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[摘 要] 概念是数学知识的基础，概念教学是数学教学的重要环节. 传统概念教学重应试而忽视概念构建的过程，这不利于学生数学素养的提高. 基于初中学生的认知特点，构建新的概念教学的模式，可以提高概念教学的效度. 本文以一元一次方程概念为例，从概念教学的若干个环节设计了教学的思路，在预设与生成作用下生成了该概念的模型，促进了学生对一元一次方程概念的深层次认识，从而可以为后续的概念学习奠定基础.
[关键词] 初中数学；数学概念；概念模型
概念是客观事物在人脑内的概括性反映，概念是人们理解事物的基础. 对于教学而言，概念的教学是一个基本任务，初中数学的学习过程，其实就是学生在概念的基础上构建数学知识的大厦，并进而达到用数学知识解决数学问题乃至生活问题的过程. 但实际教学中，概念的教学又往往不太受重视，因为应试教育背景下，教师更注重学生运用概念的能力，而不是建构、理解概念的能力. 尽管从理论上来说，这有舍本逐末的嫌疑，但客观上确实不太影响学生应试能力的提升，因而现实当中轻概念教学的现象可以说是非常普遍. 但有一点可以肯定的是，如果在概念教学中忽视了概念建构的过程，那学生即使能够形成较强的解题能力，那也是大量训练的结果，并不能说明学生的数学素养得到了提升. 因此，重视概念教学，在概念教学中努力让学生深化概念理解，仍然应当是每一个初中数学教师应当关注的重点.
初中数学概念教学常态例析
在寻求新的概念教学方式之前，还是有必要梳理常规教学中概念教学的一些优点与不足，这样才可以更好地认清过去从而寻找新的思路. 现以“一元一次方程”（人教版七年级数学上册）概念的教学为例进行梳理.
一元一次方程的教学，首先是概念的教学，即首先需要引领学生一起建构一元一次方程的概念. 根据一般教学经验基础上形成的直觉感受，这个概念的建立并不难，在实际教学中只要强调“一元”与“一次”就行了. 而这两个概念也不存在理解上的难点，教学经验表明，绝大部分学生都能理解“一元”即为“一个未知数”，“一次”就是指“未知数的次数为1”. 因此，在实际教学中，教师通常的做法与教材上的设计基本相同：提供一个实例，让学生设出一个未知数，去建立一个等式，然后判断其中的未知数个数与次数. 这样的例子可以同时提供两至三个，这样就可以归纳出不同一元一次方程的特征：一元与一次. 进而就可以得出对一元一次方程的理解.
这样的教学可以说是直接瞄准一元一次方程本身的，设计的初衷就是：只要认识了一元与一次，那就认识了一元一次方程. 那么，实际情形是否完全如此呢？笔者的教学经验以及与同行的交流结果让自己发现，实际情形与这样的教学设计初衷还是存在差异的. 经验表明，学生难以有清晰的思路去建立等式，甚至有学生连等式或方程的概念也是理解不透的. 对他们而言，此时的一元一次方程概念的教学，就有点类似于建造空中楼阁的意思. 也就是说，一元一次方程的概念从某种程度上讲，应当是等式、方程、元、次数等基本概念的复合概念，好的概念教学应当注重这些基础，并在这些基础之上创设情境并进一步引导. 这其实就是概念教学强调的内涵与外延.
探究数学概念教学的新思维
基于以上分析，笔者以为，初中数学概念需要创新教学思路，而这就意味着教师自身要有新的教学思维. 问题的关键在于，新的思维从哪里来？笔者的探究经验告诉自己，应当从研究学生构建数学概念的规律中来. 现仍以一元一次方程概念的教学来说明.
一元一次方程概念的建立需要遵循哪些规律？对这个问题的回答可以从以下几个层面来进行. 从概念本身的构建来说，上面已经提到，这需要学生对等式、方程、元、次数等更基本的概念完全理解；从教学的角度来说，教师必须了解学生的情况，判断学生对这些基本概念掌握得怎么样，但这并不意味着教师非得要跟学生一起回顾甚至是重新讲解这四个基本概念；从学生构建概念的思维过程角度来说，不同学生个体由于原先基础不同，思维能力强弱不同，由于对教师所讲授的知识的接受程度不同，他们对一元一次方程概念的理解水平也会有高低. 这三个角度分析下来的结果就是学生在概念学习中的共性，以及可能出现的差异性.
