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整式乘法与图形面积之间有很强的关联性——面积的表示必然出现二次式,而简单的整式乘法恰是两个一次式的积。因此当出现二次式的运算时,我们经常通过图形对其解读,进而达到事半功倍的效果。下面通过几个公式说明两者之间的关系。
一、教材知识回顾
1.单项式乘多项式——乘法分配律。
我们都知道乘法分配律公式为a(b c)=ab ac,但对于这个等式是如何生成的,大部分同学却不知道。下面用图形面积的不同表示方法来说明。
如图1,长方形ABCD中,EF将其分成两个小的长方形,AB=a,AE=b,ED=c。试用两种方法表示长方形ABCD的面积。
从整体看,S长方形ABCD=a(b c),从部分看,S长方形ABCD=ab ac,因此a(b c)=ab ac。
2.多项式乘多项式。
由于已经有了生成单项式乘多项式公式的经验,探寻多项式乘多项式的变形规律,只要类比即可。
先构造如图2所示的长方形,EF、GH将其分成四个小长方形。用两种不同方法表示其面积。
从整體看S长方形ABCD=(a b)(m n),从从上面我们可以看出:借助图形既可以进行整式乘法运算,也可对运算结果进行验证,甚至可以逆向运算,进行二次三项式的因式分解。
二、类比应用
1.通过面积的表示,探究完全平方式的变形规律并应用。
问题1:如图3是一个长为4a、宽为b的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成4块小长方形,然后用4块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图4)。
(1)图4中的阴影部分的面积为;
(2)观察图4,(a b)2、(a-b)2、ab之间的等量关系是=5,xy=4,则x-y=。9;(3)根据(2)中的结论,若x y
2.通过面积的表示,探究二次三项式的因式分解,并理解多项式乘法与因式分解的关系。
问题2:一天,小嘉在玩纸片拼图游戏时,发现利用图5中的三种材料各若干,可以拼出一些长方形来解释某些等式。比如,图6可以解释(a 2b)(a b)=a2 3ab 2b2。
(1)图7可以解释为等式:;
(2)用图5中的基本图形若干块(每种至少用一次)拼成一个长方形,使拼出的长方形面积为2a2 3ab b2,请画出示意图,同时在图中标出这个长方形的长和宽,并将多项式2a2 3ab b2因式分解。
3.通过合理分割长方形,探究多项式乘法与二次三项式的因式分解,进一步领会数形结合思想。
问题3:【活动材料】有若干如图5所示的长方形和正方形硬纸片。
【活动要求】用若干块以上硬纸片拼成一个新长方形(或正方形),通过不同的方法计算面积,探索相应的等式。
(1)小明在活动时想拼出一个两边长分别为(a 3b)、(a b)的长方形,则他需要乙型纸片张,丙型纸片张;(2)试借助拼图的方法,把二次三项式6a2 7ab 2b2分解因式(要求画出图形,并分解因式);(3)小颖在活动时,共制作了20张硬纸片(每种硬纸片至少一张),用这20张硬纸片能否拼成一个新正方形?
4.通过拼图尝试,开拓思维,进一步提升对知识的理解。
问题4:活动材料、要求与问题3的相同。
(1)请选择适当形状和数量的硬纸片,拼出面积为2b2 3ab a2的长方形,画出拼法示意图;(2)从这三种硬纸片中选择一些拼出面积为12ab的不同形状的长方形,则这些长方形的周长共有种不同情况;(3)现有甲型纸片1张,乙型纸片4张,则应至少取丙型纸片张才能用它们拼成一个新的正方形;(4)取其中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形,使其面积为a2 nab 24b2,则n可能的整数值有个。
(作者单位:江苏省宿迁市钟吾国际学校)
一、教材知识回顾
1.单项式乘多项式——乘法分配律。
我们都知道乘法分配律公式为a(b c)=ab ac,但对于这个等式是如何生成的,大部分同学却不知道。下面用图形面积的不同表示方法来说明。
如图1,长方形ABCD中,EF将其分成两个小的长方形,AB=a,AE=b,ED=c。试用两种方法表示长方形ABCD的面积。
从整体看,S长方形ABCD=a(b c),从部分看,S长方形ABCD=ab ac,因此a(b c)=ab ac。
2.多项式乘多项式。
由于已经有了生成单项式乘多项式公式的经验,探寻多项式乘多项式的变形规律,只要类比即可。
先构造如图2所示的长方形,EF、GH将其分成四个小长方形。用两种不同方法表示其面积。
从整體看S长方形ABCD=(a b)(m n),从从上面我们可以看出:借助图形既可以进行整式乘法运算,也可对运算结果进行验证,甚至可以逆向运算,进行二次三项式的因式分解。
二、类比应用
1.通过面积的表示,探究完全平方式的变形规律并应用。
问题1:如图3是一个长为4a、宽为b的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成4块小长方形,然后用4块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图4)。
(1)图4中的阴影部分的面积为;
(2)观察图4,(a b)2、(a-b)2、ab之间的等量关系是=5,xy=4,则x-y=。9;(3)根据(2)中的结论,若x y
2.通过面积的表示,探究二次三项式的因式分解,并理解多项式乘法与因式分解的关系。
问题2:一天,小嘉在玩纸片拼图游戏时,发现利用图5中的三种材料各若干,可以拼出一些长方形来解释某些等式。比如,图6可以解释(a 2b)(a b)=a2 3ab 2b2。
(1)图7可以解释为等式:;
(2)用图5中的基本图形若干块(每种至少用一次)拼成一个长方形,使拼出的长方形面积为2a2 3ab b2,请画出示意图,同时在图中标出这个长方形的长和宽,并将多项式2a2 3ab b2因式分解。
3.通过合理分割长方形,探究多项式乘法与二次三项式的因式分解,进一步领会数形结合思想。
问题3:【活动材料】有若干如图5所示的长方形和正方形硬纸片。
【活动要求】用若干块以上硬纸片拼成一个新长方形(或正方形),通过不同的方法计算面积,探索相应的等式。
(1)小明在活动时想拼出一个两边长分别为(a 3b)、(a b)的长方形,则他需要乙型纸片张,丙型纸片张;(2)试借助拼图的方法,把二次三项式6a2 7ab 2b2分解因式(要求画出图形,并分解因式);(3)小颖在活动时,共制作了20张硬纸片(每种硬纸片至少一张),用这20张硬纸片能否拼成一个新正方形?
4.通过拼图尝试,开拓思维,进一步提升对知识的理解。
问题4:活动材料、要求与问题3的相同。
(1)请选择适当形状和数量的硬纸片,拼出面积为2b2 3ab a2的长方形,画出拼法示意图;(2)从这三种硬纸片中选择一些拼出面积为12ab的不同形状的长方形,则这些长方形的周长共有种不同情况;(3)现有甲型纸片1张,乙型纸片4张,则应至少取丙型纸片张才能用它们拼成一个新的正方形;(4)取其中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形,使其面积为a2 nab 24b2,则n可能的整数值有个。
(作者单位:江苏省宿迁市钟吾国际学校)