单球面球心棱椎的体积
　　田德华  甘肃省定西市陇西县首阳初级中学  748106

【摘要】本文首先是改正了以前的球面多边形的面积公式，然后定义了单球面球心棱锥，最后研究了单球面球心棱锥的体积公式。设单球面球心

棱锥，则它的体积为：

其中

为构成单球面球心棱锥的球面多边形的第

个内角.

【关键词】大圆;对径点;球面多边形;单球面球心棱锥.

　　文献【1】中利用旋转的方法得到了球面多边形的面积公式，在学习了之后，发现了错误，也得到了提示，在此基础上得到新的公式，并定义了单球面球心棱锥，同时也得到了单球面球心棱锥的体积公式。特别说明：本文有很多地方借鉴了原文的方法与内容，从而对于引用原文的地方不做一一的说明。
　　1  改正原有的球面多边形的面积公式
　　文献【1】中利用旋转的方法得到了球面多边形的面积公式：

，该公式是错误的;但是作者在研究过程中的方法是值得借鉴的。原文中利用旋转的方法得到球面积与球面二边形的面积之比为

，从而有

，即

，故

或

，以至于导致了最后的结论是错的.发生上述错误的原因是，在式子

中，等号左边的

表示的是圓周率，而等号右边的

表示的是弧度，所以两边不能同时除以

。为了以防再次发生错误，将旋转角改为角度表示，得到的球面多边形的面积公式为：
　　

。 　　2  单球面球心椎体的概念
　　如图1所示，将球心与球面二边形^【1】

的每个顶点连接，得到的空间几何体（为

）称为单球面球心二棱锥（或称为单球面三面体），其中球面二边形

为它的底面，扇形

—

和

—

为它的侧面，

和

为它的两个底面内角，

为它的球心顶点.
　　如图2所示，连接球心

与球面三边形^【1】

的三个顶点

、

、

，构成一个单球面球心三棱锥

—

，其中球面三边形

是它的底面，扇形

、

、

為它的侧面，

、

、

是它的三个底面内角，

为它的球心顶点. 　　类似可以定义单球面球心

棱锥，球面上

个点

、

、…、



，没有两点是对径点，弧都

、

、…、

是球面上的大圆的弧，则

是球面边形，然后连接球心

与

、

、…

、

，这时构成的空间几何体

叫单球面球心

棱锥.
　　3 单球面椎体的体积
　　命題1 单球面球心二棱锥的体积为：

或


　　其中

与

为单球面球心二棱锥的底面内角. 　　


　　證明 如图1所示，球面角

与

的大小，由平面角

与

度量.从而两个平面角

与

相等，即有

^【1】.
　　已知半径为

的球体体积为

.由于球体可以看成把半圆

绕直径

旋转一个周角

时所得，从而

可以看成半圆

绕直径

旋转球面角

时所得.所以球体体积

与单球面球心二棱锥体积

之比为

，即有 　　


　　


　　从而有
　　

或


　　命题2  单球面球心三棱锥的体积

为：

，其中

为构成单球面球心三棱锥的球面三边形的三个内角.
　　


　　证明  如图2所示的阴影部分，是由三段大圆弧

为边的球面三边形

，则单球面球心三棱锥

的体积记为

.類似地，由三段大圆弧

为边的球面三边形

，则单球面球心三棱锥

的体积记为

.由图2看出，单球面球心三棱锥

和

合并在一起恰好就是单球面球心二棱锥，由命题1可得：
　　

   （1） 　　同理有
　　

   （2）
　　

    （3）
　　由于单球面球心三棱锥

与

关于球心

对称，所以

，从而（3）式可以改写为：
　　

   （3）*
　　将（1）（2）（3）*两边分别相加，得
　　

    （4）
　　由于（4）式左端的第二个括号的4个体积的和恰好为半球体的体积，应为

.所以（4）可以化简为：
　　


　　即

或


　　定理  设构成单球面球心

棱锥的球面边形的

个内角的大小分别为

，则该单球面球心

棱錐的体积

为：
　　

，

.
　　证明  （1）当

时，此时为单球面球心二棱锥的情况，由命题（1）可知，本命题成立.
　　（2）假设命题

时成立，即对于任一单球面球心

棱锥的体积为：
　　


　　下面证明命题对于

时也成立，即证明

成立.
　　参考文献：
　　[1]刘世泽.球面多边形面积[J].高等函授学报（自然科学版），2005（1）.