平行四边形中的数学思想方法

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  数学思想是对数学内容的进一步提炼和概括,是对数学内容的一种本质认识,数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段,数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力. 抓住数学思想方法,善于迅速调用数学思想方法,更是提高解题能力根本之所在. 为了方便同学们快速解决平行四边形的问题,现将平行四边形中常用的数学思想方法略作介绍如下.
  一、 转化思想
  转化思想要求我们居高临下地抓住问题的实质,在遇到较复杂的问题时,能够辩证地分析问题,通过一定的策略和手段,使复杂的问题简单化,陌生的问题熟悉化,抽象的问题具体化. 具体地说,比如把隐含的数量关系转化为明显的数量关系;把从这一个角度提供的信息转化为从另一个角度提供的信息. 转化的内涵非常丰富,已知与未知、数量与图形、概念与概念、图形与图形之间都可以通过转化,来获得解决问题的转机. 在解决四边形有关问题时,常利用转化思想,通过添加适当的辅助线,把四边形转化为三角形,或把一般四边形转化为特殊四边形等.
  例1 如图1,△ABC中,AB=8,AC=6. AD是BC边上的中线,则AD的取值范围是_________.
  【分析】要确定AD的取值范围,联想到三角形三边关系,但又不能把AB、AC和AD放在同一个三角形里,故不能直接利用三角形三边关系,由AD是中线,联想到延长中线,得到平行四边形,得AB=CE,将已知量与未知量集中到三角形中来求解.
  解:延长AD到点E,使DE=AD,连接BE、CE.
  ∵BD=CD,∴四边形ABEC是平行四边形,∴CE=AB=8,在△ACE中,8-6  【点评】当题中有三角形的中线时,可延长中线,构造平行四边形,这种作辅助线的方法在解题中经常用到,要注意掌握.
  例2 如图2,在?ABCD中,AD=2AB,F是AD的中点,作CE⊥AB,垂足E在线段AB上,连接EF、CF,求证:EF=CF.
  【分析】利用中点F,延长EF交CD于点M,分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF(ASA),得出对应线段之间关系进而得出答案.
  【解答】证明:如图3,延长EF,交CD延长线于点M,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠A=∠MDF,∵F为AD中点,∴AF=FD,在△AEF和△DMF中,
  ∠A=∠FDM,
  AF=DF,
  ∠AFE=∠DFM,
  ∴△AEF≌△DMF(ASA),∴FE=FM,∠AEF=∠M,∵CE⊥AB,∴∠AEC=90°,
  ∴∠AEC=∠ECD=90°,∵FM=EF,∴FC=EF.
  【点评】由中点延长构造全等三角形是本题的关键. 本题也可以过点F作FN∥AB,将问题转化到三角形FEC中,借助“三线合一”解题,同学们可以自己试一试.
  二、 方程思想
  方程和方程组是解决应用题、实际问题和许多方面的数学问题的重要基础知识,应用范围非常广泛. 很多数学问题,特别是有未知数的几何问题,就需要用方程或方程组的知识来解决. 在解决问题时,把某个未知量设为未知数,根据有关的性质、定理或公式,建立起未知数和已知数间的等量关系,列出方程或方程组来解决,这就是方程思想. 具有方程思想就能够很好地求得问题中的未知元素或未知量,这对解决和计算有关的数学问题,特别是综合题,是非常需要的.
  例3 如图4,?ABCD的周长是36,由钝角顶点D向AB、BC引两条高DE、DF,且DE=4,DF=6,求这个平行四边形的面积.
  【分析】由周长可知AB BC=18,由面积可知,DE×AB=DF×BC,即4AB=6CD.
  【解答】设AB为x,CD为y.
  由题意得x y=18,
  4x=6y,解得x
  =,
  y
  =.
  则平行四边形的面积为4x=43.
  【点评】在几何计算中,通过设立未知数,借助几何的定义、公式或题目的条件,建立方程或方程组来解决问题,是一种重要的解题思想方法,是几何问题代数化的体现.
