摘 要：数列是高考重要内容之一，数列综合问题常以压轴题出现，亦成为历年高考久考不衰的热点题型。其涉及的基础知识、数学思想与方法、在高等数学的学习中起着重要作用，对高考中常出现的数列综合问题的题型，有必要进行概括分析，供读者参考。
　　关键词：数列 高考 题型
　　中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）05（c）-0107-01
　　1 以函数为载体的数列问题
　　以函数为载体的数列问题在高考试题出现的频率相当高，由于此类问题的解题目标与已知条件之间的跨度大，使得题型新颖、内容综合、解法灵活、思维抽象，所以它既是高考的热点题型，又是颇难解决的重点问题。
　　例1：（2008年福建高考题）已知函数。设是正数组成的数列，前n项和为，其中。若点（）在函数的图象上，求证：点也在的图象上。
　　证明：因为，所以，
　　由点在函数的图象上，
　　得，即，
　　又，所以，又因为，
　　所以数列是以3为首项，公差为2的等差数列。
　　所以，又因为，所以，故点也在函数的图象上。
　　点评：本小题主要考查等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，是一道典型的以函数为背景，由函数引出数列，再以函数图象为工具，综合研究解决数列问题。
　　2 开放型问题
　　判断探索型数列问题，是开放型命题的常见题型，它是以不给出明确结论，需要解题者寻觅或探索结论，并加以证明的问题。
　　例2：（2005年北京高考题）设数列{an}的首项a1=a≠，且α=，记bn=α-，n=1，2，3，…
　　（1）求a2，a3。
　　（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论。
　　解：（1）α2=α1+=α+，α3=α2=α+。
　　（2）因为α4=α3+=α+，所以α5=α4=α+，
　　所以b1=α1-=α-≠0，b2=α3-=（α-），b3=α5-=（α-）。
　　猜想：{bn}是公比为的等比数列。
　　证明如下：
　　因为b=α-=α-=（α+）-=bn，（nN*）
　　所以{bn}是首项为公比为α-，公比为的等比数列。
　　点评：判断是否是等差、等比数列一般是通过前几项找到规律，猜想是或否，然后再根据定义证明。
　　3 应用问题
　　有关涉及平均增长率、等值增加或减少、利率等应用问题，可以通过建立基本数列模型而获得解决。
　　例3：某林区改变植树计划，第一年植树的增长率为200%，以后每年的植树增长率都是前一年植树增长率的一半。
　　（1）假设成活率为100%，经过4年后，林区的树木量是原来树木量的多少倍？
　　（2）如果每年都有5%的树木死亡，那么经过多少年后，林区的树木量开始下降？
　　解：（1）设林区原有的树木量为a，调整计划后，第n年的木材量为（n=1，2，3，…），则=a（1+200%）=3α，=（1+100%）==6a，=（1+50%）==9a，=（1+25%）==a，所以经过4年后，林区树木量是原来的倍。
　　（2）若每年损失树木量5%，则第n年后的树木量与第（n-1）年的树木量之间的关系为：=（1+）（1-5%）=（1+）（n≥2）。
　　设第n年后树木量开始减少，则有：
　　≤≤n=6。
　　所以，经过6年后，从第7年开始，林区树木量开始下降。
　　点评：把应用问题转化成递推公式是解数列应用题的关键。在这里要注意的是，若第n年后树木量开始减少，则一定满足≥且≥，确定数量关系是解题的突破口。