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摘要： 导数的广泛应用，为我们解决函数问题提供了有力的工具，用导数可以解决函数中的最值问题，不等式问题，还可以与解析几何相联系，在知识的网络交汇处设计问题.因此，在教学中，要突出导数的应用.
关键词： 导数应用函数
导数是高中数学的一个重要内容，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野，不论是研究函数的性质，还是解决不等式的问题和方程根的问题，也不论是探求函数的极值、最值，还是解决曲线的切线问题，导数都发挥着非常重要的作用，在近几年的高考中，对导数的考查在逐步加强.一般的高考对导数的考查形式多样，难易均有，可以在填空题中出现，也更容易在解答题中出现，有时候作为压轴题，主要考查导数的综合应用.我拟就导数在函数中的应用，谈谈个人的感悟和体会.
1.求曲线y=f（x）在点（x■，y■）处的切线的斜率，运用导数的几何意义.
函数在某点的导数，其几何意义是曲线在该点处切线的斜率，利用导数可以十分便捷地分析处理解析几何中的有关切线问题.
（2010湖北文）设函数f（x）=x■ 2ax■ bx a，g（x）=x■-3x 2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l.求a、b的值，并写出切线l的方程.
【解析】f′（x）=3x■ 4ax b，g′（x）=2x-3，由于曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线，故有f（2）=g（2）=0，f′（2）=g′（2）=1，由此解得：a=-2，b=5，切线l的方程：x-y-2=0.
2.利用导数求函数极（最）值.
解答这类问题的方法是：①根据求导法则求出函数的导数；②令导数等于0，解出导函数的零点；③分区间讨论，得出函数的单调区间；④判断极值点，求出极值；⑤求出区间端点值与极值进行比较，求出最值.
（2010江西理）设f（x）=-■x■ ■x■ 2ax.当0＜a＜2时，f（x）在［1，4］上的最小值为-■，求f（x）在该区间上的最大值.
【解析】f′（x）=-x■ x 2a=-（x-■）■ ■ 2a，
令f′（x）=0，得两根x■=■，x■=■.
所以f（x）在（-∞，x■），（x■， ∞）上单调递减，在（x■，x■）上单调递增.
当0＜a＜2时，有x■＜1＜x■＜4，所以f（x）在［1，4］上的最大值为f（x■）.
又f（4）-f（1）=-■ 6a＜0，即f（4）＜f（1），
所以f（x）在［1，4］上的最小值为f（4）=8a-■=-■，得a=1，x■=2，
从而f（x）在［1，4］上的最大值为f（2）=■.
3.以导数知识为工具研究函数单调性，对函数单调性的研究，导数作为强有力的工具提供了简单、程序化的方法，具有普遍性的可操作方法.
（2010辽宁卷）已知函数f（x）=（a 1）lnx ax■ 1.讨论函数f（x）的单调性.
【解析】f（x）的定义域为（0， ∞），f′（x）=■ 2ax=■.
当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0， ∞）单调递增；
当a≤－1时，f′（x）＜0， 故f（x）在（0， ）单调递减；
当-1＜a＜0时，令f′（x）＝0，解得x=■.当x∈（0，■ ）时，f′（x）＞0；
当x∈（■ ， ∞）时，f′（x）＜0.故f（x）在（0，■）单调递增，在（■， ∞）单调递减.
4.证明不等式彰显导数方法运用的灵活性.
把要证明的一元不等式通过构造函数转化为f（x）＞0（＜0），再通过求f（x）的最值，实现对不等式证明.导数为解决此类问题开辟了新的路子，使过去不等式的证明方法从特殊技巧变为通法，彰显导数方法运用的灵活性、普适性.
（2010全国卷2）设函数f（x）=1-e■，证明：当x＞-1时，f（x）≥■.
【解析】当x＞-1时，f（x）≥■，当且仅当e■≥1 x
令g（x）=e■-x-1，则g′（x）=e■-1.
当x≥0时，g′（x）≥0，则g（x）在［0， ∞）是增函数;
当x≤0时，g′（x）≤0，则g（x）在（-∞，0］是减函数,
于是g（x）在x=0处取得最小值，因而当x∈R时，g（x）≥g（0），即e■≥1 x，所以当x＞-1时，f（x）≥■.
总之，导数作为解决数学问题的有力工具，全面体现了数学的价值，既给学生提供了一种新的方法，又给学生提供了一种重要的思想，在解决数学问题时使用非常方便，尤其是利用导数来解决函数的单调性，极值，最值，以及切线问题.在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，重视数学思想方法的应用，达到优化解题思维，简化解题过程的目的.
