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【摘要】弗赖登塔尔是国际上极负盛名的荷兰数学家和数学教育家。弗赖登塔尔指导、推动和亲身参与了荷兰的数学教育改革实践，并对20世纪国际数学课程的改革与发展作出了重大贡献。我们今天所讨论的便是在他的“数学化”理论下的教学策略。
【关键词】数学化 再创造 问题解决 教学策略
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）16-0138-02
生活在21世纪的我们，再去重新学习弗赖登塔尔的数学教学理念，不免要加上我们自己的认识，以及结合新课标的教学去更好的实施，落实到我们的数学教学中。弗赖登塔尔反对死记硬背，提倡讨论式，指导式的教学形式，反对传统的讲演式教学。
一、数学化的涵义
数学化也可以称为数字化，字符化。在各门科学研究实践中广泛应用数学方法的整个实施过程。是指随着人类社会发展和科学进步、数学广泛渗透到自然科学和社会各领域。即是把数字的高度抽象性、严格逻辑性、语言简明性、广泛实用性集中用于人类进行理论思维、逻辑分桥、认识客观世界的一种辅助工具和表现手段，以达到规范系统的高度。简单来讲现在我们对于“数学化”的认识就是将数学学科所有的抽象性，逻辑性运用到现实生活以及其他学科之中。弗赖登塔尔认为 ：数学化就是数学地组织现实世界的过程。同时他所强调的数学化的对象可分为两类，一类是现实客观事物 ，另一类是数学本身 ，以此为依据数学化思想被分解为两大类 ：横向数学化和纵向数学化。[1]
“数学化”的教学涵义，弗赖登塔尔曾经说过：“与其说是学数学倒不如说是学习“数学化”，与其说是学习公理系统，还不如说是学习“公理化，与其说是学习形式体系，倒不如说是学习形式化。”就我自己对于“数学化”教育的理解就是立足于现实，抛开单纯的知识传授，数学的学习是让我们的学生能将在课堂上所学到的运用于实际生活中。
而我们上面所说到的弗赖登塔尔将“数学化”分为横向数学化和纵向数学化。横向数学化我们也称之為水平数学化，这种数学化模式主要是通过模型将实际问题抽象为数学模型，具有生活数学数学化之称。纵向数学化我们也经常将其说为垂直数学化，这种数学化模式是数学问题的重组，以及数学内部知识的迁移调整，具有有序性，也是对数学问题的进一步抽象。这两种数学化的形式跟我们前面所说的水平数学化和垂直数学化又是不谋而合。个人比较推崇在小学教育中还是应该以水平数学化为主，从小培养学生对于数学的正确认识，在教学中不乏要培养学生的兴趣，教育学家乌申斯基说“没有任何兴趣，而被迫进行的学习会扼杀学生掌握知识的意愿。”
二、“再创造”原则
弗赖登塔尔认为存在两种数学，一种是现成的数学，一种是创新的数学。我们在谈“数学化”就不得不谈到“再创造”，他同样是弗赖登塔尔“数学化”思想下的重要组成部分。既然学习数学的过程是一种“数学化”的过程，他认为唯一可行的方法就是让学生进行“再创造”的学习。“再创造”就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来。他说：“这是儿童学习数学最自然的、也是最有效的方法。”[2]48而再创造在我们现代的小学教学中到底有什么启示作用呢？例如我们创作一个电影剧本，剧本完成后在拍摄的过程中演员们会不断的根据剧情需要以及自己对于角色的理解对剧本进行修改，往往拍出来的电影跟原先的剧本就有着许多不同，但是观众却会更喜欢。然而我们忽略了“再创造”的重要性，数学化中的再创造可以将数学历史缩短，可以将数学历史与现实统一。
三、“数学化”与问题解决
美国数学教师协会（NCTM）于 1980 年 4 月公布了文件《关于行动的议程》（An Agenda For Action），该文件指出：“20 世纪 80 年代的数学大纲 ，应当在各年级介绍数学的应用， 把学生引进问题解决中去。”“数学课堂应当围绕问题解决来组织 。”“数学教师应当创造一种使问题解决得以蓬勃发展的课堂环境。” ，并且明确提出 ：把“问题解决”作为“学校数学的核心”[3]在数学教学中，传统教学认为问题解决就是数学知识的应用过程，就是学生在课堂上所学到的数学知识能充分运用的数学题目的解答中，那便是学以致用。在“数学化”视角下我们应该赋予问题解决更高层次的理解，问题的解决不应该仅仅是知识的运用过程，在这个过程里更应该加入学生自身对于问题的理解思考，同样的需要从实际出发，在现实思考中解决问题。