从提高学生关于一元一次方程的共性认识，化解学生个性认识中的难点角度来看，教师所设计的具有统一性的教学流程或许应当是这样的：
其一，于情境中产生问题，进而产生概念构建的动力. 一元一次方程是一个纯粹的数学概念，但在生活中却寻找到其源头，利用这些源头可以创设情境，从而让学生产生构建概念的动力. 笔者设计的情境严格来说是一种思维情境，因为一元一次方程学生在小学阶段已经接触过，只是他们没有从“元”和“次”的角度去进行认识而已. 因此，笔者让学生自己去设计出一个问题，并且可以通过方程来解决. 这是一个发散性的问题情境，学生的答案除了简单的x 5=6，x×3=9之外，也有类似于这样的式子. 这种发散性情境最大的好处在于可以通过学生的思维提供出大量的一元一次方程，从而为下一步的规律概括提供了基础. 又因为这是学生自己思考出的结果，因而可以让学生在下面的学习中充满动力.
其二，运用基本思维方法，概括出概念背后的规律性. 这里所用的方法主要是逻辑方法，即分析与归纳. 分析学生得出的这些方程，教师引导其从未知数的个数与次数的角度来进行分析，很容易便可以发现其规律性，即一元与一次. 这个时候笔者还提供了另外几个一元二次、二元一次、二元二次方程供学生比较，这样学生就能较好地从元与次的角度来把握一元一次方程的特征——几元几次方程，其实就是看未知数的个数与次数.
其三，借助于数学语言，描述这种规律性. 这个时候，“元”与“次”还没有成为学生的语言，笔者以为教师不要急着给出这两个名称，而应当让学生尝试用自己的语言去描述这些方程的不同. 于是有学生会说，这种只有一个未知数且次数为“1”的方程可以叫作“一一方程”，相应的也就有了“一二方程”“二一方程”“二二方程”，而别的学生的反驳也有道理：如果未知数较多怎么办？只用数字不就分不清了吗？也有学生取名为“一未一次方程”. 这样的语言与数学语言已经极为相似，在这样的基础上，给出“元”与“次”的称谓，往往一元一次方程的概念便水到渠成了. 其四，借助于新的情境，体验数学概念的外延. 概念外延是理解概念的极为重要的途径，一元一次方程概念的外延有两个层面的意思：一是具体一元一次方程向一般形式转变；二是新情境中一元一次方程的认知. 从x 5=6到ax=b（a≠0）的转变，对于学生来说是一个很大的变化（这种变化直到初三年级的数学及其他学科的学习中影响仍然存在），意味着学生思维加工的对象不只是具体的一元一次方程，更应当是不同方程的一般形式，从此以后，符号表达式应当成为数学学习的重要对象. 此外，教师还可以提供新的问题，以让学生感知一元一次方程的应用，限于篇幅，此处就不赘述了.
数学概念教学需要提取模型
事实上，在上述教学设计与实施的过程中，有一个重要的因素在概念构建的过程中作用越来越明显，这就是概念模型的建立. 笔者以为，任何一个重要的数学概念的教学，都必须重视概念模型的提取.
一元一次方程是初中阶段系统学习的第一个重要概念，是数学中具体的由数向抽象的符号转变的第一个重要场所. 在这个概念的教学中，如果能够帮学生形成良好的概念模型的意识，那对以后的数学概念的学习尤其是方程、函数等概念的学习将有着极大的好处.
一元一次方程概念教学中所需要建立的概念模型就是其一般形式，只是这个形式需要对每一个细节做出强调：为什么必须用一般形式？这是因为一般形式才能够代表所有的一元一次方程、为什么要强调a≠0？这是因为假如a的值为0，则式中将无未知数，自然也就谈不上方程. 需要进一步强调的是，将来还会遇到类似的方程的一般形式，同样会有此类强调. 为什么其一般形式不是ax b=c？（这是笔者教学中一个学生实际的问题），这是因为其不如前面给出的ax=b那么简洁（这个问题可以交由学生自己去回答）.
在这样的师生问答过程中，学生可以逐步形成一个认识：方程必须有未知数，未知数的个数可以有若干个，未知数的次数可以是多次的，方程可以用一般形式来表示……等到将来函数的学习，其一般形式亦可由方程的一般形式导出，而此处其实就是为新的知识的学习奠定了基础. 研究至此，相信同行们都已经明白，所谓基础的奠定，其实就是概念模型在起着作用，只有学生对一元一次方程的概念模型掌握到位，将来在学一次函数的时候，才能顺利构建出新的概念.