关键词： 导数应用函数
导数是高中数学的一个重要内容，它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野，不论是研究函数的性质，还是解决不等式的问题和方程根的问题，也不论是探求函数的极值、最值，还是解决曲线的切线问题，导数都发挥着非常重要的作用，在近几年的高考中，对导数的考查在逐步加强.一般的高考对导数的考查形式多样，难易均有，可以在填空题中出现，也更容易在解答题中出现，有时候作为压轴题，主要考查导数的综合应用.我拟就导数在函数中的应用，谈谈个人的感悟和体会.
1.求曲线y=f（x）在点（x■，y■）处的切线的斜率，运用导数的几何意义.
函数在某点的导数，其几何意义是曲线在该点处切线的斜率，利用导数可以十分便捷地分析处理解析几何中的有关切线问题.
（2010湖北文）设函数f（x）=x■ 2ax■ bx a，g（x）=x■-3x 2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l.求a、b的值，并写出切线l的方程.
【解析】f′（x）=3x■ 4ax b，g′（x）=2x-3，由于曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线，故有f（2）=g（2）=0，f′（2）=g′（2）=1，由此解得：a=-2，b=5，切线l的方程：x-y-2=0.
2.利用导数求函数极（最）值.
解答这类问题的方法是：①根据求导法则求出函数的导数；②令导数等于0，解出导函数的零点；③分区间讨论，得出函数的单调区间；④判断极值点，求出极值；⑤求出区间端点值与极值进行比较，求出最值.
（2010江西理）设f（x）=-■x■ ■x■ 2ax.当0＜a＜2时，f（x）在［1，4］上的最小值为-■，求f（x）在该区间上的最大值.
【解析】f′（x）=-x■ x 2a=-（x-■）■ ■ 2a，
令f′（x）=0，得两根x■=■，x■=■.
所以f（x）在（-∞，x■），（x■， ∞）上单调递减，在（x■，x■）上单调递增.
当0＜a＜2时，有x■＜1＜x■＜4，所以f（x）在［1，4］上的最大值为f（x■）.
又f（4）-f（1）=-■ 6a＜0，即f（4）＜f（1），
所以f（x）在［1，4］上的最小值为f（4）=8a-■=-■，得a=1，x■=2，
从而f（x）在［1，4］上的最大值为f（2）=■.
3.以导数知识为工具研究函数单调性，对函数单调性的研究，导数作为强有力的工具提供了简单、程序化的方法，具有普遍性的可操作方法.
（2010辽宁卷）已知函数f（x）=（a 1）lnx ax■ 1.讨论函数f（x）的单调性.
【解析】f（x）的定义域为（0， ∞），f′（x）=■ 2ax=■.
当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0， ∞）单调递增；
当a≤－1时，f′（x）＜0， 故f（x）在（0， ）单调递减；
当-1＜a＜0时，令f′（x）＝0，解得x=■.当x∈（0，■ ）时，f′（x）＞0；
当x∈（■ ， ∞）时，f′（x）＜0.故f（x）在（0，■）单调递增，在（■， ∞）单调递减.
4.证明不等式彰显导数方法运用的灵活性.
把要证明的一元不等式通过构造函数转化为f（x）＞0（＜0），再通过求f（x）的最值，实现对不等式证明.导数为解决此类问题开辟了新的路子，使过去不等式的证明方法从特殊技巧变为通法，彰显导数方法运用的灵活性、普适性.
（2010全国卷2）设函数f（x）=1-e■，证明：当x＞-1时，f（x）≥■.
【解析】当x＞-1时，f（x）≥■，当且仅当e■≥1 x
令g（x）=e■-x-1，则g′（x）=e■-1.
当x≥0时，g′（x）≥0，则g（x）在［0， ∞）是增函数;
当x≤0时，g′（x）≤0，则g（x）在（-∞，0］是减函数,
于是g（x）在x=0处取得最小值，因而当x∈R时，g（x）≥g（0），即e■≥1 x，所以当x＞-1时，f（x）≥■.
总之，导数作为解决数学问题的有力工具，全面体现了数学的价值，既给学生提供了一种新的方法，又给学生提供了一种重要的思想，在解决数学问题时使用非常方便，尤其是利用导数来解决函数的单调性，极值，最值，以及切线问题.在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，重视数学思想方法的应用，达到优化解题思维，简化解题过程的目的.