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(扬州市邗江区蒋王中学江苏 扬州225126)
最近在辅导物理奥赛模块3-3教学中，遇到如何计算气体做功的训练题中，有些单一热力学变化问题，直接选用做功的公式即可求解，但是更多不是单纯变化过程 (如等温、等压、等容等)的情景，而是一般的变化过程，有的还以气体状态变化图象出现的，解决起来显得很麻烦，甚至是无助.运用气体状态变化P-V图象来进行巧判妙算多过程、较复杂的变化过程中气体做功，就显得十分直观、简洁，有巧劲.
1分析思路
首先，弄清楚一个概念——准静态过程.静态过程是达不到的，比如气体的自由膨胀，由于气体扩散要时间，所以靠近气缸内壁的压强比其他地方小，但当体积扩散时间很短，我们在处理的时候还是认为处处压强一样，这就是准静态过程.压强对于单位体积的变化的弛豫时间是10-8 s，所以我们处理压强时认为它是准静态的！但是温度的弛豫时间就比较长了，当一个变化持续时间比弛豫时间大很多，我们才能认为它是准静态的.
接下来，我们讨论的主要是气体在准静态过程中所做的功，一般处理的方法是用P-V图象表示出来，由图1可知曲线下的面积在数值上等于系统在这一过程中对外界做的功.如果由A→B变化，气体对外界做功；如果由A→B变化，外界对气体做功.
另外，常见以下两种情形：气体各状态变化图象可以按曲线的形状分为不封闭形曲线和封闭曲线.
(1)不封闭型：若需要计算做功大小，需根据题设条件转换得P-V图，然后计算曲线与横坐标轴(即V轴)所围的面积，这个面积就是这个过程中气体所做的功.如果状态变化方向沿V轴正方向则做功为负，沿V轴反方向则功为正，如果垂直于V轴则做功为零.
(2)封闭循环型：一般是循环过程，需根据题设条件转换得P-V图，在P-V图象中计算所围面积，就是该循环过程中气体所做的功.顺时针循环，气体做功为负值，表示气体对外界做功；逆时针循环，气体做功为正值，表示外界对气体做功.
处理上述两种图象时思路和方法略有不同，我们将会列举分析.
2案例精析
2.1运用图象巧判气体做功
题1如图2所示，已知一定质量的理想气体，从状态1变化到状态2.则在此过程中
A.气体对外不做功B.气体对外做功
C.外界对气体做功D.无法判断
分析这是一个不封闭曲线，只需要判断是否对外做功，而不需要计算，因此只需判断1、2两状态的体积即可.虽然状态1和状态2在一条直线上，但并不是说p-T图上的所有直线都是等容线，只有延长线过原点的直线才表示一个等容过程.如图3所示，可以根据等容线的斜率来判断1、2两状态下气体体积.
解析分别做出过1和2的等容线Ⅰ和Ⅱ，由图可知，直线Ⅰ的斜率大于直线Ⅱ的斜率，则VⅡ＞VⅠ，即V2＞V1，所以，从状态1变化到状态2，气体膨胀对外界做功了.
正确答案：B
评析如果我们只需判断气体是否做功，则可以根据任何自己熟悉的状态变化图象判断初始状态和末状态的体积关系.体积增加，做正功；体积减小，做负功；体积不变，不做功.
2.2图象不封闭情形
题2在一汽缸的活塞下面封闭有n摩尔理想气，由于受到骤然加热，气体迅速膨胀，且膨胀过程中其热力学温度与其体积的平方成正比，即T=kV2.在其体积由V1膨胀至V2的过程中，气体从外界吸收的热量为Q1，试求此过程中气体的内能增加了多少？
分析求此过程中气体的内能增加了多少，要用热力学第一定律，由已知条件可知，关键是要求出气体对外做了多少功，故可用P-V图象中所围的面积来计算功.
