相关性，本文采用岩棉吸声板厚度、密度与其吸声系数的实验数据，将厚度和密度二因子整合转化成面密度单因子后，通过线性相关及回归方法对二者关系进行统计分析，建立起吸声量与材料用量的关系。
关键词：岩棉吸声板；面密度；吸声系数；回归分析
由于影响岩棉吸声板吸声系数的因素很多，但作为吸声材料本身，主要影响因素是厚度和密度这两个容易控制的参数。在其它参数不变的情况下，吸声系数是关于厚度和密度的二元函数，但是厚度和密度这两个参数不能直观地反应吸声材料用料的经济性，因此，本文尝试将岩棉吸声板厚度和密度两个因子相乘得到面密度这一直观的单因子，从而建立一个面密度与吸声系数的二维关系，这一关系具有实用意义。
将两个因子合并成一个因子会存在一个问题：即面密度一定，不同的厚度和密度组合也有可能导致其吸声系数不同。即使密度和厚度两个参数唯一确定，材料的纤维、筋络、颗粒大小等与密度相关的不同组合也可能会导致吸声系数的不同，况且吸声系数又对应一个频谱的曲线分布，因此严格地说面密度这一参数并不与吸声系数相对应。但是在实用范围内，密度比厚度引起的吸声系数变化要小，从实用的前提出发，本文不考虑面密度参数中诸多隐含参数的影响，并在频率为500Hz条件下进行分析。
1数据资料与处理
1.1数据资料
本资料是岩棉吸声板厚度、密度与吸声系数的关系，如表1.1
表1.1岩棉吸声板吸声系数
材料情况
厚度d(cm) 密度 (kg/ )
吸声系数
1.2数据处理
由前所述，在不考虑面密度隐含参数的影响下，将岩棉吸声板厚度d乘以密度 得到面密度q，即有：
q=d×(1-1)
于是得到如下两个参数的关系表，如表1.2
表1.2岩棉吸声板面密度与吸声系数
面密度q(kg/m2) 吸声系数
由以上数据看出，吸声系数是关于面密度和频率的二元函数，是一个空间曲面。那么，面密度对不同频率吸声系数的影响是否一样呢？下面将面密度作为自变量，各频率的吸声系数作为因变量，得出它们的分布关系，以此来探讨面密度对不同频率吸声特性的关系。
面密度的改变对高频声的影响很小，对中低频影响比较明显。那么面密度对中低频吸声系数的影响是什么样的关系呢？本文只抽取表2中影响比较明显的500Hz时的数据，最终得到一个只有两个参数组的数据表，如表1.3，从而简化了分析程序。
表1.3岩棉吸声板面密度与500Hz时的吸声系数
2线性相关性与回归分析
2.1线性相关系数求解
可以假定数据(x,y)样本服从二元正态分布，以此来分析(x,y)两个变量的线性相关性。根据表3数据计算得到各个统计量，其中x为面密度，y为吸声系数，得出如下表2.1
表2.1各统计量数据表
由上表可以计算出以下统计量
∑x=89.35∑y=8.18∑ =825.923∑ =6.045∑xy=66.347
由皮尔森积矩相关系数γ公式
其中
n为样本数
将以上数据代入，可得
代入得相关系数
由以上计算相关系数γ=0.626,显然岩棉吸声板面密度与500Hz时的吸声系数有明显正相关关系。
2.2相关系数检验
在显著性水平a=0.05，n=12时，经查表得γ的临界值为0.57，而γ=0.626， 此时(x,y)两变量存在线性关系。在显著性水平a=0.01，n=12时，查表得γ的临界值为0.71， 此时(x,y)两变量不存在显著线性关系。
显然在显著性水平a=0.05时可进行线性回归分析。在显著性水平a=0.01时两变量不存在显著线性关系，此时根据散点分布特征进行三次回归来分析两者关系。
2.3线性回归方程
令线性回归方程为
y=a+bx
经计算
所以，线性回归方程为
y=0.43+0.034x
由上面回归方程直线和散点分布可以看出，点分布比较离散，离散程度用残差平方和se与残余方差s来表示
显然离散程度偏大。由于数据(x,y)只是个样本，最小平方线给出yp，有随机误差E，真实的y值应该是y=a+bx+E，即有一个置信区域，即
yp－E≤Y≤yp+E
E=tc×Se×
其中tc为在显著水平 =0.05和自由度f=n-2=10时的置信系数，在t分布表中查出为2.23
将数据代入可得
E= tc×S× =2.23×0.21×
=0.47×
因此，在数据（x,y）样本中，对某歌剧院容积x值，其相应的混响时间y值的置信区间为：
由以上分析可以看出，两组数据的线性拟合程度不是很好，这是由于忽略岩棉吸声板面密度隐含参数（主要是厚度和密度）的不同组合的影响所致，或者说这两者关系并非是简单的线性关系。
3三次回归分析