例1.22个学生去划船，每条船最多坐四人，他们要租多少条船？
（1）从题目中我们能得到什么？
信息一：22个学生去划船；信息二：每条船最多坐四人。
（2）他们至少要租多少条船？
反思1—1：“每条船最多坐四人”是什么意思？
每条船：坐满4人
坐不满1人，2人或是3人
讲解1—1：怎样租船才能“至少”呢？
每条船尽量坐满四人，多出的人可在租一条船。
预设1：○○○○ ○○○○ ○○○○ ○○○○ ○○○○ ○○
预设2： 4，4，4，4，4，2
预设3：
22÷4=5（条）……2（人）
反思2-1：求要租几条船，就是求22里有几个4，应该用除法解答。
讲解2-1：竖式中每个数的含义以及租6条船的道理。
还多出2人，应该再租1条船，一共要租6条船。
例2.出租车收费标准每千米1.5元（不足一千米按一千米算）
反思1-1：怎样计算出租车费？
3km ：3个1.5元 7km： 7个1.5元
讲解1-1：全程按单价计费
出租车收费标准：3km以内7元，超过3km，每千米1.5元（不足一千米按一千米算） 反思1-2：怎样计算出租车费？
3km ：7元 7km： 7元和4个1.5元
讲解1-2：分段计费
3km以内；超过3km
反思1-3：两种收费标准有什么异同？你喜欢那种收费标准？
讲解1-3：
少算：13-10.5=2.5（元）
前3km少算：7-1.5×3=2.5（元）
方法一： 7+1.5×4 方法二： 1.5×7=10.5（元）
=7+6 7-1.5×3=2.5（元）
=13（元） 10.5+2.5=13（元）
反思2-1：
方法一：前面3km應收7元，后面4km按每千米1.5元计算… …
方法二：可以先把7km按每千米1.5元计算，再加上前3km少算的。
讲解2-1：一种是分段来计算，一种是先假设再调整的方法；
分段计费的问题可以用加法计算。
学生学习无疑是为了知识的运用。学学习的目的之一：能够应用学得的数学知识解决实际问题 ，这类“实际问题”广泛来源于现实的生活环境 、工作环境 ，与常见的“数学习题”相比较 ，它没有充分的条件、确定的结论， 至多有一个要解决的目标 ，为了实现解决的目标 ，必须通过数学模型的建立将实际问题抽象成数学问题。
四、可行教学策略
教师的任务在于了解学生的教学现实，并由此出发组织教学。有以下几点， “数学化”视角下的教学策略还应该结合我国的新课标教学，在“数学化”视角下问题解决的可行性策略可以有以下几点：
1.尝试教学情境的创设；无论是教师还是学生对于教学情境的创设都是同样重要的。教师是教学情境创设的指导者，学生是教学情境下的主体，相辅相成，才能推动教学的发展。
2.引导学生独立思考，自主探索，合作交流；我们在前面说过的“数学化”再创造，再创造在我们教学中具有促进教学发展的作用，学生通过独立思考创造不同的解题思路，教师同样也是引导者。
3.重视小学数学教学与社会实践问题的联系；“数学化”本就是立足于现实的，即是数学的现实，在小学教学中我们需要做到的是教学中的“数学化”，引导学生立足现实去思考，而不是跟学生强调“数学化”，相反教师应该将“数学化”巧妙运用到教学中。
4.引导学生正确认知问题，对知识或理论的发生发展及其应用有一定的理解能力，提高学生接受，巩固数学知识的能力，提高学生自身思维和解决问题的能力。教师要把各种问题加以归类，使之系统化，引导学生进行比较，渗透对数学思想和数学方法的探索。
5.要合理设计问题，好的问题能诱发学生的学习动机，启迪思维，激发求知欲望，基于情景问题，尽可能的吸引人，问题的设计还应具有较强的“再生力”。要注意提炼基本方法，在“问题解决”教学中，基本技能和方法在学习过程中有着特别重要的意义。
弗赖登塔尔的“数学化”教学理念于我而言还有很多需要研究学习的，如何将其正确地应用到我的教学中，也是我接下来需要不断刻苦研究的。
参考文献：
[1]刘祥伟. 对弗赖登塔尔“数学化”的再认识[J]. 重庆师范学院学报（自然科学版），2001，（02）：82-85.
