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概念一：正数和负数的概念
（1） 像3、1.5、584等大于0的数，叫作正数，在小学学过的数，除0以外都是正数，正数比0大.
（2） 像-3、-1.5、-584等在正数前面加“-”（读作负）号的数，叫作负数. 负数比0小.
（3） 0既不是正数也不是负数，0是正数和负数的分界.
【注意】①正数和负数是根据实际需要而产生的，随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要，比如一些有相反意义的量：收入100元和支出100元、零上6 ℃和零下6 ℃等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎样表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的量规定为负的，这样就产生了正数和负数.
用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的，但习惯地把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负.
②为了强调，正数前面有时也可以加上“ ”（读作正）号.
例如：3、1.5也可以写作 3、 1.5.
③对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“ ”号的数是正数，带“-”号的数是负数.
例如：-a一定是负数吗？答案是不一定，因为字母a可以表示任意的数.若a表示的是正数3，则-a是负数-3；若a表示的是0，则-a仍是0；当a表示负数-2时，-a就不是负数了（此时-a是正数2）.
【应用】若把向北走7 km记为-7 km，则 10 km表示的含义是（ ）.
A. 向北走10 km B. 向西走10 km
C. 向东走10 km D. 向南走10 km
【思路点拨】“正”和“负”相对，-7 km表示向北走7 km，则 10 km表示向南走10 km.
【答案】D.
【总结】在一对具有相反意义的量中，若先规定一个为正，则另一个就用负表示；若先规定一个为负，则另一个就用正表示.
概念二：有理数和无理数的有关概念
（1） 有理数：我们把能够写成分数形式（m、n是整数，n≠0）的数叫作有理数.
【注意】①“分数形式”，整数也可以看作是分母为1的分数形式，这时的分数形式包括整数.
但是本节中的分数不包括分母是1的分数.
②因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来表示，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数.
③“0”既不是正数，也不是负数，但“0”是整数.
④整数包括正整数、零、负整数. 例如：1、2、3、0、-1、-2、-3等.
⑤分数包括正分数和负分数，例如： 0.6、-0.6等.
（2） 无理数：无限不循环小数叫作无理数.
【注意】①无理数应该满足的条件：是小数、是不循环的、是无限的.
②小数的范围大，小数中既有有理数也有无理数，其中有限小数都是有理数，而无限小数又分为两类：其中循环的还是有理数，不循环的才是无理数.
③无理数常见形式：（1） 含有π，也就是3.141 592 6……这类的，只要和π有关系的基本上都是无理数（计算结果π不能消失）. （2） 描述型的，如“面积是2的正方形的边长”.（3） 构造的无限不循环小数：如0.101 001 000 100 001……，它有规律，但是这个规律是不循环的，每次都多一个0，它是无限不循环小数，当然是无理数. 但是无限循环小数不是无理数.
（3） 有理数和无理数的区别：①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、有限小数或无限循环小数，比如4=4.0，=0.8，=0.333 33……. 而无理数只能写成无限不循环小数，比如1.414 213 562……. 根据这一点，人们把无理数定义为无限不循环小数.
②无理数不能写成分数形式.
【注意】有理数≠无理数.
【应用】请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里. 1， 0.070 8， -700， -3.88， 0， 3.141 592 65.
正整数集合：{ …}
负整数集合：{ …}
整数集合：{ …}
正分数集合：{ …}
负分数集合：{ …}
分数集合：{ …}
【思路点拨】这种关于有理数的分类问题，关键是要掌握各种数的概念. 小学时所学的自然数就是正整数和零，进入中学，出现了负整数，而整数的范围就扩大到了正整数、零和负整数. 有限小数和无限循环小数都可以写成分数的形式，因此，它们都是分数.
【解析】正整数：1；
负整数：-700；
整数：1，0，-700；
正分数：0.070 8，3.141 592 65；
负分数：-3.88；
分数：0.070 8，3.141 592 65，-3.88.