  三、 数形结合
  数学家华罗庚说得好:“数形结合百般好,隔离分家万事休,几何代数统一体,永远联系莫分离. ”几何图形的形象直观,便于理解,代数方法的一般性,解题过程的机械化,可操作性强,便于把握,因此数形结合思想是数学中重要的思想方法. 所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系,既分析其数量关系,又揭示其几何意义,使数量关系和几何图形巧妙地结合起来,并充分地利用这种结合,探求解决问题的思路,使问题得以解决的思考方法.
  例4 在?ABCD中,下列结论一定正确的是( ).
  A. AC⊥BD B. ∠A ∠B=180°
  C. AB=AD D. ∠A≠∠C.
  【分析】由四边形ABCD是平行四边形,画出图形,可得AD∥BC,即可证得∠A ∠B=180°.
  【解答】如图5,∵四边形ABCD是平行四边形,
  ∴AD∥BC,
  ∴∠A ∠B=180°.
  故选B.
  【点评】此题比较简单,注意掌握数形结合思想的应用.
  例5 如图6,将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠,使点C落在点A处,点D落在点E处,直线MN交BC于点M,交AD于点N.
  (1)求证:CM=CN;
  (2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1,求的值.
  【分析】(1)由折叠的性质可得:∠ANM=∠CNM,由四边形ABCD是矩形,可得∠ANM=∠CMN,则可证得∠CMN=∠CNM,继而可得CM=CN;   (2)首先过点N作NH⊥BC于点H,由△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1,易得MC=3ND=3HC,然后设DN=x,由勾股定理,可求得MN的长,继而求得答案.
  【解答】(1)证明:由折叠的性质可得:∠ANM=∠CNM,
  ∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,
  ∴∠ANM=∠CMN,∴∠CMN=∠CNM,
  ∴CM=CN;
  (2)解:如图7,过点N作NH⊥BC于点H,
  则四边形NHCD是矩形,
  ∴HC=DN,NH=DC,
  ∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1,
  ∴===3,
  ∴MC=3ND=3HC,
  ∴MH=2HC,
  设DN=x,则HC=x,MH=2x,
  ∴CM=3x=CN,
  在Rt△CDN中,DC==2x,∴HN=2x,
  在Rt△MNH中,MN==2x,∴==2.
  【点评】此题应用了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及三角形的面积. 注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.
  四、 分类讨论
  分类讨论,就是在研究和解决数学问题时,当问题所给对象不能进行统一研究时,我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点,将对象区分为不同种类,然后逐类进行研究和解决,最后综合各类结果得到整个问题的解决,这一思想方法,我们称之为“分类讨论的思想”. 分类讨论思想本质上是“化整为零,积零为整”. 运用分类讨论思想解题的基本步骤是:(1)确定讨论对象和确定研究的全域;(2)对所讨论的问题进行合理分类(分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级);(3)逐类讨论:即对各类问题进行详细讨论,逐步解决;(4)归纳总结,整合得出结论.
  例6 学校要在花园里栽四棵树,已知其中三棵如图8所示,请你栽上第四棵树,使得这四棵树组成平行四边形.
  【分析】由平行四边形定义可知,AB,AC,BC皆可作平行四边形的对角线,故有三种情况,分别过A,B,C三点作BC,AC,AB的平行线.
  【解答】如图9.
  【点评】明确如何分类是解决本题的关键.
  例7 在?ABCD中,BC边上的高为4,AB=5,AC=2,则?ABCD的周长等于_______.
  【分析】根据题意分别画出图形,BC边上的高可以在平行四边形的内部和外部,进而利用勾股定理求出即可.
  【解答】
  如图10,∵在?ABCD中,BC边上的高为4,AB=5,AC=2,
  ∴EC==2,AB=CD=5,
  BE==3,
  ∴AD=BC=5,
  ∴?ABCD的周长等于20.
  如图11,
  ∵在?ABCD中,BC边上的高为4,AB=5,AC=2,
  ∴EC==2,AB=CD=5,
  BE==3,∴BC=3-2=1,
  ∴?ABCD的周长等于1 1 5 5=12.
  则?ABCD的周长等于12或20.
  【点评】借助三角形的知识可知,BC上的高可以在△ABC内部和外部,准确地画出图形,利用分类讨论得出BC的长是解题关键.
  (作者单位:江苏省连云港市赣榆区外国语学校)
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