[2]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，译.上海：上海教育出版社，1995.
[3]张奠宙，戴再平，唐瑞芬， 等.数学教育研究导引[M].南京：江苏教育出版社， 1998 .
【关键词】数学化 再创造 问题解决 教学策略
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）16-0138-02
生活在21世纪的我们，再去重新学习弗赖登塔尔的数学教学理念，不免要加上我们自己的认识，以及结合新课标的教学去更好的实施，落实到我们的数学教学中。弗赖登塔尔反对死记硬背，提倡讨论式，指导式的教学形式，反对传统的讲演式教学。
一、数学化的涵义
数学化也可以称为数字化，字符化。在各门科学研究实践中广泛应用数学方法的整个实施过程。是指随着人类社会发展和科学进步、数学广泛渗透到自然科学和社会各领域。即是把数字的高度抽象性、严格逻辑性、语言简明性、广泛实用性集中用于人类进行理论思维、逻辑分桥、认识客观世界的一种辅助工具和表现手段，以达到规范系统的高度。简单来讲现在我们对于“数学化”的认识就是将数学学科所有的抽象性，逻辑性运用到现实生活以及其他学科之中。弗赖登塔尔认为 ：数学化就是数学地组织现实世界的过程。同时他所强调的数学化的对象可分为两类，一类是现实客观事物 ，另一类是数学本身 ，以此为依据数学化思想被分解为两大类 ：横向数学化和纵向数学化。[1]
“数学化”的教学涵义，弗赖登塔尔曾经说过：“与其说是学数学倒不如说是学习“数学化”，与其说是学习公理系统，还不如说是学习“公理化，与其说是学习形式体系，倒不如说是学习形式化。”就我自己对于“数学化”教育的理解就是立足于现实，抛开单纯的知识传授，数学的学习是让我们的学生能将在课堂上所学到的运用于实际生活中。
而我们上面所说到的弗赖登塔尔将“数学化”分为横向数学化和纵向数学化。横向数学化我们也称之為水平数学化，这种数学化模式主要是通过模型将实际问题抽象为数学模型，具有生活数学数学化之称。纵向数学化我们也经常将其说为垂直数学化，这种数学化模式是数学问题的重组，以及数学内部知识的迁移调整，具有有序性，也是对数学问题的进一步抽象。这两种数学化的形式跟我们前面所说的水平数学化和垂直数学化又是不谋而合。个人比较推崇在小学教育中还是应该以水平数学化为主，从小培养学生对于数学的正确认识，在教学中不乏要培养学生的兴趣，教育学家乌申斯基说“没有任何兴趣，而被迫进行的学习会扼杀学生掌握知识的意愿。”
二、“再创造”原则
弗赖登塔尔认为存在两种数学，一种是现成的数学，一种是创新的数学。我们在谈“数学化”就不得不谈到“再创造”，他同样是弗赖登塔尔“数学化”思想下的重要组成部分。既然学习数学的过程是一种“数学化”的过程，他认为唯一可行的方法就是让学生进行“再创造”的学习。“再创造”就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来。他说：“这是儿童学习数学最自然的、也是最有效的方法。”[2]48而再创造在我们现代的小学教学中到底有什么启示作用呢？例如我们创作一个电影剧本，剧本完成后在拍摄的过程中演员们会不断的根据剧情需要以及自己对于角色的理解对剧本进行修改，往往拍出来的电影跟原先的剧本就有着许多不同，但是观众却会更喜欢。然而我们忽略了“再创造”的重要性，数学化中的再创造可以将数学历史缩短，可以将数学历史与现实统一。
三、“数学化”与问题解决
美国数学教师协会（NCTM）于 1980 年 4 月公布了文件《关于行动的议程》（An Agenda For Action），该文件指出：“20 世纪 80 年代的数学大纲 ，应当在各年级介绍数学的应用， 把学生引进问题解决中去。”“数学课堂应当围绕问题解决来组织 。”“数学教师应当创造一种使问题解决得以蓬勃发展的课堂环境。” ，并且明确提出 ：把“问题解决”作为“学校数学的核心”[3]在数学教学中，传统教学认为问题解决就是数学知识的应用过程，就是学生在课堂上所学到的数学知识能充分运用的数学题目的解答中，那便是学以致用。在“数学化”视角下我们应该赋予问题解决更高层次的理解，问题的解决不应该仅仅是知识的运用过程，在这个过程里更应该加入学生自身对于问题的理解思考，同样的需要从实际出发，在现实思考中解决问题。