总的来说，初中数学概念的教学需要基于学生的概念构建规律，创新教学思路，尤其是要从基础概念的强化与概念模型的建立角度来进行，这样才能让某些基础概念的学习真正成为其他数学概念构建的真正基础.
[关键词] 初中数学；数学概念；概念模型
概念是客观事物在人脑内的概括性反映，概念是人们理解事物的基础. 对于教学而言，概念的教学是一个基本任务，初中数学的学习过程，其实就是学生在概念的基础上构建数学知识的大厦，并进而达到用数学知识解决数学问题乃至生活问题的过程. 但实际教学中，概念的教学又往往不太受重视，因为应试教育背景下，教师更注重学生运用概念的能力，而不是建构、理解概念的能力. 尽管从理论上来说，这有舍本逐末的嫌疑，但客观上确实不太影响学生应试能力的提升，因而现实当中轻概念教学的现象可以说是非常普遍. 但有一点可以肯定的是，如果在概念教学中忽视了概念建构的过程，那学生即使能够形成较强的解题能力，那也是大量训练的结果，并不能说明学生的数学素养得到了提升. 因此，重视概念教学，在概念教学中努力让学生深化概念理解，仍然应当是每一个初中数学教师应当关注的重点.
初中数学概念教学常态例析
在寻求新的概念教学方式之前，还是有必要梳理常规教学中概念教学的一些优点与不足，这样才可以更好地认清过去从而寻找新的思路. 现以“一元一次方程”（人教版七年级数学上册）概念的教学为例进行梳理.
一元一次方程的教学，首先是概念的教学，即首先需要引领学生一起建构一元一次方程的概念. 根据一般教学经验基础上形成的直觉感受，这个概念的建立并不难，在实际教学中只要强调“一元”与“一次”就行了. 而这两个概念也不存在理解上的难点，教学经验表明，绝大部分学生都能理解“一元”即为“一个未知数”，“一次”就是指“未知数的次数为1”. 因此，在实际教学中，教师通常的做法与教材上的设计基本相同：提供一个实例，让学生设出一个未知数，去建立一个等式，然后判断其中的未知数个数与次数. 这样的例子可以同时提供两至三个，这样就可以归纳出不同一元一次方程的特征：一元与一次. 进而就可以得出对一元一次方程的理解.
这样的教学可以说是直接瞄准一元一次方程本身的，设计的初衷就是：只要认识了一元与一次，那就认识了一元一次方程. 那么，实际情形是否完全如此呢？笔者的教学经验以及与同行的交流结果让自己发现，实际情形与这样的教学设计初衷还是存在差异的. 经验表明，学生难以有清晰的思路去建立等式，甚至有学生连等式或方程的概念也是理解不透的. 对他们而言，此时的一元一次方程概念的教学，就有点类似于建造空中楼阁的意思. 也就是说，一元一次方程的概念从某种程度上讲，应当是等式、方程、元、次数等基本概念的复合概念，好的概念教学应当注重这些基础，并在这些基础之上创设情境并进一步引导. 这其实就是概念教学强调的内涵与外延.
探究数学概念教学的新思维
基于以上分析，笔者以为，初中数学概念需要创新教学思路，而这就意味着教师自身要有新的教学思维. 问题的关键在于，新的思维从哪里来？笔者的探究经验告诉自己，应当从研究学生构建数学概念的规律中来. 现仍以一元一次方程概念的教学来说明.
一元一次方程概念的建立需要遵循哪些规律？对这个问题的回答可以从以下几个层面来进行. 从概念本身的构建来说，上面已经提到，这需要学生对等式、方程、元、次数等更基本的概念完全理解；从教学的角度来说，教师必须了解学生的情况，判断学生对这些基本概念掌握得怎么样，但这并不意味着教师非得要跟学生一起回顾甚至是重新讲解这四个基本概念；从学生构建概念的思维过程角度来说，不同学生个体由于原先基础不同，思维能力强弱不同，由于对教师所讲授的知识的接受程度不同，他们对一元一次方程概念的理解水平也会有高低. 这三个角度分析下来的结果就是学生在概念学习中的共性，以及可能出现的差异性.
