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【摘 要】封闭竖直平壁系统在工程领域中有着广泛的应用，如电子元件，空气制冷设备，建筑物的绝热等。空气的传热系数达到最小值时，封闭竖直平壁系统内空气层厚度取得最佳值。本文从传热学的角度论述和分析了竖直平壁系统空气层的自然对流换热，通过建立数学模型。
【关键词】竖直平壁；空气层；节能传热系数
The transfer coefficient based on the Grashofanalysis vertical flat walls closed system of air heat
Wang Wen-xin,He Qian-hui
(Inner Mongolia University Hohhot Inner Mongolia 010000)
【Abstract】The closed vertical flat wall system has a wide range of applications in the engineering field such as electronic components, air refrigeration equipment and buildings insulation. The best air layer thickness value of the closed vertical flat wall system was got when air heat transfer coefficient reaches the minimum. This article discussed and analized natural convection heat transfer of the air layer on the closed vertical flat wall system from the perspective of heat transfer. The possibility that the best air thickness value exists was proved by establishing mathematical model. The paper has a guide significance in energy saving.
【Key words】Closed vertical flat wall system;Airlayer;Energy saving;Heat transfer coefficient
1. 引言
现在建筑节能领域多倡导采用新型材料，新型工艺，往往忽略传统的理论研究。本文考虑在封闭的竖直平壁系统传热过程中，采用空气为介质（空气层的导热系数较低），替代其他的材料节能效果较明显。由于冷热壁两端的温差导致空气对流换热。本文以Grashof数为基础研究空气的最佳厚度从而达到整体传热系数最小，节能效果明显。很多文章也多次论证此最小厚度，热量在空气层传递过程当中，由于Grashof数的不同而导致空气存在导热、层流、紊流三种状态。本文通过此三种状态的数学分析发现空气层存在最小值。合理控制最小值就能达到节能效果。
2. 构建数学模型
在传热学领域当中，由于竖直平壁系统的传热系数K主要由竖直壁面内、外侧的对流换热系数hn,hw；竖直平壁的导热热阻RS；气体层的传热系数he三方面组成，传统封闭的竖直平壁系统的传热系数公式：
K=hn+hw+he+1/RS （1）
已知hn,hw，RS为给定值，只要确定he的值，就能确定封闭的竖直平壁系统的传热系数。由于将封闭的竖直平壁的空气层厚度δ与高度H之比控制在δH<<0.3，即可看作为有限空间的对流传热问题。［2］
空气层的传热问题可以分为竖直平壁壁面的辐射传热和气体的对流传热。
2.1 竖直平壁壁面的辐射换热模型。
空气层辐射传热部分与壁面发射率有关。空气层可以按照两无限大平行灰表面辐射换热，其计算公式为［2］：
qr=εs σb (T14-T24) （2）
其中，
εs=11ε1 +1ε2 -1 （3）
T1，T2为冷热两壁壁面的热力学温度；
εs为空气层系统发射率；
ε1、ε2分别为内外侧壁面的发射率；
σb为黑体辐射常数，取为5.67×10-8w/(m2•k4)；
cb 为黑体辐射系数，取为 5.67 w/(m2•k4)。
由公式（2）、（3）得知：
单位面积的传热量