【总结升华】有理数包括整数和分数，分数包含有限小数和无限循环小数，但须注意的是，不是所有的小数都是分数，比如π等无限不循环小数都是无理数. 所以，我们也不能说小学学过的所有数都是有理数，还有一部分数是无理数.
概念三：数轴的概念
（1） 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴
【注意】①数轴的定义包含三层含义：数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；数轴有三要素——原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的（通常取向右为正方向）. ②在确定单位长度时，根据实际情况，有时也可以每隔两个（或更多的）单位长度取一点，从原点向右，依次表示为2，4，
6，……；从原点向左，依次表示为-2，-4，-6，…….
（2） 数轴上的点与有理数、无理数的关系
所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数.
【要点诠释】正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示.
（3） 利用数轴比较有理数的大小
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数.
【应用】数轴上有一点到原点的距离是5.5，那么这个点表示的数是_________.
【思路点拨】到原点的距离等于5.5 的点既可以在原点左边，也可以在原点右边，因此这样的点有两个.
【解析】5.5或-5.5.
【总结】与数轴相关的问题还有数轴的画法以及借助数轴来比较有理数的大小.
概念四：绝对值的概念
（1） 绝对值的几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，数a的绝对值记作a.
（2） 绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
概念五：相反数的概念
（1） 相反数的几何定义：在数轴上原点的两旁，到原点距离相等的两个点所表示的数，叫作互为相反数.
（2） 相反数的代数定义：只有符号不同的两个数（除了符号不同以外完全相同），我们说其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0.
【注意】①“只”字是说仅仅是符号不同，其他部分完全相同；②相反数是数，不是量；③相反数是成对出现的.
（3） 相反数的表示方法
一般地，数a的相反数是-a. 这里a表示任意的一个数，可以是正数、负数或者0.
（4） 多重符号的化简
把多重符号化成单一符号，如果是正号，则可以省略不写，实际上多重符号的化简是由“-”的个数来定，若“-”的个数为偶数个时，化简结果为正，如-{-[-（-4）]}=4；若“-”的个数为奇数个时，化简结果为负，如-{ [-（-4）]}=-4 .
①在一个数的前面添上一个“ ”号，仍然与原数相同，如 5=5， （-5）=-5.
②在一个数的前面添上一个“-”号，就成为原数的相反数. 如-（-3）就是-3的相反数，因此，-（-3）=3.
（5） 两个负数大小的比较
因为两个负数在数轴上的位置关系是：绝对值较大的负数一定在绝对值较小的负数的左边，所以，两个负数，绝对值大的反而小. 比较两个负数大小的方法是：①先分别求出这两个负数的绝对值；②比较这两个绝对值的大小；③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断.
（6） 有理数大小的比较法则
正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小.
【应用】（1） 数轴上点A对应的数为-3，那么与A相距1个单位长度的点B所对应的数是_________.
（2） 3的相反数是_________，-3与_________互为相反数.
（3） -m的相反数是______，-m 1的相反数是______，m 1的相反数是________.
（4） 0的相反数是_________.
（5） 已知a=9，那么a的相反数是_______.已知a=-9，则a的相反数是_______.
【思路点拨】（1） 代数意义：只有符号不同的两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0. 相反数必须成对出现，不能单独存在. 例如 5和-5互为相反数，或者说 5是-5的相反数，-5是 5的相反数，而单独的一个数不能说是相反数. 另外，定义中的“只有”指除符号以外，两个数完全相同，注意应与“只要符号不同”区分开. 例如， 3与-3互为相反数，而 3与-2虽然符号不同，但它们不是相反数.
（2） 几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等. 这两点是关于原点对称的.
（3） 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可. 一般地，数a的相反数是-a；这里以a表示任意一个数，可以为正数、0、负数，也可以是任意一个代数式. 注意-a不一定是负数.
【解析】（1） -4或-2；（2） -3，3；（3） m，-（-m 1），-（m 1）；（4） 0；（5） -9， 9.
【总结升华】求相反数时，要紧紧抓住“只有符号不同”这一条件，即“符号不同而数字相同”的两个数.