从提高学生关于一元一次方程的共性认识，化解学生个性认识中的难点角度来看，教师所设计的具有统一性的教学流程或许应当是这样的：
其一，于情境中产生问题，进而产生概念构建的动力. 一元一次方程是一个纯粹的数学概念，但在生活中却寻找到其源头，利用这些源头可以创设情境，从而让学生产生构建概念的动力. 笔者设计的情境严格来说是一种思维情境，因为一元一次方程学生在小学阶段已经接触过，只是他们没有从“元”和“次”的角度去进行认识而已. 因此，笔者让学生自己去设计出一个问题，并且可以通过方程来解决. 这是一个发散性的问题情境，学生的答案除了简单的x 5=6，x×3=9之外，也有类似于这样的式子. 这种发散性情境最大的好处在于可以通过学生的思维提供出大量的一元一次方程，从而为下一步的规律概括提供了基础. 又因为这是学生自己思考出的结果，因而可以让学生在下面的学习中充满动力.
其二，运用基本思维方法，概括出概念背后的规律性. 这里所用的方法主要是逻辑方法，即分析与归纳. 分析学生得出的这些方程，教师引导其从未知数的个数与次数的角度来进行分析，很容易便可以发现其规律性，即一元与一次. 这个时候笔者还提供了另外几个一元二次、二元一次、二元二次方程供学生比较，这样学生就能较好地从元与次的角度来把握一元一次方程的特征——几元几次方程，其实就是看未知数的个数与次数.
其三，借助于数学语言，描述这种规律性. 这个时候，“元”与“次”还没有成为学生的语言，笔者以为教师不要急着给出这两个名称，而应当让学生尝试用自己的语言去描述这些方程的不同. 于是有学生会说，这种只有一个未知数且次数为“1”的方程可以叫作“一一方程”，相应的也就有了“一二方程”“二一方程”“二二方程”，而别的学生的反驳也有道理：如果未知数较多怎么办？只用数字不就分不清了吗？也有学生取名为“一未一次方程”. 这样的语言与数学语言已经极为相似，在这样的基础上，给出“元”与“次”的称谓，往往一元一次方程的概念便水到渠成了. 其四，借助于新的情境，体验数学概念的外延. 概念外延是理解概念的极为重要的途径，一元一次方程概念的外延有两个层面的意思：一是具体一元一次方程向一般形式转变；二是新情境中一元一次方程的认知. 从x 5=6到ax=b（a≠0）的转变，对于学生来说是一个很大的变化（这种变化直到初三年级的数学及其他学科的学习中影响仍然存在），意味着学生思维加工的对象不只是具体的一元一次方程，更应当是不同方程的一般形式，从此以后，符号表达式应当成为数学学习的重要对象. 此外，教师还可以提供新的问题，以让学生感知一元一次方程的应用，限于篇幅，此处就不赘述了.
数学概念教学需要提取模型
事实上，在上述教学设计与实施的过程中，有一个重要的因素在概念构建的过程中作用越来越明显，这就是概念模型的建立. 笔者以为，任何一个重要的数学概念的教学，都必须重视概念模型的提取.
一元一次方程是初中阶段系统学习的第一个重要概念，是数学中具体的由数向抽象的符号转变的第一个重要场所. 在这个概念的教学中，如果能够帮学生形成良好的概念模型的意识，那对以后的数学概念的学习尤其是方程、函数等概念的学习将有着极大的好处.
一元一次方程概念教学中所需要建立的概念模型就是其一般形式，只是这个形式需要对每一个细节做出强调：为什么必须用一般形式？这是因为一般形式才能够代表所有的一元一次方程、为什么要强调a≠0？这是因为假如a的值为0，则式中将无未知数，自然也就谈不上方程. 需要进一步强调的是，将来还会遇到类似的方程的一般形式，同样会有此类强调. 为什么其一般形式不是ax b=c？（这是笔者教学中一个学生实际的问题），这是因为其不如前面给出的ax=b那么简洁（这个问题可以交由学生自己去回答）.
在这样的师生问答过程中，学生可以逐步形成一个认识：方程必须有未知数，未知数的个数可以有若干个，未知数的次数可以是多次的，方程可以用一般形式来表示……等到将来函数的学习，其一般形式亦可由方程的一般形式导出，而此处其实就是为新的知识的学习奠定了基础. 研究至此，相信同行们都已经明白，所谓基础的奠定，其实就是概念模型在起着作用，只有学生对一元一次方程的概念模型掌握到位，将来在学一次函数的时候，才能顺利构建出新的概念.
总的来说，初中数学概念的教学需要基于学生的概念构建规律，创新教学思路，尤其是要从基础概念的强化与概念模型的建立角度来进行，这样才能让某些基础概念的学习真正成为其他数学概念构建的真正基础.