由以上线性相关性与线性回归分析可知：岩棉吸声板面密度与500Hz时吸声系数两个参数的线性拟合程度并不好，特别是在面密度为0～4kg/m2或大于12 kg/m2这两个区间的线性关系并不符合实际情况，因此，根据散点分布特点，将其进行三次回归，使得面密度与吸声系数两个参数的关系曲线更加符合实际情况。
根据表3数据，面密度与500Hz时吸声吸声系数的三次回归曲线，并得到如下回归方程
y = 0.0008 -0.0282 +0.3238 -0.3477
在面密度大于4 kg/m2时曲线拟合比较好，当面密度增加到8kg/m2以后，吸声系数并没有明显增加，当面密度增加到12kg/m2以后，吸声系数反而开始下降。
4 结论
1) 通过以上回归分析，验证了岩棉吸声板对500Hz中频声的吸声系数与其面密度存在明显的直接关系，且当显著性水平为a=0.05时可以认为两者是线性关系，但建立起的这种关系并不理想，因此采用三次回归来建立二者关系，建议由回归方程(3-1)来确定,这样更能反应实际情况。也就是说，岩棉吸声板要到达一定的吸声量A(A= S0× ) m2；就对应着消耗一定重量M(M=S0×q)kg的材料，这种关系就由(3-1)来确定。
2) 经以上三次回归曲线结果可以看出，要提高岩棉吸声板对500Hz中频声的吸声系数，就得增加材料的消耗量，但增加到一定程度后会起相反作用，由于面密度隐含着许多与之关联的参数，比如厚度和孔隙率，因此这种相反作用是因为增大面密度所致孔隙率减小而造成的。
3) 在同一面密度的情况下，虽然可以由上述结论大体算出所能达到的吸声系数范围，但仍然无法弄清不同厚度与密度组合对吸声系数的影响关系。如果有足够多的实验数据，那么就可以确定出一种最佳组合，得到一个最经济面密度，从而达到确定的吸声系数。
参考文献
[1] 项端祈.声学设计手册[M].北京:中国建筑工业出版社,1987:122-124.
[2] 刘加平.建筑物理[M].北京:中国建筑工业出版社,2000:389-390.
[3] 劉顺忠.数理统计理论、方法、应用和软件计算[M].武汉:华中科技大学出版社,2005.
[4] 蒋鼎丰. 交通声屏障的理想吸声材料——网状复合吸声板[J]. 上海建设科技, 2000, (06)
注：文章内所有公式及图表请用PDF形式查看。
关键词：岩棉吸声板；面密度；吸声系数；回归分析
由于影响岩棉吸声板吸声系数的因素很多，但作为吸声材料本身，主要影响因素是厚度和密度这两个容易控制的参数。在其它参数不变的情况下，吸声系数是关于厚度和密度的二元函数，但是厚度和密度这两个参数不能直观地反应吸声材料用料的经济性，因此，本文尝试将岩棉吸声板厚度和密度两个因子相乘得到面密度这一直观的单因子，从而建立一个面密度与吸声系数的二维关系，这一关系具有实用意义。
将两个因子合并成一个因子会存在一个问题：即面密度一定，不同的厚度和密度组合也有可能导致其吸声系数不同。即使密度和厚度两个参数唯一确定，材料的纤维、筋络、颗粒大小等与密度相关的不同组合也可能会导致吸声系数的不同，况且吸声系数又对应一个频谱的曲线分布，因此严格地说面密度这一参数并不与吸声系数相对应。但是在实用范围内，密度比厚度引起的吸声系数变化要小，从实用的前提出发，本文不考虑面密度参数中诸多隐含参数的影响，并在频率为500Hz条件下进行分析。
1数据资料与处理
1.1数据资料
本资料是岩棉吸声板厚度、密度与吸声系数的关系，如表1.1
表1.1岩棉吸声板吸声系数
材料情况
厚度d(cm) 密度 (kg/ )
吸声系数
1.2数据处理
由前所述，在不考虑面密度隐含参数的影响下，将岩棉吸声板厚度d乘以密度 得到面密度q，即有：
q=d×(1-1)
于是得到如下两个参数的关系表，如表1.2
表1.2岩棉吸声板面密度与吸声系数
面密度q(kg/m2) 吸声系数
由以上数据看出，吸声系数是关于面密度和频率的二元函数，是一个空间曲面。那么，面密度对不同频率吸声系数的影响是否一样呢？下面将面密度作为自变量，各频率的吸声系数作为因变量，得出它们的分布关系，以此来探讨面密度对不同频率吸声特性的关系。
面密度的改变对高频声的影响很小，对中低频影响比较明显。那么面密度对中低频吸声系数的影响是什么样的关系呢？本文只抽取表2中影响比较明显的500Hz时的数据，最终得到一个只有两个参数组的数据表，如表1.3，从而简化了分析程序。
表1.3岩棉吸声板面密度与500Hz时的吸声系数