例1.22个学生去划船，每条船最多坐四人，他们要租多少条船？
（1）从题目中我们能得到什么？
信息一：22个学生去划船；信息二：每条船最多坐四人。
（2）他们至少要租多少条船？
反思1—1：“每条船最多坐四人”是什么意思？
每条船：坐满4人
坐不满1人，2人或是3人
讲解1—1：怎样租船才能“至少”呢？
每条船尽量坐满四人，多出的人可在租一条船。
预设1：○○○○ ○○○○ ○○○○ ○○○○ ○○○○ ○○
预设2： 4，4，4，4，4，2
预设3：
22÷4=5（条）……2（人）
反思2-1：求要租几条船，就是求22里有几个4，应该用除法解答。
讲解2-1：竖式中每个数的含义以及租6条船的道理。
还多出2人，应该再租1条船，一共要租6条船。
例2.出租车收费标准每千米1.5元（不足一千米按一千米算）
反思1-1：怎样计算出租车费？
3km ：3个1.5元 7km： 7个1.5元
讲解1-1：全程按单价计费
出租车收费标准：3km以内7元，超过3km，每千米1.5元（不足一千米按一千米算） 反思1-2：怎样计算出租车费？
3km ：7元 7km： 7元和4个1.5元
讲解1-2：分段计费
3km以内；超过3km
反思1-3：两种收费标准有什么异同？你喜欢那种收费标准？
讲解1-3：
少算：13-10.5=2.5（元）
前3km少算：7-1.5×3=2.5（元）
方法一： 7+1.5×4 方法二： 1.5×7=10.5（元）
=7+6 7-1.5×3=2.5（元）
=13（元） 10.5+2.5=13（元）
反思2-1：
方法一：前面3km應收7元，后面4km按每千米1.5元计算… …
方法二：可以先把7km按每千米1.5元计算，再加上前3km少算的。
讲解2-1：一种是分段来计算，一种是先假设再调整的方法；
分段计费的问题可以用加法计算。
学生学习无疑是为了知识的运用。学学习的目的之一：能够应用学得的数学知识解决实际问题 ，这类“实际问题”广泛来源于现实的生活环境 、工作环境 ，与常见的“数学习题”相比较 ，它没有充分的条件、确定的结论， 至多有一个要解决的目标 ，为了实现解决的目标 ，必须通过数学模型的建立将实际问题抽象成数学问题。
四、可行教学策略
教师的任务在于了解学生的教学现实，并由此出发组织教学。有以下几点， “数学化”视角下的教学策略还应该结合我国的新课标教学，在“数学化”视角下问题解决的可行性策略可以有以下几点：
1.尝试教学情境的创设；无论是教师还是学生对于教学情境的创设都是同样重要的。教师是教学情境创设的指导者，学生是教学情境下的主体，相辅相成，才能推动教学的发展。
2.引导学生独立思考，自主探索，合作交流；我们在前面说过的“数学化”再创造，再创造在我们教学中具有促进教学发展的作用，学生通过独立思考创造不同的解题思路，教师同样也是引导者。
3.重视小学数学教学与社会实践问题的联系；“数学化”本就是立足于现实的，即是数学的现实，在小学教学中我们需要做到的是教学中的“数学化”，引导学生立足现实去思考，而不是跟学生强调“数学化”，相反教师应该将“数学化”巧妙运用到教学中。
4.引导学生正确认知问题，对知识或理论的发生发展及其应用有一定的理解能力，提高学生接受，巩固数学知识的能力，提高学生自身思维和解决问题的能力。教师要把各种问题加以归类，使之系统化，引导学生进行比较，渗透对数学思想和数学方法的探索。
5.要合理设计问题，好的问题能诱发学生的学习动机，启迪思维，激发求知欲望，基于情景问题，尽可能的吸引人，问题的设计还应具有较强的“再生力”。要注意提炼基本方法，在“问题解决”教学中，基本技能和方法在学习过程中有着特别重要的意义。
弗赖登塔尔的“数学化”教学理念于我而言还有很多需要研究学习的，如何将其正确地应用到我的教学中，也是我接下来需要不断刻苦研究的。
参考文献：
[1]刘祥伟. 对弗赖登塔尔“数学化”的再认识[J]. 重庆师范学院学报（自然科学版），2001，（02）：82-85.
[2]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，译.上海：上海教育出版社，1995.
[3]张奠宙，戴再平，唐瑞芬， 等.数学教育研究导引[M].南京：江苏教育出版社， 1998 .