解析以缸内气体为研究对象，由理想气体状态方程
PV=nRT,
又由已知条件有
T=kV2,
两式可得P=nRkV.
可见气体膨胀时，其压强P与体积V成正比例.
因此画出P-V图象，如图4所示，图中阴影区的面积表示气体在此过程中所做的功
W=-P1 P22(V2-V1)=-12nRk(V22-V21),
负号表示气体对外界做功.
再由热力学第一定律ΔU=Q W，可得气体内能的增加量为
ΔU=Q1-W=Q1-12nRk(V22-V21).
评析本题依据题设条件画出P-V图象，然后计算图象与横坐标轴(即V轴)所围的面积，这个面积大小就是这个过程中气体所做的功.
题3一定质量的理想气体，由平衡状态A经过一系列变化过程到达平衡状态B，且有VA
解析公式法：
AD段：W1=-P2(V3-V1),
DC段：W2=0,
CB段：W3=P1(V3-V2).
因此，整个过程做的总功为
W=W1 W2 W3
=(P1-P2)(V3-V2)-P2(V2-V1).
面积法：如图6的阴影面积所示，整个过程做的总功为
W=(P1-P2)(V3-V2)-P2(V2-V1).
显然，后一种方法简介明了，直观快捷.
讨论1由图6可知，如果矩形AEV2V1面积值小于EDCB的面积值，即W>0，外界对气体做功；反之，如果矩形AEV2V1的面积大于矩形EDCB的面积值，即W<0，气体对外界做功；如两个面积相等，气体则不做功.
讨论2对于初、末状态气体体积如果满足VA>VB的情况，也有上述三种可能.这里不再赘述.
评析由以上分析可知，气体体积增大，气体对外做功；体积缩小，外界对气体做功；体积不变，气体不做功这一规律，只在单一气体变化过程中适用，而对于复杂的气体变化过程，即由两个或两个以上单一过程组成的变化过程时，上述结论性说法就值得讨论.
2.3图象封闭情形
题4如图7所示，一定质量的理想气体从A经ACDB的一个循环过程后到达B状态，求在整个过程中气体所做的功.
分析题目中的循环过程是一个复杂的热力学过程，其中A→C为等压膨胀过程，C→D为等容过程，D→B为等压压缩过程.这些过程所做的功都可以公式法分阶段计算功的大小，然后相加就得到在整个过程中气体所做的功.我们也可以使用图象法求解此题.
解析公式法：A→C为等压膨胀过程，气体对外界做功，
W1=-P1(V2-V1);
C→D为等容过程，做功W2=0;
D→B为等压压缩过程，外界对气体做功，
W3=P2(V2-V1);
那么气体在整个过程中做的总功为
W=W1 W2 W3=-P1(V2-V1) P2(V2-V1)
=-(P1-P2)(V2-V1)<0,
即总功小于零，气体对外界做功.
面积法：假设气体还将继续发生了从B到A的过程，由于B状态下气体的体积和A状态下气体体积相同，故此过程气体不做功.则ACDB过程和ACDBA过程气体所做的功是相等的，故只需计算ACDBA过程气体所做的功.ACDBA过程气体P-V图象为封闭曲线，面积大小为(P1-P2)(V2-V1).同时由于ACDBA为顺时针循环，故做正功，因此所求过程气体对外界所做功为(P1-P2)(V2-V1).
评析可以看出，在气体变化过程中，气体经过一系列变化，即经过一个复杂变化后，气体体积最终没有发生变化，但气体与外界却有能量交换，而且功的正、负与过程的方向有关.
2.4转换为P-V图象情形
题4如图8所示，1 mol理想气体经历了一个在T-V图上标为1→2→3→1的循环过程.其中，过程1→2的方程为T=2T1(bV-12b2V2)，过程2→3是经过原点的线段上的一段，过程3→1的方程为T=T1b2V2，b为常数.状态1和2的热力学温度为T1和34T1.求该气体在此循环中对外所做的功.