qr=［εs• cb•(T1100)4-(T2100)4)(t1-t2 )］(t1-t2 ) （4）
空气层的辐射传热系数
hr=εs •cb•(T1100)4-(T2100)4T1-T2 （5）
考虑冷热壁两端温度导致空气的辐射传热系数为定值，即只与冷热两壁壁面的热力学温度及发射率有关。辐射传热的传热系数与空气层的厚度没有关系。
2.2 空气层的对流传热模型。
考虑采用有别于其他文章的研究方向，本文采用以Grashof准则为基础进行建立空气层数学模型。Grashof准则公式如下：
Gr= (gΔtαl3)v2 （6）
α为流体容积膨胀系数，1/k；
g为重力加速度，m/s2；
l为壁面定型尺寸，m；
Δt为流体与壁面温差，℃；
v为运动黏度，m2/s。
2.2.1 Grashof数的取值范围不同影响努谢尔特数，具体分为三类：
（1）Nu≤1时按Nu=1计算，Grδ≤2000
（2）Nu=0.18Grδ14(δH)19（层流），2000 （3）Nu=0.065Grδ13(δH)19（紊流），2×105 根据传热系数公式
he=Nuδ λδ （7）
λ为空气对流换热系数，w/(m2•k)；
δ为层气体厚度，m。
2.2.2 由公式（6）、（7）可以推导得出层传热系数如下:
（1）Grδ≤2000时层空气的流态为导热，δ(0，3v2•2×103gΔtα)得
he1=λδ （8）
（2）2000 he2=0.18×(gΔtαv2 )14•(1H)19•λ•δ-536（9）
（3）2×105 he3=λ•0.065×(gΔtαv2 )13•(1H)19•δ19（10）
2.2.3 现在公式(8)、(9)、(10)进行数学分析：
为了建立he1、he2、he3的数学模型分别对其进行一阶求导和二阶求导的数学分析。
（1）he1=λδ ，在δ(0，3v2•2×103gΔtα)上连续，单调递减且是凹函数。
（2）he2=0.18gΔtαv2 )14(1H)19•λ•δ-536在δ(3v2•2×103gΔtα，3v2•2×105gΔtα)上连续单调递减且是凹函数。
（3）he3=λ•0.065×(gΔtαv2 )13•(1H)19•δ19在δ(3v2•2×105)gΔtα，3v2•2×107)gΔtα上连续单调递增且是凸函数。
2.2.4 但是每个范围的端点是断开的。如果进行端点比较，将会有最小的传热系数he值出现。端点比较如下：
(1)比较he1、he1'在δ=3v2•2×103gΔtα点的大小。将公式（8）、（9）代入得：
he1=limδ→3v2•2×103gΔtαλδ=λ200013(gΔtαv2 )13
he1'=limδ→3v2•2×103gΔtα0.18(gΔtαv2 )14•(1H)19•λ•δ-536
=0.18(gΔtαv2 )14•(1H)19•λ(2000v2)gΔtα）-5108
he1he1'=
λ200013(gΔtαv2 )130.18(gΔtαv2 )14•(1H)19•λ(2000v2)gΔtα）-5108
=0.627(gΔtαv2 )127•H19
对于有限空间的对流问题，在δH0.3范围内研究。当δH→0.3时，he1he1'≈1而δH0.3，所以he1he1'1，所以he1he1'。
(2)比较he2，he3在δ=3v2•2×105gΔtα点的大小，将公式（9）、（10）代入得：
he2=lim(δ→3v2•2×105gΔtα0.18(gΔtαv2 )14•(1H)19•λ•δ-536
=0.18(gΔtαv2 )14•(1H)19•λ•(3v2•2×105)gΔtα)-536
he3=limδ→3v2•2×105gΔtαλ•0.065×(gΔtαv2 )13•(1H)19•δ19
=λ×0.065×(gΔtαv2 )13•(1H)19•(3v2•2×105)gΔtα)19
he2he3=0.18(gΔtαv2 )14•(1H)19•λ•(3v2•2×103)gΔtα)-536λ×0.065×(gΔtαv2 )13•(1H)19•(3v2•2×105gΔtα)19
=0.18×(2×105)-1120.065=1
传热系数he在δ=3v2•2×103gΔtα处出现了中断现象。he在δ=3v2•2×105gΔtα空气层的传热系数有最小值。其变化趋势如图1所示：
图1 传热系数值随空气层的厚度变化趋势图
图2 空气层最佳厚度随温差的变化曲线