（作者单位：江苏省连云港市赣榆外国语学校）
（1） 像3、1.5、584等大于0的数，叫作正数，在小学学过的数，除0以外都是正数，正数比0大.
（2） 像-3、-1.5、-584等在正数前面加“-”（读作负）号的数，叫作负数. 负数比0小.
（3） 0既不是正数也不是负数，0是正数和负数的分界.
【注意】①正数和负数是根据实际需要而产生的，随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要，比如一些有相反意义的量：收入100元和支出100元、零上6 ℃和零下6 ℃等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎样表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的量规定为负的，这样就产生了正数和负数.
用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的，但习惯地把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负.
②为了强调，正数前面有时也可以加上“ ”（读作正）号.
例如：3、1.5也可以写作 3、 1.5.
③对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“ ”号的数是正数，带“-”号的数是负数.
例如：-a一定是负数吗？答案是不一定，因为字母a可以表示任意的数.若a表示的是正数3，则-a是负数-3；若a表示的是0，则-a仍是0；当a表示负数-2时，-a就不是负数了（此时-a是正数2）.
【应用】若把向北走7 km记为-7 km，则 10 km表示的含义是（ ）.
A. 向北走10 km B. 向西走10 km
C. 向东走10 km D. 向南走10 km
【思路点拨】“正”和“负”相对，-7 km表示向北走7 km，则 10 km表示向南走10 km.
【答案】D.
【总结】在一对具有相反意义的量中，若先规定一个为正，则另一个就用负表示；若先规定一个为负，则另一个就用正表示.
概念二：有理数和无理数的有关概念
（1） 有理数：我们把能够写成分数形式（m、n是整数，n≠0）的数叫作有理数.
【注意】①“分数形式”，整数也可以看作是分母为1的分数形式，这时的分数形式包括整数.
但是本节中的分数不包括分母是1的分数.
②因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来表示，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数.
③“0”既不是正数，也不是负数，但“0”是整数.
④整数包括正整数、零、负整数. 例如：1、2、3、0、-1、-2、-3等.
⑤分数包括正分数和负分数，例如： 0.6、-0.6等.
（2） 无理数：无限不循环小数叫作无理数.
【注意】①无理数应该满足的条件：是小数、是不循环的、是无限的.
②小数的范围大，小数中既有有理数也有无理数，其中有限小数都是有理数，而无限小数又分为两类：其中循环的还是有理数，不循环的才是无理数.
③无理数常见形式：（1） 含有π，也就是3.141 592 6……这类的，只要和π有关系的基本上都是无理数（计算结果π不能消失）. （2） 描述型的，如“面积是2的正方形的边长”.（3） 构造的无限不循环小数：如0.101 001 000 100 001……，它有规律，但是这个规律是不循环的，每次都多一个0，它是无限不循环小数，当然是无理数. 但是无限循环小数不是无理数.
（3） 有理数和无理数的区别：①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、有限小数或无限循环小数，比如4=4.0，=0.8，=0.333 33……. 而无理数只能写成无限不循环小数，比如1.414 213 562……. 根据这一点，人们把无理数定义为无限不循环小数.
②无理数不能写成分数形式.
【注意】有理数≠无理数.
【应用】请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里. 1， 0.070 8， -700， -3.88， 0， 3.141 592 65.
正整数集合：{ …}
负整数集合：{ …}
整数集合：{ …}
正分数集合：{ …}
负分数集合：{ …}
分数集合：{ …}
【思路点拨】这种关于有理数的分类问题，关键是要掌握各种数的概念. 小学时所学的自然数就是正整数和零，进入中学，出现了负整数，而整数的范围就扩大到了正整数、零和负整数. 有限小数和无限循环小数都可以写成分数的形式，因此，它们都是分数.
【解析】正整数：1；
负整数：-700；
整数：1，0，-700；
正分数：0.070 8，3.141 592 65；
负分数：-3.88；
分数：0.070 8，3.141 592 65，-3.88.