2线性相关性与回归分析
2.1线性相关系数求解
可以假定数据(x,y)样本服从二元正态分布，以此来分析(x,y)两个变量的线性相关性。根据表3数据计算得到各个统计量，其中x为面密度，y为吸声系数，得出如下表2.1
表2.1各统计量数据表
由上表可以计算出以下统计量
∑x=89.35∑y=8.18∑ =825.923∑ =6.045∑xy=66.347
由皮尔森积矩相关系数γ公式
其中
n为样本数
将以上数据代入，可得
代入得相关系数
由以上计算相关系数γ=0.626,显然岩棉吸声板面密度与500Hz时的吸声系数有明显正相关关系。
2.2相关系数检验
在显著性水平a=0.05，n=12时，经查表得γ的临界值为0.57，而γ=0.626， 此时(x,y)两变量存在线性关系。在显著性水平a=0.01，n=12时，查表得γ的临界值为0.71， 此时(x,y)两变量不存在显著线性关系。
显然在显著性水平a=0.05时可进行线性回归分析。在显著性水平a=0.01时两变量不存在显著线性关系，此时根据散点分布特征进行三次回归来分析两者关系。
2.3线性回归方程
令线性回归方程为
y=a+bx
经计算
所以，线性回归方程为
y=0.43+0.034x
由上面回归方程直线和散点分布可以看出，点分布比较离散，离散程度用残差平方和se与残余方差s来表示
显然离散程度偏大。由于数据(x,y)只是个样本，最小平方线给出yp，有随机误差E，真实的y值应该是y=a+bx+E，即有一个置信区域，即
yp－E≤Y≤yp+E
E=tc×Se×
其中tc为在显著水平 =0.05和自由度f=n-2=10时的置信系数，在t分布表中查出为2.23
将数据代入可得
E= tc×S× =2.23×0.21×
=0.47×
因此，在数据（x,y）样本中，对某歌剧院容积x值，其相应的混响时间y值的置信区间为：
由以上分析可以看出，两组数据的线性拟合程度不是很好，这是由于忽略岩棉吸声板面密度隐含参数（主要是厚度和密度）的不同组合的影响所致，或者说这两者关系并非是简单的线性关系。
3三次回归分析
由以上线性相关性与线性回归分析可知：岩棉吸声板面密度与500Hz时吸声系数两个参数的线性拟合程度并不好，特别是在面密度为0～4kg/m2或大于12 kg/m2这两个区间的线性关系并不符合实际情况，因此，根据散点分布特点，将其进行三次回归，使得面密度与吸声系数两个参数的关系曲线更加符合实际情况。
根据表3数据，面密度与500Hz时吸声吸声系数的三次回归曲线，并得到如下回归方程
y = 0.0008 -0.0282 +0.3238 -0.3477
在面密度大于4 kg/m2时曲线拟合比较好，当面密度增加到8kg/m2以后，吸声系数并没有明显增加，当面密度增加到12kg/m2以后，吸声系数反而开始下降。
4 结论
1) 通过以上回归分析，验证了岩棉吸声板对500Hz中频声的吸声系数与其面密度存在明显的直接关系，且当显著性水平为a=0.05时可以认为两者是线性关系，但建立起的这种关系并不理想，因此采用三次回归来建立二者关系，建议由回归方程(3-1)来确定,这样更能反应实际情况。也就是说，岩棉吸声板要到达一定的吸声量A(A= S0× ) m2；就对应着消耗一定重量M(M=S0×q)kg的材料，这种关系就由(3-1)来确定。
2) 经以上三次回归曲线结果可以看出，要提高岩棉吸声板对500Hz中频声的吸声系数，就得增加材料的消耗量，但增加到一定程度后会起相反作用，由于面密度隐含着许多与之关联的参数，比如厚度和孔隙率，因此这种相反作用是因为增大面密度所致孔隙率减小而造成的。
3) 在同一面密度的情况下，虽然可以由上述结论大体算出所能达到的吸声系数范围，但仍然无法弄清不同厚度与密度组合对吸声系数的影响关系。如果有足够多的实验数据，那么就可以确定出一种最佳组合，得到一个最经济面密度，从而达到确定的吸声系数。
参考文献
[1] 项端祈.声学设计手册[M].北京:中国建筑工业出版社,1987:122-124.
[2] 刘加平.建筑物理[M].北京:中国建筑工业出版社,2000:389-390.
[3] 劉顺忠.数理统计理论、方法、应用和软件计算[M].武汉:华中科技大学出版社,2005.
[4] 蒋鼎丰. 交通声屏障的理想吸声材料——网状复合吸声板[J]. 上海建设科技, 2000, (06)
注：文章内所有公式及图表请用PDF形式查看。