2.2.5 在导热到层流过程当中，存在一个过渡状态。该状态也是导致空气传热系数he在δ=3v2•2×103gΔtα处中断的原因；在层流到紊流过程当中，经过上述分析he2，he3在δ=3v2•2×105gΔtα处是连续的。理论上从层流到紊流的过程需经历一个过渡状态，即流态中既有层流又有紊流的混合流态，然后才到旺盛紊流过程［2］。由于该过渡状态的流态比较复杂，而目前众多经验计算公式中，实际上是把由层流段到紊流段的过渡区复杂情况概括在紊流的计算式中，因此导致了he2，he3
在δ=3v2•2×105gΔtα处的连续。此时空气层的最小传热系数的取值为：
he3=λ×0.065×(gΔtαv2 )827•(1H)19•(2×105)127+εs •cb•(T1100)4-(T2100)4T1-T2
封闭竖直平壁系统的传热系数：
K=he+εs •cb•(T1100)4-(T2100)4t1-t2 +hn+hw + 1RS
3. 实例分析
以毛毡为材料，构成一个封闭竖直平壁系统。当热壁温度t2取值为30、20℃时，冷壁温度分别在-40-30℃之间变化，空气层的最佳厚度取值如表1所示，而其变化趋势则如图2所示。
随着热壁壁面的温度和冷壁壁面的温差Δt→0，空气层的厚度δ→0.3H，此时壁面之间不存在导热的现象。
4. 结论
本文从Grashof数的角度，具体论证了封闭竖直平壁空气层系统中空气层的传热系数变化关系，得到了关于空气层的传热系数值随其厚度变化规律，通过传热系数的最小值得到其最佳厚度。
由于缺少实验的验证是本文的一大遗憾，但本文从Grashof数的角度上证明了d0=0.133Δt-13准确性，（即空气层的厚度取值为d0=0.133Δt-13，此时空气层的热阻为最大值RK,max=1/(0.5173Δt+C'θ)［1］）也反应了空气层的最小传热系数是Δt-13的函数，即δ=f(Δt-13)，而本文空气层的最小传热系数是Δt-13，g，α，v的函数，即δ=f(g，α，v，Δt-13)。
参考文献
［1］ 孟庆林，蔡宁，陈启高.封闭空气层热阻的理论解［J］.广州：华南理工大学学报（自然科学版），1997，25（4）：116～119.
［2］ 章熙民，任泽霈，梅飞鸣.传热学(第五版)［M］.北京：中国建筑工业出版社，2007.
［文章编号］1006-7619（2011）11-01-1001
［作者简介］ 王文新，（1976-），男，汉族，学历：硕士研究生，职务：讲师，内蒙古工业大学建筑学院教师。
【关键词】竖直平壁；空气层；节能传热系数
The transfer coefficient based on the Grashofanalysis vertical flat walls closed system of air heat
Wang Wen-xin,He Qian-hui
(Inner Mongolia University Hohhot Inner Mongolia 010000)
【Abstract】The closed vertical flat wall system has a wide range of applications in the engineering field such as electronic components, air refrigeration equipment and buildings insulation. The best air layer thickness value of the closed vertical flat wall system was got when air heat transfer coefficient reaches the minimum. This article discussed and analized natural convection heat transfer of the air layer on the closed vertical flat wall system from the perspective of heat transfer. The possibility that the best air thickness value exists was proved by establishing mathematical model. The paper has a guide significance in energy saving.