【总结升华】有理数包括整数和分数，分数包含有限小数和无限循环小数，但须注意的是，不是所有的小数都是分数，比如π等无限不循环小数都是无理数. 所以，我们也不能说小学学过的所有数都是有理数，还有一部分数是无理数.
概念三：数轴的概念
（1） 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴
【注意】①数轴的定义包含三层含义：数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；数轴有三要素——原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的（通常取向右为正方向）. ②在确定单位长度时，根据实际情况，有时也可以每隔两个（或更多的）单位长度取一点，从原点向右，依次表示为2，4，
6，……；从原点向左，依次表示为-2，-4，-6，…….
（2） 数轴上的点与有理数、无理数的关系
所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数.
【要点诠释】正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示.
（3） 利用数轴比较有理数的大小
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数.
【应用】数轴上有一点到原点的距离是5.5，那么这个点表示的数是_________.
【思路点拨】到原点的距离等于5.5 的点既可以在原点左边，也可以在原点右边，因此这样的点有两个.
【解析】5.5或-5.5.
【总结】与数轴相关的问题还有数轴的画法以及借助数轴来比较有理数的大小.
概念四：绝对值的概念
（1） 绝对值的几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，数a的绝对值记作a.
（2） 绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
概念五：相反数的概念
（1） 相反数的几何定义：在数轴上原点的两旁，到原点距离相等的两个点所表示的数，叫作互为相反数.
（2） 相反数的代数定义：只有符号不同的两个数（除了符号不同以外完全相同），我们说其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0.
【注意】①“只”字是说仅仅是符号不同，其他部分完全相同；②相反数是数，不是量；③相反数是成对出现的.
（3） 相反数的表示方法
一般地，数a的相反数是-a. 这里a表示任意的一个数，可以是正数、负数或者0.
（4） 多重符号的化简
把多重符号化成单一符号，如果是正号，则可以省略不写，实际上多重符号的化简是由“-”的个数来定，若“-”的个数为偶数个时，化简结果为正，如-{-[-（-4）]}=4；若“-”的个数为奇数个时，化简结果为负，如-{ [-（-4）]}=-4 .
①在一个数的前面添上一个“ ”号，仍然与原数相同，如 5=5， （-5）=-5.
②在一个数的前面添上一个“-”号，就成为原数的相反数. 如-（-3）就是-3的相反数，因此，-（-3）=3.
（5） 两个负数大小的比较
因为两个负数在数轴上的位置关系是：绝对值较大的负数一定在绝对值较小的负数的左边，所以，两个负数，绝对值大的反而小. 比较两个负数大小的方法是：①先分别求出这两个负数的绝对值；②比较这两个绝对值的大小；③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断.
（6） 有理数大小的比较法则
正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小.
【应用】（1） 数轴上点A对应的数为-3，那么与A相距1个单位长度的点B所对应的数是_________.
（2） 3的相反数是_________，-3与_________互为相反数.
（3） -m的相反数是______，-m 1的相反数是______，m 1的相反数是________.
（4） 0的相反数是_________.
（5） 已知a=9，那么a的相反数是_______.已知a=-9，则a的相反数是_______.
【思路点拨】（1） 代数意义：只有符号不同的两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0. 相反数必须成对出现，不能单独存在. 例如 5和-5互为相反数，或者说 5是-5的相反数，-5是 5的相反数，而单独的一个数不能说是相反数. 另外，定义中的“只有”指除符号以外，两个数完全相同，注意应与“只要符号不同”区分开. 例如， 3与-3互为相反数，而 3与-2虽然符号不同，但它们不是相反数.
（2） 几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等. 这两点是关于原点对称的.
（3） 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可. 一般地，数a的相反数是-a；这里以a表示任意一个数，可以为正数、0、负数，也可以是任意一个代数式. 注意-a不一定是负数.
【解析】（1） -4或-2；（2） -3，3；（3） m，-（-m 1），-（m 1）；（4） 0；（5） -9， 9.
【总结升华】求相反数时，要紧紧抓住“只有符号不同”这一条件，即“符号不同而数字相同”的两个数.
（作者单位：江苏省连云港市赣榆外国语学校）