【Key words】Closed vertical flat wall system;Airlayer;Energy saving;Heat transfer coefficient
1. 引言
现在建筑节能领域多倡导采用新型材料，新型工艺，往往忽略传统的理论研究。本文考虑在封闭的竖直平壁系统传热过程中，采用空气为介质（空气层的导热系数较低），替代其他的材料节能效果较明显。由于冷热壁两端的温差导致空气对流换热。本文以Grashof数为基础研究空气的最佳厚度从而达到整体传热系数最小，节能效果明显。很多文章也多次论证此最小厚度，热量在空气层传递过程当中，由于Grashof数的不同而导致空气存在导热、层流、紊流三种状态。本文通过此三种状态的数学分析发现空气层存在最小值。合理控制最小值就能达到节能效果。
2. 构建数学模型
在传热学领域当中，由于竖直平壁系统的传热系数K主要由竖直壁面内、外侧的对流换热系数hn,hw；竖直平壁的导热热阻RS；气体层的传热系数he三方面组成，传统封闭的竖直平壁系统的传热系数公式：
K=hn+hw+he+1/RS （1）
已知hn,hw，RS为给定值，只要确定he的值，就能确定封闭的竖直平壁系统的传热系数。由于将封闭的竖直平壁的空气层厚度δ与高度H之比控制在δH<<0.3，即可看作为有限空间的对流传热问题。［2］
空气层的传热问题可以分为竖直平壁壁面的辐射传热和气体的对流传热。
2.1 竖直平壁壁面的辐射换热模型。
空气层辐射传热部分与壁面发射率有关。空气层可以按照两无限大平行灰表面辐射换热，其计算公式为［2］：
qr=εs σb (T14-T24) （2）
其中，
εs=11ε1 +1ε2 -1 （3）
T1，T2为冷热两壁壁面的热力学温度；
εs为空气层系统发射率；
ε1、ε2分别为内外侧壁面的发射率；
σb为黑体辐射常数，取为5.67×10-8w/(m2•k4)；
cb 为黑体辐射系数，取为 5.67 w/(m2•k4)。
由公式（2）、（3）得知：
单位面积的传热量
qr=［εs• cb•(T1100)4-(T2100)4)(t1-t2 )］(t1-t2 ) （4）
空气层的辐射传热系数
hr=εs •cb•(T1100)4-(T2100)4T1-T2 （5）
考虑冷热壁两端温度导致空气的辐射传热系数为定值，即只与冷热两壁壁面的热力学温度及发射率有关。辐射传热的传热系数与空气层的厚度没有关系。
2.2 空气层的对流传热模型。
考虑采用有别于其他文章的研究方向，本文采用以Grashof准则为基础进行建立空气层数学模型。Grashof准则公式如下：
Gr= (gΔtαl3)v2 （6）
α为流体容积膨胀系数，1/k；
g为重力加速度，m/s2；
l为壁面定型尺寸，m；
Δt为流体与壁面温差，℃；
v为运动黏度，m2/s。
2.2.1 Grashof数的取值范围不同影响努谢尔特数，具体分为三类：
（1）Nu≤1时按Nu=1计算，Grδ≤2000
（2）Nu=0.18Grδ14(δH)19（层流），2000
he=Nuδ λδ （7）
λ为空气对流换热系数，w/(m2•k)；
δ为层气体厚度，m。
2.2.2 由公式（6）、（7）可以推导得出层传热系数如下:
（1）Grδ≤2000时层空气的流态为导热，δ(0，3v2•2×103gΔtα)得
he1=λδ （8）
（2）2000
（3）2×105
2.2.3 现在公式(8)、(9)、(10)进行数学分析：
为了建立he1、he2、he3的数学模型分别对其进行一阶求导和二阶求导的数学分析。
（1）he1=λδ ，在δ(0，3v2•2×103gΔtα)上连续，单调递减且是凹函数。
（2）he2=0.18gΔtαv2 )14(1H)19•λ•δ-536在δ(3v2•2×103gΔtα，3v2•2×105gΔtα)上连续单调递减且是凹函数。
（3）he3=λ•0.065×(gΔtαv2 )13•(1H)19•δ19在δ(3v2•2×105)gΔtα，3v2•2×107)gΔtα上连续单调递增且是凸函数。
2.2.4 但是每个范围的端点是断开的。如果进行端点比较，将会有最小的传热系数he值出现。端点比较如下：
(1)比较he1、he1'在δ=3v2•2×103gΔtα点的大小。将公式（8）、（9）代入得：
he1=limδ→3v2•2×103gΔtαλδ=λ200013(gΔtαv2 )13
he1'=limδ→3v2•2×103gΔtα0.18(gΔtαv2 )14•(1H)19•λ•δ-536
=0.18(gΔtαv2 )14•(1H)19•λ(2000v2)gΔtα）-5108
he1he1'=
λ200013(gΔtαv2 )130.18(gΔtαv2 )14•(1H)19•λ(2000v2)gΔtα）-5108
=0.627(gΔtαv2 )127•H19
对于有限空间的对流问题，在δH0.3范围内研究。当δH→0.3时，he1he1'≈1而δH0.3，所以he1he1'1，所以he1he1'。
(2)比较he2，he3在δ=3v2•2×105gΔtα点的大小，将公式（9）、（10）代入得：
he2=lim(δ→3v2•2×105gΔtα0.18(gΔtαv2 )14•(1H)19•λ•δ-536
=0.18(gΔtαv2 )14•(1H)19•λ•(3v2•2×105)gΔtα)-536
he3=limδ→3v2•2×105gΔtαλ•0.065×(gΔtαv2 )13•(1H)19•δ19
=λ×0.065×(gΔtαv2 )13•(1H)19•(3v2•2×105)gΔtα)19
he2he3=0.18(gΔtαv2 )14•(1H)19•λ•(3v2•2×103)gΔtα)-536λ×0.065×(gΔtαv2 )13•(1H)19•(3v2•2×105gΔtα)19
=0.18×(2×105)-1120.065=1
传热系数he在δ=3v2•2×103gΔtα处出现了中断现象。he在δ=3v2•2×105gΔtα空气层的传热系数有最小值。其变化趋势如图1所示：
图1 传热系数值随空气层的厚度变化趋势图
图2 空气层最佳厚度随温差的变化曲线
2.2.5 在导热到层流过程当中，存在一个过渡状态。该状态也是导致空气传热系数he在δ=3v2•2×103gΔtα处中断的原因；在层流到紊流过程当中，经过上述分析he2，he3在δ=3v2•2×105gΔtα处是连续的。理论上从层流到紊流的过程需经历一个过渡状态，即流态中既有层流又有紊流的混合流态，然后才到旺盛紊流过程［2］。由于该过渡状态的流态比较复杂，而目前众多经验计算公式中，实际上是把由层流段到紊流段的过渡区复杂情况概括在紊流的计算式中，因此导致了he2，he3
在δ=3v2•2×105gΔtα处的连续。此时空气层的最小传热系数的取值为：
he3=λ×0.065×(gΔtαv2 )827•(1H)19•(2×105)127+εs •cb•(T1100)4-(T2100)4T1-T2
封闭竖直平壁系统的传热系数：
K=he+εs •cb•(T1100)4-(T2100)4t1-t2 +hn+hw + 1RS
3. 实例分析
以毛毡为材料，构成一个封闭竖直平壁系统。当热壁温度t2取值为30、20℃时，冷壁温度分别在-40-30℃之间变化，空气层的最佳厚度取值如表1所示，而其变化趋势则如图2所示。
随着热壁壁面的温度和冷壁壁面的温差Δt→0，空气层的厚度δ→0.3H，此时壁面之间不存在导热的现象。
4. 结论
本文从Grashof数的角度，具体论证了封闭竖直平壁空气层系统中空气层的传热系数变化关系，得到了关于空气层的传热系数值随其厚度变化规律，通过传热系数的最小值得到其最佳厚度。
由于缺少实验的验证是本文的一大遗憾，但本文从Grashof数的角度上证明了d0=0.133Δt-13准确性，（即空气层的厚度取值为d0=0.133Δt-13，此时空气层的热阻为最大值RK,max=1/(0.5173Δt+C'θ)［1］）也反应了空气层的最小传热系数是Δt-13的函数，即δ=f(Δt-13)，而本文空气层的最小传热系数是Δt-13，g，α，v的函数，即δ=f(g，α，v，Δt-13)。
参考文献
［1］ 孟庆林，蔡宁，陈启高.封闭空气层热阻的理论解［J］.广州：华南理工大学学报（自然科学版），1997，25（4）：116～119.
［2］ 章熙民，任泽霈，梅飞鸣.传热学(第五版)［M］.北京：中国建筑工业出版社，2007.
［文章编号］1006-7619（2011）11-01-1001
［作者简介］ 王文新，（1976-），男，汉族，学历：硕士研究生，职务：讲师，内蒙古工业大学建筑学院教师。